高秀蘭，魯開講，史革盟

(寶雞文理學(xué)院，陜西寶雞721007)

近年來，并聯(lián)機(jī)器人的應(yīng)用領(lǐng)域在不斷擴(kuò)大，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對機(jī)構(gòu)的性能提出了越來越高的要求。工作空間是機(jī)器人最重要的性能指標(biāo)，合理地定義工作空間是機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計的首要環(huán)節(jié)。最大限度地提高機(jī)構(gòu)的運(yùn)動速度，是現(xiàn)代機(jī)器人技術(shù)發(fā)展的主要標(biāo)志，為了適應(yīng)高速和高加速度的要求，許多學(xué)者從運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)方面［1－8］提出了多種動態(tài)性能指標(biāo)來量化機(jī)器人機(jī)構(gòu)的動態(tài)性能。然而并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間與動態(tài)性能之間往往是矛盾的，為了獲得良好的動態(tài)性能，只有放棄使用部分工作空間。目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計主要是基于運(yùn)動學(xué)［9－12］和動力學(xué)［10－12］性能指標(biāo)進(jìn)行的，而兼顧機(jī)器人工作空間［13－15］的設(shè)計較少，其主要原因是并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的定義與描述本身就是一個難題。機(jī)構(gòu)的工作空間與動態(tài)性能在很大程度上取決于機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計將是一種可行的方法，它可以兼顧工作空間和動態(tài)性能這兩個方面，并使它們之間達(dá)到均衡，保證機(jī)構(gòu)的總體性能最優(yōu)。作者以關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在預(yù)定設(shè)計空間的最大值作為評定機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能的指標(biāo)，將機(jī)構(gòu)對設(shè)計空間的要求看作是對結(jié)構(gòu)參數(shù)的約束，從而將機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計歸結(jié)為約束優(yōu)化問題，得到了兼顧設(shè)計空間和動力學(xué)性能的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1 平面2自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動學(xué)分析

平面2自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端點C通過兩條支鏈與基座相連，如圖1所示。取參考坐標(biāo)系Oxy。

圖1 平面2自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖

選取機(jī)構(gòu)一個分支，構(gòu)成開式運(yùn)動鏈，該分支關(guān)節(jié)速度到動平臺的運(yùn)動速度˙x的映射關(guān)系

式中:x為末端點C的位置矢量，x=［x y］T，上標(biāo)r表示分支序號，中的下標(biāo)表示分支中運(yùn)動副的序號。

當(dāng)已知動平臺的速度，可求得該分支關(guān)節(jié)相對速度

同樣，可以得到每個分支關(guān)節(jié)運(yùn)動加速度¨φ(r)到動平臺的運(yùn)動加速度矢量的映射關(guān)系

式中:xm、ym、xn、yn的下標(biāo)與該分支關(guān)節(jié)序號對應(yīng)。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)凱恩方程

2.1 輸入構(gòu)件廣義主動力和廣義慣性力計算

選取末端點C的坐標(biāo)x、y為廣義坐標(biāo)。由式(1)得

輸入桿質(zhì)心Gr的速度

輸入構(gòu)件ArBr對各獨立速度的偏角速度分別為

作用在輸入構(gòu)件上的主動力有重力及驅(qū)動力矩，取質(zhì)心為簡化中心，其主矢和主矩分別為

輸入構(gòu)件對各獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力

r'表示質(zhì)量微元dm相對簡化中心 (質(zhì)心)的矢徑，a'i為微元dm相對簡化中心的加速度。

2.2 從動構(gòu)件廣義主動力和廣義慣性力計算

由式 (1)得關(guān)節(jié)的相對角速度

從動構(gòu)件角速度矢量

質(zhì)心Q的速度

按獨立速度整理

機(jī)構(gòu)在末端點C處作用有集中力Fx和Fy(見圖2)，它使得從動桿產(chǎn)生附加力，由于桿的重力比Fx和Fy要小得多，因而忽略桿的重力而將從動桿看作二力桿，認(rèn)為從動桿對末端點的作用力沿桿軸線方向，對末端點進(jìn)行靜力分析求得附加力

圖2 末端點C的受力分析

作用在從動構(gòu)件上的主動力有重力和附加力。取質(zhì)心為簡化中心，其主矢和主矩分別為

從動構(gòu)件對各獨立速度的廣義主動力和廣義慣性力

將所有構(gòu)件上的廣義主動力和廣義慣性力分別求和，得到機(jī)構(gòu)相對于各個獨立速度廣義主動力和廣義慣性力

基于凱恩方法，可以得到機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程

寫成矩陣形式

式中:τ為主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩矢量，τ=［τ1τ2］T;

V(x)為操作空間的慣性矩陣，B(x)∈R2×2×2;

P(x)是克服外界負(fù)載和重力所需的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，僅與機(jī)構(gòu)的位形有關(guān)。

3 動力學(xué)性能優(yōu)化

3.1 機(jī)構(gòu)的工作空間與設(shè)計空間

機(jī)構(gòu)每個分支的工作空間是以Ar為中心的環(huán)形區(qū)域，如圖3所示，機(jī)構(gòu)的工作空間是各支鏈子空間的交集，它由圖中4段圓弧圍成。如果要求工作空間能包容一個邊長為b的正方形，中心在P(x0，y0)，其頂點為Ci

式中:αi為PiCi與x軸的夾角，α1，i=1～4。

圖3 機(jī)構(gòu)工作空間解析

如果給定設(shè)計空間，則機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸必須滿足下面的幾何約束條件:

