黃瑩，陳恩策，唐厚君

（上海交通大學(xué) 電氣工程系，上海 200240）

0 引言

模型跟蹤控制MFCS（Model Follow Control System）是控制理論的一個(gè)重要領(lǐng)域，可以應(yīng)用到智能轉(zhuǎn)向汽車［1］、發(fā)動(dòng)機(jī)燃油控制系統(tǒng)［2］等。但是，由于輸入輸出個(gè)數(shù)不相等的系統(tǒng)中，狀態(tài)空間矩陣不是方陣的限制，導(dǎo)致傳統(tǒng)的模型跟蹤控制只適用于輸入個(gè)數(shù)等于輸出個(gè)數(shù)的情況。

為此，本文首先分析了傳統(tǒng)模型跟蹤控制方法的局限性，提出了所遇到的問題，然后針對(duì)兩個(gè)問題一一提出解決方案，最后在以兩個(gè)系統(tǒng)為例，在MATLAB/Simulink上搭建仿真平臺(tái)，進(jìn)行驗(yàn)證。特別對(duì)輸入個(gè)數(shù)小于輸出個(gè)數(shù)的系統(tǒng)，在所提的解決方案的基礎(chǔ)上，增加了移相器，使得改進(jìn)后的方法適用于任意輸入與輸出個(gè)數(shù)與輸出個(gè)數(shù)不等的系統(tǒng)（滿足可控可觀和相對(duì)階次的前提條件）。

1 模型跟蹤控制

對(duì)于狀態(tài)空間線性系統(tǒng)模型跟蹤控制［3］，被控對(duì)象模型為:

參考模型為:

其中 x（t）∈Rn×1為狀態(tài)變量，u（t）∈Rm×1為控制輸入，y（t）∈Rl×1為控制對(duì)象的輸出，xm（t）∈Rnm，rm（t）∈Rlm，狀態(tài)矩陣的維數(shù)分別為 A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rl×n。

控制率的最終表達(dá)式為:

N（s）和Nr（s）由以下式得到:

σi是N（p）各行元素的最高次數(shù)，

則知:N（s）∈Rl×m，Nr（s）∈Rl×m

2 遇到的問題

如果輸入個(gè)數(shù)不等于輸出個(gè)數(shù)，即l≠m，則在用式（3）中計(jì)算控制率時(shí)，會(huì)遇到以下兩個(gè)問題:

（1）由于Nr為l×m的矩陣，不是方陣，不存在逆矩陣;

（2）由于u（t）為m×1矩陣，y（t）為l×1矩陣，不同階數(shù)矩陣不能相加。

此時(shí)，控制率計(jì)算公式（3）失效。

3 解決方法

3.1 廣義逆矩陣的引入

為了解決第一個(gè)問題，我們引入廣義逆矩陣。

廣義逆矩陣是對(duì)逆矩陣的拓展，目前，運(yùn)用比較廣泛的是Moore-Penrose廣義逆矩陣［4］，其中比較簡(jiǎn)單的求廣義逆矩陣的方法是滿秩算法:

設(shè)A=LR∈Cm×n的秩為r，其中L為列滿秩矩陣，R為行滿秩矩陣，則:

A+是Penrose廣義逆的原始記號(hào)，稱為“加號(hào)逆”。

3.2 輸入/輸出補(bǔ)零法

為了解決第二個(gè)問題，且不改變?cè)椒ǎ覀冇醚a(bǔ)零的方法，將系統(tǒng)變?yōu)檩斎胼敵鰝€(gè)數(shù)相等的系統(tǒng)。具體方法如下:假設(shè)輸入個(gè)數(shù)大于輸出個(gè)數(shù)，即m＞l，則應(yīng)對(duì)輸出進(jìn)行補(bǔ)零，對(duì)應(yīng)的輸出矩陣也要補(bǔ)零。

如果輸出個(gè)數(shù)大于輸入個(gè)數(shù)，則用類似的方法進(jìn)行補(bǔ)零。

4 仿真分析

4.1 多輸入－單輸出系統(tǒng)

