李文，亓芳，聶冰

(1.大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連 116028;2.大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

目前，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用研究已經(jīng)廣泛應(yīng)用于專(zhuān)家系統(tǒng)、工業(yè)控制以及模式識(shí)別等領(lǐng)域.采用誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ?xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)BP網(wǎng)絡(luò)是應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一.然而，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)通常根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選取，結(jié)構(gòu)單一，無(wú)法根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況而實(shí)時(shí)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，缺乏科學(xué)性.

本文設(shè)計(jì)了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器，并提出自頂向下優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明通過(guò)這種優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的方法，刪除冗余節(jié)點(diǎn)，精簡(jiǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的適應(yīng)能力［4］.

圖1 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器框圖

1 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的設(shè)計(jì)［1］

分?jǐn)?shù)階PIλ控制器是由整數(shù)階控制系統(tǒng)擴(kuò)展而來(lái)，其分?jǐn)?shù)階控制器的傳遞函數(shù)表達(dá)式為:

式中，KP、KI分別為控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù);λ＞0是分?jǐn)?shù)階控制器的積分階次，可表示為任意實(shí)數(shù).

分?jǐn)?shù)階控制器具有無(wú)限階次，需要對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子sλ進(jìn)行離散化［7］.本文采用Tustin生成函數(shù)和連分式方法(CFE)結(jié)合對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器進(jìn)行離散化，三階展開(kāi)得到離散表達(dá)式為:

則U(z)時(shí)間域的離散表達(dá)式為:

2 分?jǐn)?shù)階PIλ控制器自頂向下優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法

本文采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)PIλ控制器中的KP、KI和λ三個(gè)參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，利用自頂向下的方法優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能.

2.1 經(jīng)典BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法［3］

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種按照誤差算法訓(xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，廣泛的應(yīng)用于各種工業(yè)控制領(lǐng)域.在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸入層各神經(jīng)元接收輸入信息，傳遞給隱層各神經(jīng)元;隱層是內(nèi)部信息處理層，負(fù)責(zé)信息變換;最后隱層傳遞到輸出層各神經(jīng)元的信息，經(jīng)進(jìn)一步處理后，完成一次學(xué)習(xí)的正向傳播處理過(guò)程，由輸出層向外界輸出信息處理結(jié)果.當(dāng)實(shí)際輸出與期望輸出不符時(shí)，進(jìn)入誤差的反向傳播階段.誤差通過(guò)輸出層，按誤差梯度下降的方式修正各層權(quán)值，向隱層、輸入層逐層反傳.周而復(fù)始的信息正向傳播和誤差反向傳播過(guò)程，是各層權(quán)值不斷調(diào)整的過(guò)程，也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)訓(xùn)練的過(guò)程.該循環(huán)過(guò)程一直進(jìn)行，直到網(wǎng)絡(luò)輸出的誤差減少到可以接受的程度，或者達(dá)到預(yù)先設(shè)定的學(xué)習(xí)次數(shù)為止.在文獻(xiàn)［3］和［6］中對(duì)經(jīng)典BP算法作了詳細(xì)的介紹.

2.2 自頂向下優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的條件

在分?jǐn)?shù)階PIλ控制器中，輸入層和輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)是由系統(tǒng)本身的特點(diǎn)決定的.本系統(tǒng)選擇輸入層節(jié)點(diǎn)四個(gè):X=(e，e-1，ce，ce-1);輸出層節(jié)點(diǎn)三個(gè):Y=(KP，KI，λ).而隱層層數(shù)和維數(shù)的選擇決定了網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模.如果選擇的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模過(guò)大，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近能力過(guò)剩;選擇的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模過(guò)小，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近能力不足，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不可能收斂.Robert Hecht Nielson等人指出:只有一個(gè)隱層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，只要隱節(jié)點(diǎn)足夠多，就可以以任意精度逼近一個(gè)非線性函數(shù)［4］.因此，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)的確定是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，構(gòu)造一個(gè)可變結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況自學(xué)習(xí)的調(diào)整結(jié)構(gòu)，得到隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)適合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

本系統(tǒng)根據(jù)節(jié)點(diǎn)之間的相關(guān)性采用自頂向下優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法確定隱層節(jié)點(diǎn)數(shù).自頂向下設(shè)計(jì)方法的核心思想是先構(gòu)造一個(gè)足夠大的網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)在訓(xùn)練中刪除或合并某些節(jié)點(diǎn)或權(quán)值達(dá)到精簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)的目的［5］.首先計(jì)算隱節(jié)點(diǎn)輸出之間的相關(guān)性，然后將相關(guān)性較大的冗余隱節(jié)點(diǎn)合并，最終確定合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù).

在訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程中，計(jì)算兩個(gè)隱節(jié)之間的相關(guān)性為:

式中，Oip和Ojp是i和j兩個(gè)隱節(jié)點(diǎn)對(duì)第P個(gè)樣本的輸出，輸出均值分別為

對(duì)于任意的隱節(jié)點(diǎn)a的輸出標(biāo)準(zhǔn)差為:s2a=

當(dāng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)性|rij|越接近1，說(shuō)明這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的線性相關(guān)性越高，存在冗余的節(jié)點(diǎn)需要合并;當(dāng)某個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出標(biāo)準(zhǔn)差較小時(shí)，則該隱節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練作用較小，可以刪減.

根據(jù)上述計(jì)算公式，自頂向下優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本原則為:

(1)如果隱層兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)性|rij|≥α1，且輸出標(biāo)準(zhǔn)差s2i＞ α2，s2j＞ α2，則隱節(jié)點(diǎn)i和j可以合并.其中α1和α2為規(guī)定的下限值，一般α1取0.8 ～ 0.9，α2取0.001 ～ 0.01;

(2)若某節(jié)點(diǎn)的輸出標(biāo)準(zhǔn)差sa≤α2，則說(shuō)明節(jié)點(diǎn)a的作用較小，可以將其刪除.

2.3 自頂向下優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法

由上述合并條件，結(jié)合經(jīng)典BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法，得到自頂向下優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的步驟如下:

(1)網(wǎng)絡(luò)初始化:確定系統(tǒng)輸入層、輸出層和隱層節(jié)點(diǎn)數(shù);隨機(jī)初始權(quán)值;學(xué)習(xí)系數(shù);合成時(shí)刻誤差ε1;目標(biāo)誤差ε2;節(jié)點(diǎn)相關(guān)性閥值α1;輸出標(biāo)準(zhǔn)差閥值α2;初始學(xué)習(xí)步數(shù)k=1;

(2)采用BP算法進(jìn)行學(xué)習(xí)，同時(shí)計(jì)算所有隱節(jié)點(diǎn)輸出序列;

(3)判斷誤差是否滿(mǎn)足合成、終止學(xué)習(xí)條件:如果當(dāng)前訓(xùn)練誤差值E＞ε1，K=K+1轉(zhuǎn)到步驟(2);如果 ε1≥E≥ ε2，轉(zhuǎn)到步驟(4);E ＜ ε2，則終止學(xué)習(xí);

(4)計(jì)算各隱節(jié)點(diǎn)輸出序列的標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)性;

(5)檢查并合并隱節(jié)點(diǎn):如果隱節(jié)點(diǎn)i和隱節(jié)點(diǎn)j相關(guān)系數(shù)滿(mǎn)足|rij|≥ α1，且s2i＞ α2，s2j＞ α2，則對(duì)隱節(jié)點(diǎn)(i，j)進(jìn)行合并;如果某個(gè)隱節(jié)點(diǎn)輸出標(biāo)準(zhǔn)差滿(mǎn)足s2i＜ α2，則刪除該節(jié)點(diǎn)，K=K+1，轉(zhuǎn)到步驟(2).

3 應(yīng)用實(shí)例

以二階系統(tǒng) Y(t)= Y_set(1-e(-t/ξωn)*sinωdt)為例，取合成時(shí)訓(xùn)練誤差 ε1=0.03，目標(biāo)誤差ε2=3*10-4，節(jié)點(diǎn)相關(guān)性閥值α1=0.9，輸出標(biāo)準(zhǔn)差閥值α2=0.01，初始權(quán)值產(chǎn)生范圍［-1，1］，初始網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為4-10-3網(wǎng)絡(luò).經(jīng)過(guò)自頂向下方法優(yōu)化后，本神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化為4-2-3網(wǎng)絡(luò).停止學(xué)習(xí)后，輸出序列相關(guān)性高于閥值兩個(gè)隱節(jié)點(diǎn)合并，其部分合并隱節(jié)點(diǎn)的輸出序列如圖2所示.圖3顯示了該系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線.圖4所示為訓(xùn)練樣本的學(xué)習(xí)曲線，在每次合并隱節(jié)點(diǎn)后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練誤差并沒(méi)有發(fā)生明顯變化.

圖2 高度相關(guān)的節(jié)點(diǎn)輸出序列

圖3 系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線

圖4 樣本學(xué)習(xí)曲線

4 結(jié)論

本文提出了分?jǐn)?shù)階PIλ控制器中優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，詳細(xì)介紹了自頂向下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法.結(jié)果表明，自頂向下的優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可以通過(guò)合并某些相關(guān)性較大的隱節(jié)點(diǎn)、刪除對(duì)網(wǎng)絡(luò)影響較小隱節(jié)點(diǎn)保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在合并、刪除節(jié)點(diǎn)后特性不變，從而達(dá)到了簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的目的.

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