(1)過A1向C1C4引垂線，如果垂足 D1位于C1C4之間，則要求

如果垂足位于C1C4之外，則要求

同樣對于分支2，如果垂足位于C1C2之間，則要求

如果垂足位于C1C2之外，則要求

(2)在三角形A1G1A2中

(3)各支鏈子空間外邊界應(yīng)包含 C1、C2、C3、C4，即

3.2 機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能指標(biāo)和動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計

對機(jī)器人進(jìn)行軌跡規(guī)劃或?qū)嶋H控制時，必須考慮在整個設(shè)計空間以及機(jī)構(gòu)運(yùn)行速度和加速度的范圍內(nèi)，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的最大值τmax

式中:b為設(shè)計變量，包括機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和動力參數(shù);i為分支序號;D為設(shè)計空間;、分別為允許運(yùn)行的最大速度和加速度;τi為主動關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩。

τmax可以作為評定機(jī)構(gòu)動力學(xué)品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標(biāo)，它代表機(jī)器人在整個工作空間的總體性能。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由多條分支組成，其工作空間是各分支子空間的交集，與傳統(tǒng)的串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大的不足就是工作空間相對較小。另外在工作空間中心部位，動力學(xué)性能良好，由里向外，機(jī)構(gòu)的動力特性變差。為了獲得良好的動力學(xué)性能，就要放棄使用靠近邊界的這部分工作空間。對機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計，就是要兼顧設(shè)計空間與動力學(xué)性能這兩個矛盾的方面，將機(jī)構(gòu)對設(shè)計空間的要求看作是對結(jié)構(gòu)尺寸的約束，從而將動力學(xué)優(yōu)化描述成:給定機(jī)構(gòu)的設(shè)計空間，確定一組結(jié)構(gòu)參數(shù)和動力學(xué)參數(shù)，在結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足工作空間要求的幾何約束條件下，使機(jī)構(gòu)的某種全局性能指標(biāo)在整個設(shè)計空間最優(yōu)。有實用意義的優(yōu)化模型有:

(1)對于僅在低速運(yùn)行的機(jī)構(gòu)，為了使機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)最緊湊，占用的空間最小，應(yīng)使其結(jié)構(gòu)尺寸的總和最小，即在結(jié)構(gòu)尺寸滿足第3.1節(jié)中的幾何約束條件下，使

(2)對于加減速頻繁和高速運(yùn)行的機(jī)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)尺寸滿足第3.1節(jié)中的幾何約束條件下，應(yīng)使機(jī)構(gòu)的動力性能最優(yōu)，即

式 (6)的性能指標(biāo)的含義是:在給定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和動力學(xué)參數(shù)以后，使機(jī)構(gòu)的末端點以允許范圍的速度和加速度在整個設(shè)計空間運(yùn)行時，各個主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩的最大值。

4 應(yīng)用實例

根據(jù)使用要求，機(jī)構(gòu)工作空間包含一個邊長b=200 mm、中心坐標(biāo)P(50 mm，300 mm)的正方形區(qū)域，將其視為機(jī)構(gòu)預(yù)定的設(shè)計空間，并且要求機(jī)構(gòu)工作時，末端點在此空間能達(dá)到的最大速度和加速度=(±2.5，±2.5)m/s，¨xmax=(±250，±250)m/s2。桿AB和BC為均質(zhì)桿，直徑分別為32 mm和25 mm。

讓性能指標(biāo)τmax分別取一系列指定值，可以得到關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在工作空間的等位線，如圖4所示。可見:在工作空間的中部，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩小，機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能良好，由里向外，機(jī)構(gòu)的動力學(xué)性能逐漸變差。如果將預(yù)定設(shè)計空間也表示在圖中，將不難看出機(jī)構(gòu)在設(shè)計空間中的最大驅(qū)動力矩。

圖4 工作空間邊界及關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩等位線圖

以機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為設(shè)計變量b=［L1，L2，L3，L4，a］，求解優(yōu)化模型 (7)和 (8)，得到這兩種情形下的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。按尺度最優(yōu)的設(shè)計方案繪制機(jī)構(gòu)的工作空間，如圖5所示，它與設(shè)計空間的關(guān)系表明，所得的結(jié)構(gòu)參數(shù)是滿足設(shè)計空間要求的最緊湊的構(gòu)型要求。

表1 兩種情形下的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖5 尺度最優(yōu)方案下的工作空間與設(shè)計空間

為了測試優(yōu)化結(jié)果對動力學(xué)性能影響的程度，用動力學(xué)仿真的方法，計算末端點在整個設(shè)計空間運(yùn)動時的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，結(jié)果如圖6所示，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在整個預(yù)定的設(shè)計空間峰值小，變化平緩，變化范圍小。這預(yù)示著，按最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計的機(jī)構(gòu)，在預(yù)定的設(shè)計空間具有較好的動力學(xué)性能。

圖6 動力性能優(yōu)化后關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩在設(shè)計空間的變化規(guī)律

5 結(jié)論

采用影響系數(shù)理論，分析了機(jī)構(gòu)逆向運(yùn)動學(xué)，以機(jī)構(gòu)末端點坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，建立機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩能用解析式表示，為動力學(xué)性能的靈敏度分析創(chuàng)造了條件。將機(jī)構(gòu)對設(shè)計空間的要求處理為對結(jié)構(gòu)參數(shù)的幾何約束，從而將機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計歸結(jié)為基于性能指標(biāo)的約束優(yōu)化問題，所得的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，兼顧了設(shè)計空間與動力學(xué)性能。在實例中，采用動力學(xué)仿真的方法，驗證了方法的有效性。

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