韓雪平，周劍秋

（南京工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210009）

0 引 言

納晶材料由于其獨(dú)特的力學(xué)性能而引起了國內(nèi)外研究人員廣泛的關(guān)注[1-2]。一般來講，相對(duì)于粗晶材料而言，納晶材料雖然具有高強(qiáng)度，但其延展性很低，這種低延展性在很大程度上影響了納晶材料的工程應(yīng)用。

最近的研究表明，納晶材料中剪切帶的形成和發(fā)展是導(dǎo)致其延性降低、材料過早斷裂的主要原因。Ramesh 等人[3]發(fā)現(xiàn)了在納米Fe 的壓縮過程中觀察到的剪切帶產(chǎn)生和發(fā)展的現(xiàn)象。Wei 等人[4]對(duì)塊狀納晶W 在準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)載荷下進(jìn)行了壓縮測試，結(jié)果顯示有局部剪切化現(xiàn)象出現(xiàn)，并且剪切局部化現(xiàn)象隨著變形的增加而增多。Ma 等人[5]發(fā)現(xiàn)在納米Cu 的拉伸過程中也存在剪切帶產(chǎn)生和發(fā)展的現(xiàn)象。此外，朱榮濤等人[6]對(duì)粗晶與納晶鎳片進(jìn)行了拉伸試驗(yàn)，結(jié)果表明，粗晶鎳的塑性變形是均勻的，而納晶鎳的塑性變形表現(xiàn)出局部剪切帶化。劉龍飛等人[7]對(duì)金屬玻璃發(fā)生剪切失穩(wěn)形成剪切帶的行為進(jìn)行了分析。

綜合上述研究可以發(fā)現(xiàn)，納晶材料中的剪切帶化現(xiàn)象已經(jīng)成為材料塑性變形中不容忽視的一種機(jī)理。迄今為止，剪切帶的本構(gòu)模型和剪切帶的基本物理特性仍沒有定論，急需通過更先進(jìn)的試驗(yàn)方法和完美的理論模型來加以驗(yàn)證。

最近，基于晶粒旋轉(zhuǎn)的幾何軟化機(jī)理，Ramesh 等人[8]提出了一種納晶剪切帶演化的本構(gòu)模型，該模型很好地預(yù)測了納晶材料內(nèi)剪切帶的發(fā)展及剪切帶寬度的變化，但是他們沒有考慮晶粒取向分布對(duì)剪切帶演化的影響。

基于以上分析，本研究提出一個(gè)新的基于晶粒旋轉(zhuǎn)的剪切帶演化模型，同時(shí)考慮晶粒取向分布以及晶粒尺寸對(duì)剪切帶演化產(chǎn)生的影響。

1 晶粒旋轉(zhuǎn)的剪切帶演化模型

1.1 擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的晶界滑移引起的晶粒旋轉(zhuǎn)

目前，許多關(guān)于晶粒旋轉(zhuǎn)的研究[9]均假設(shè)晶粒旋轉(zhuǎn)的驅(qū)動(dòng)力是晶粒的一個(gè)凈扭矩，這一扭矩來自于周圍晶粒間的與晶界角有關(guān)的晶界能的變化。

基于Raj 和Ashby[10]的擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)晶界滑移理論，Moldovan 等人[11]研究了具有任意截面的柱形晶粒的旋轉(zhuǎn)，其關(guān)于擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的晶界滑移引起的晶粒旋轉(zhuǎn)示意圖如圖1 所示。

圖1 擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的晶界滑移引起的晶粒旋轉(zhuǎn)示意圖

那么，對(duì)于一個(gè)給定的晶粒i 而言，作用于其質(zhì)心的累積旋轉(zhuǎn)扭矩為：

式中：h—圓柱晶粒的柱高，Li—各個(gè)晶界的截面長度，γi—長度為Li的晶界對(duì)應(yīng)的晶界能，θi—長度為Li的晶界對(duì)應(yīng)的晶界角，dγidθi—晶粒 i 的所有晶界累積而成的晶界能梯度。