多輸入－單輸出系統(tǒng)電路圖如圖1所示。

圖1 多輸入－單輸出系統(tǒng)

選電感電流iL1、iL2電容電壓uC3作為狀態(tài)變量，根據(jù)基爾霍夫電流定律和電壓定律［5］，得到:

為了計(jì)算方便，假設(shè):

L1=L2=1 H，C3=1 F，R4=R5=2 Ω 得:

然后即可依照原方法進(jìn)行模型跟蹤控制的設(shè)計(jì)。得到控制率為:

在MATLAB/Simulink平臺(tái)上搭建仿真［6］，如圖2所示。

圖2 多輸入－單輸出系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)

其中，粗線表示多維信號(hào)，細(xì)線表示單維信號(hào)。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 雙輸入－單輸出系統(tǒng)仿真波形

由于三角波的尖峰處不可導(dǎo)，故在尖峰前后，誤差較大，但是在三角波干擾撤去后的第10 s開始，系統(tǒng)誤差接近于零，可以非常好的跟蹤上參考模型。

4.2 單輸入－多輸出系統(tǒng)

單輸入雙輸出系統(tǒng)電路圖如圖4所示。

同樣，應(yīng)用補(bǔ)零的方法，以及廣義逆矩陣?yán)碚摚梢缘玫较到y(tǒng)的控制率。搭建仿真模型，得到波形見圖5。

圖4 單輸入－雙輸出系統(tǒng)模型

圖5 單輸入－雙輸出仿真波形

由圖5可以看出，第一組輸出可以跟蹤上，但是第二組輸出只可以跟蹤幅值，卻總是相差一個(gè)相位。其原因是這樣的，即使是純線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入個(gè)數(shù)小于輸出個(gè)數(shù)時(shí)，也無法完全跟蹤控制，舉例來說，兩系統(tǒng)如下:

這樣，無論如何，都無法實(shí)現(xiàn)跟蹤。也就是說，只有參考模型和被控對(duì)象滿足一定比例關(guān)系的系統(tǒng)，才能夠?qū)崿F(xiàn)跟蹤控制?；蛘?，可以用模型跟蹤控制+移相器，完成整個(gè)系統(tǒng)準(zhǔn)確的跟蹤。

5 結(jié)束語

根據(jù)以上討論，可知，要對(duì)多輸入－多輸出系統(tǒng)進(jìn)行模型跟蹤控制時(shí)，應(yīng)根據(jù)輸入輸出個(gè)數(shù)選取不同的方法:

當(dāng)輸入個(gè)數(shù)等于輸出個(gè)數(shù)時(shí):可以直接運(yùn)用跟蹤控制方法進(jìn)行運(yùn)算設(shè)計(jì);

當(dāng)輸入個(gè)數(shù)大于輸出個(gè)數(shù)時(shí):首先對(duì)輸出進(jìn)行補(bǔ)零，再對(duì)控制率進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)用Moore-Penrose廣義逆矩陣?yán)碚撉竽?

當(dāng)輸入個(gè)數(shù)小于輸出個(gè)數(shù)時(shí):運(yùn)用上述步驟，可以跟蹤上與輸入個(gè)數(shù)相等的輸出，其他維輸出需要設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)囊莆黄鳌?/p>

［1］曾長(zhǎng)操，劉奮，張建武.智能轉(zhuǎn)向汽車的模型跟蹤控制［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，37（11）:1763 －1766.

［2］王道波，劉愛萍.采用自適應(yīng)模型跟蹤控制的發(fā)動(dòng)機(jī)燃油控制系統(tǒng)含實(shí)物仿真［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，43（1）:29－35.

［3］唐厚君，韓正之，尚宇輝，等.廣義線性系統(tǒng)模型跟蹤控制的新方法［J］.信息控制，2000，29（3）:198 －204.

［4］張躍輝.矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2011:212－215.

［5］劉秉安.基爾霍夫定律及其應(yīng)用探究［J］.科學(xué)信息，2009，26（24）:537－538.

［6］李傳慶，劉廣生.基于MATLAB－Simulink的MFA控制模塊開發(fā)與仿真［J］.控制工程，2008，15（S2）:61－63.