眾所周知，對(duì)于對(duì)晶體材料來說，晶界可以分成高角度晶界（θi15 °）和低角度晶界（θi<15 °）。雖然晶界的種類與材料的制造過程及材料本身的性質(zhì)有關(guān)，但總體來說大部分的晶界都是高角度晶界。因此，本研究可以合理地假設(shè)，每個(gè)晶粒只有一個(gè)低角度晶界，其他的都是高角度晶界。Read-Shockley[12]公式很好地解釋了低角度晶界的晶界能隨晶界角的變化。根據(jù)Read-Shockley 公式，高角度晶界和低角度晶界的晶界可表示為：

其中：

式中：G—彈性剪切模量，b—伯格斯矢量，ν—泊松比，A—常數(shù)。

至此，通過量化表示晶粒的累積晶界能梯度，公式（1）中的累積扭矩公式可改寫成：

將式（2，3）代入式（5）中，經(jīng)簡化計(jì)算，可得晶粒旋轉(zhuǎn)扭矩的簡化表達(dá)式為：

為了分析擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的晶界滑移引起的晶粒旋轉(zhuǎn)，Moldovan 等人把晶粒旋轉(zhuǎn)看作是一個(gè)粘性過程，提出了關(guān)于晶粒質(zhì)心的角速度，即晶粒的旋轉(zhuǎn)速度為（如圖2 所示）：

式中：?i—晶粒取向；M—在扭矩Ti作用下晶粒的旋轉(zhuǎn)遷移率，并且這一遷移率與平均晶粒尺寸有很大的關(guān)系。

擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的晶界滑移引起的晶粒旋轉(zhuǎn)的均勻化表述如圖2 所示。

圖2 擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的晶界滑移引起的晶粒旋轉(zhuǎn)的均勻化表述

Moldovan 等人通過對(duì)旋轉(zhuǎn)遷移率的不同表述，分別考慮了晶界擴(kuò)散和晶格擴(kuò)散對(duì)晶粒旋轉(zhuǎn)的影響，并對(duì)多晶鈀給出了一個(gè)特征長度dc=1.8μm。依據(jù)這個(gè)特征長度，當(dāng)晶粒尺寸小于dc時(shí)，晶界擴(kuò)散是晶粒旋轉(zhuǎn)的主要機(jī)制；相反，當(dāng)晶粒尺寸大于dc時(shí)，晶格擴(kuò)散則起主導(dǎo)作用。

而對(duì)于納米晶體材料（d<100 nm）來說，研究者可以認(rèn)為晶粒旋轉(zhuǎn)的主要驅(qū)動(dòng)力來自晶界的擴(kuò)散，但是，他們并沒有考慮外來應(yīng)力對(duì)晶界滑移和晶粒旋轉(zhuǎn)所帶來的影響。而Kim 等人[13]所利用的能量守恒方法，則考慮了外來應(yīng)力對(duì)晶界滑移所造成的影響。

利用這一理論，本研究把外來應(yīng)力對(duì)晶粒旋轉(zhuǎn)的影響歸結(jié)于對(duì)晶界滑移的影響，并且在Moldovan 模型的基礎(chǔ)上重新定義了晶粒旋轉(zhuǎn)的遷移率。

其遷移率可表示為：

式中：η*L—基于Kim 等人的方法提出的一個(gè)定義粘度，可表示為：

式中：ηGB—晶界滑移的有效粘度，可表示為：

式中：n—晶粒的晶界數(shù)量，Ω—原子的體積，δ—晶粒周圍晶界的擴(kuò)散寬度（也就是晶界的寬度），DGB—晶界的擴(kuò)散系數(shù)，L—晶界的長度，k—玻爾茲曼常數(shù)，T—相關(guān)的絕對(duì)溫度。

將式（6，8）代入式（7），可得晶粒的旋轉(zhuǎn)角速度為：

為了更簡便地計(jì)算晶粒的旋轉(zhuǎn)，本研究假設(shè)所有晶粒截面的形狀都是n=6 的正六邊形，該截面的正六邊形結(jié)構(gòu)如圖2（c）所示；并設(shè)定晶界的長度等于晶粒的半徑（L=d/2），柱形晶粒的柱高與晶粒尺寸相等（h=d），則式（11）可進(jìn)一步簡化為：

1.2 剪切帶的演化

基于剪切帶的特點(diǎn)以及晶粒旋轉(zhuǎn)的理論，按照晶粒取向與剪切方向的差異，本研究將晶粒分成剪切帶內(nèi)容易發(fā)生滑移的軟晶粒和剪切帶外只發(fā)生擴(kuò)散蠕變的硬晶粒。

為了描述剪切帶的演化，本研究考慮了一個(gè)代表性結(jié)構(gòu)單元，如圖2（b）所示。在這一單元中含有N 個(gè)晶粒，其中有Ns個(gè)軟晶粒，這里用一個(gè)軟化因子來表示軟晶粒的比例分?jǐn)?shù)。

隨著晶粒的旋轉(zhuǎn)，軟晶粒的數(shù)量不斷增加，軟化因子η也隨之變化，軟化因子能夠反映這一結(jié)構(gòu)單元內(nèi)晶粒旋轉(zhuǎn)的情況。進(jìn)而軟化因子的變化就形成了一個(gè)軟化機(jī)制，這一軟化機(jī)制產(chǎn)生了越來越多的晶粒取向趨向于剪切方向的結(jié)構(gòu)單元，在外力作用下，就形成了剪切帶區(qū)域（η=1），晶粒旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的剪切帶演化示意圖如圖3 所示。

圖3 晶粒旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致的剪切帶演化示意圖

因此，本研究就以軟化因子的變化來描述剪切帶的演化。

前面已經(jīng)對(duì)單個(gè)晶粒的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行了相應(yīng)的分析，而這并不能表述整個(gè)結(jié)構(gòu)單元內(nèi)軟化因子的演化，如圖2（b）所示。為了進(jìn)一步精確表述晶粒旋轉(zhuǎn)引起的剪切帶的演化，研究者必須將單個(gè)晶粒的旋轉(zhuǎn)與軟化因子的演化聯(lián)系起來。

在此，本研究采用類似于Ramesh 等人提出的一個(gè)加權(quán)平均值方法，均勻化地表述整個(gè)結(jié)構(gòu)單元的晶粒取向?，進(jìn)而建立了一個(gè)軟化因子的均勻化演化機(jī)制。

那么，在整個(gè)結(jié)構(gòu)單元內(nèi)，所有晶粒的平均晶粒取向可表示為：

進(jìn)一步地，本研究通過一個(gè)Delta 函數(shù)形式的補(bǔ)償函數(shù)（式中：?s—剪切方向），對(duì)晶粒取向進(jìn)行一個(gè)加權(quán)平均來計(jì)算軟晶粒的比例分?jǐn)?shù)（即軟化因子）η，即：

則軟化因子η的平均變化率可表述為：

進(jìn)一步合并公式（12，15），可得：

本研究把式（16）中第二個(gè)中括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)近似等同于一個(gè)連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則式（16）可進(jìn)一步簡化為：

其中：

式中：Sˉmax—結(jié)構(gòu)單元內(nèi)晶粒的平均最大Schmid 因子值。

式（18）可以被看做是基于晶界擴(kuò)散引起的晶粒旋轉(zhuǎn)的剪切帶演化機(jī)制，它與晶粒的尺寸、晶粒取向以及塑性變形的時(shí)間有關(guān)。

2 結(jié)果與討論

2.1 晶粒取向?qū)羟袔а莼挠绊?/h3>

對(duì)于單晶來說，Schmid 因子S max=0.5 時(shí)屈服強(qiáng)度最低，即這種取向最軟。對(duì)于納米晶體材料而言，每一個(gè)晶粒都可以看作是單晶結(jié)構(gòu)。但是，在納米晶體材料中，各個(gè)晶粒之間的最大Schmid 因子值卻各不相同。

本研究采用Brahme 的方法[14]，以一個(gè)指數(shù)函數(shù)的形式給出了初始軟化因子值與Schmid 因子（晶粒取向）之間的關(guān)系，即：

筆者以Cheng 等人進(jìn)行的納晶銅（d=62 nm）的拉伸試驗(yàn)為例，計(jì)算不同應(yīng)變下軟化因子的變化。納晶銅材料的相關(guān)參數(shù)如表1 所示（應(yīng)變率為1 ×10-4s-1）。

表1 納晶銅的材料參數(shù)

本研究將圖2（b）中的結(jié)構(gòu)單元分成500 個(gè)晶粒集合，假定每個(gè)晶粒集合的平均最大Schmid 因子值相差0.001，根據(jù)晶粒集合的軟化因子η的演化方程式（17），在不同的塑性應(yīng)變值下，軟化因子與平均Schmid 因子的演化如圖4 所示。

圖4 不同平均Schmid 因子值下，軟化因子隨塑性變形的演化

從圖4 中可以看出，隨著應(yīng)變的增加，對(duì)于擁有不同的平均最大Schmid 因子值的晶粒集合，它們的軟化因子值普遍有所增加。

2.2 晶粒尺寸對(duì)剪切帶演化的影響

通常來說，納米晶體材料的力學(xué)性能與晶粒尺寸有關(guān)。最近，Ramesh 等人研究了晶粒尺寸與剪切帶演化的影響，但他們只考慮單一剪切帶的演化，并沒有考慮剪切帶在縱向以及整個(gè)樣本空間內(nèi)總的剪切帶體積的變化。

本研究中，筆者提出了基于晶粒旋轉(zhuǎn)的剪切帶演化機(jī)制，通過均勻化表述整個(gè)樣本空間內(nèi)晶粒的旋轉(zhuǎn)，將剪切帶的演化推廣到整個(gè)空間內(nèi)，從空間上研究剪切帶的總的體積分?jǐn)?shù)的演化。在本研究的模型中，通過晶粒尺寸對(duì)晶粒旋轉(zhuǎn)的影響，考慮晶粒尺寸對(duì)剪切帶演化的影響。

從公式（17）可以看出，晶粒尺寸的影響主要來自本研究給定的與擴(kuò)散有關(guān)的系數(shù)?。以納晶銅為例（相關(guān)參數(shù)如表1 所示），本研究分別考慮了3 個(gè)晶粒尺寸：60 nm、100 nm 和200 nm，應(yīng)變率為1 ×10-3s-1，所有樣本給定相同的初始最大平均施密特因子值Sˉmax=0.3。3 種尺寸對(duì)應(yīng)的剪切帶體積分?jǐn)?shù)的演化如圖5 所示。

圖5 不同晶粒尺寸下剪切帶體積分?jǐn)?shù)的演化

從圖5 中可以看出，在相同的應(yīng)變下，晶粒尺寸越大，剪切帶的體積分?jǐn)?shù)越小，這與剪切帶的實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果相吻合。這主要是因?yàn)椋涸诮o定的應(yīng)變率下，用來表述剪切帶演化的軟化因子η與?成正比，而?與晶粒尺寸成反比關(guān)系，因此，軟化因子與晶粒尺寸也成反比關(guān)系。

3 結(jié)束語

基于剪切帶的特點(diǎn)以及晶粒旋轉(zhuǎn)的表述，本研究按照晶粒取向與剪切方向的差異，將晶粒分成剪切帶內(nèi)容易發(fā)生滑移的軟晶粒和剪切帶外只發(fā)生擴(kuò)散蠕變的硬晶粒，并根據(jù)擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)的晶界滑移引起的晶粒旋轉(zhuǎn)理論構(gòu)建了一個(gè)描述剪切帶演化的模型。在這一模型中，本研究同時(shí)考慮了晶粒尺寸和晶粒取向分布對(duì)剪切帶演化所帶來的影響。

研究結(jié)果表明：在相同的晶粒尺寸下，隨著應(yīng)變的增加，對(duì)于擁有不同的最大平均Schmid 因子值的晶粒集合，剪切帶的體積分?jǐn)?shù)普遍有所增加；在相同的應(yīng)變和初始最大平均Schmid 因子值下，晶粒尺寸越大，剪切帶的體積分?jǐn)?shù)越小。

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