鄭紅黨，王亞男

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 信電學(xué)院，江蘇 徐州221008）

在隧道中存在的波模必滿足：

矩形隧道中電磁波傳播模式理論以文獻(xiàn)［1］為基礎(chǔ)，研究了隧道形狀、尺寸和隧道壁的電參數(shù)對(duì)電磁波的傳播特性的影響，所做分析僅針對(duì)基?；虿糠植＃?－5］。僅用基模或部分波模的傳輸特性來分析電磁波的特性是不夠準(zhǔn)確的，幾何光學(xué)與波模理論分析結(jié)果的分歧也在于此［6－7］。近期，Sun Zhi等研究了多波模理論并結(jié)合陰影衰落建模［8－9］，其仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為接近，但在其研究中沒有考慮波模數(shù)量的問題，一旦傳播環(huán)境改變，有效的傳輸波模數(shù)目也會(huì)隨之變化。

波模理論有必要進(jìn)一步推導(dǎo)與分析，首先應(yīng)推導(dǎo)出隨著隧道環(huán)境變化，傳輸波模個(gè)數(shù)的公式，再對(duì)隧道內(nèi)的傳播特性進(jìn)行分析，于隧道無線通信系統(tǒng)建設(shè)提供明確的參考。

1 波模理論基礎(chǔ)

矩形隧道中傳輸?shù)闹饕Ｊ綖椋核綐O化波Eh與垂直極化波Ev。若隧道的寬度為a，高度為b，隧道壁的相對(duì)介電常數(shù)為ε，根據(jù)麥克斯韋方程，可以得到水平極化波Eh的各場(chǎng)量的表達(dá)式［1］：

其中，色散系數(shù)kx，ky，kz滿足：

垂直極化波Ev的各場(chǎng)量的表達(dá)式為：

其中，色散系數(shù)kx，ky，kz滿足：

式中：m為波模在水平方向的半波數(shù)；n為波模在垂直方向的半波數(shù)。

kz中的虛部表示了波模在z方向的衰減，用dB表示水平極化波Eh的衰減系數(shù)有：

通過交換式（5）中的下標(biāo)，可得到垂直極化波Ev的衰減系數(shù)：

由式（5）和式（6）可見，僅對(duì)各個(gè)波模來說頻率越高所對(duì)應(yīng)的衰減系數(shù)越小，并且隧道橫截面尺寸越大，衰減系數(shù)越小。

2 傳播模式個(gè)數(shù)的推導(dǎo)

隧道中電磁波傳輸時(shí)的波模數(shù)目并沒有文獻(xiàn)給出準(zhǔn)確的公式，一些文獻(xiàn)也只是通過仿真來確定在某一特定環(huán)境下，需要考慮的波模數(shù)目。但隨著環(huán)境的變化，波模數(shù)目將會(huì)改變。

分析式（2）式（4），色散系數(shù)kx，ky的虛部，由于傳輸波長(zhǎng)選擇小于巷道尺寸，由此忽略虛部則：

在隧道中存在的波模必滿足：

進(jìn)一步推導(dǎo)可得：

由公式（11）可知，在隧道中傳輸?shù)牟５哪?shù)（m，n）必在以長(zhǎng)軸為2a／λ，短軸為2b／λ的橢圓內(nèi)，又因?yàn)閙，n非負(fù)，所以總的波模個(gè)數(shù)M 為此橢圓的1／4面積即：

波模的數(shù)目與波長(zhǎng)的平方成反比即隨頻率的平方而增長(zhǎng)，符合文獻(xiàn)［10］的結(jié)論。

3 波導(dǎo)傳輸損耗推導(dǎo)

以水平極化波為例，不考慮天線的方向性，每個(gè)波模的攜帶能量相等，總的介質(zhì)波導(dǎo)傳輸損耗為：

當(dāng)隧道橫截面尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電磁波波長(zhǎng)時(shí)，則公式（11）第一項(xiàng)累加和可化為積分形式：

同理，求公式（11）的第二項(xiàng)累加和得：

式（13）和（14）代入式（11）可得水平極化波考慮所有可能出現(xiàn)的波模時(shí)總的損耗為：

用同樣的方法計(jì)算垂直極化波的波導(dǎo)損耗為：

由式（15）與式（16）知，隨著頻率的升高，當(dāng)波長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于截面尺寸時(shí)，總波模損耗收斂于一個(gè)穩(wěn)定值，且這個(gè)穩(wěn)定值與波長(zhǎng)無關(guān)。即存在一個(gè)閾值頻率，當(dāng)發(fā)射頻率增加到此閾值頻率，再提高發(fā)射頻率，對(duì)于減少波導(dǎo)損耗的作用不大。當(dāng)隧道截面尺寸增加時(shí)，介質(zhì)波導(dǎo)引起的損耗將減少。

因此，求出收斂閾值頻率是對(duì)于載頻的選擇有著重要的指導(dǎo)意義。下面通過仿真分析影響此閾值的因素。

4 仿真與分析

為了取得波長(zhǎng)或頻率閾值的共性，分別對(duì)寬為10m，高為5m的大隧道和寬為1m，高為2m的小隧道進(jìn)行了仿真分析。

圖1仿真了電磁波衰落與激勵(lì)波模數(shù)的關(guān)系，可以看出在大巷道與小巷道中電磁波隨波模數(shù)目變化的衰落趨勢(shì)是基本相同的。當(dāng)激勵(lì)的波模數(shù)目大于200時(shí)，電磁波衰落值就很接近于式（15）式（16）給出的收斂值，即當(dāng)波模數(shù)目大于200時(shí)，電磁波的介質(zhì)波導(dǎo)損耗的計(jì)算可以用式（15）式（16）代替。也說明隨著發(fā)射頻率的提高，介質(zhì)波導(dǎo)衰落不會(huì)再隨之明顯的減小，為了減小散射與傾斜度的衰落，則最佳發(fā)射頻率應(yīng)取收斂點(diǎn)處的頻率。

圖1 隧道中電磁波衰落與激勵(lì)波模數(shù)的關(guān)系

文獻(xiàn)［11］通過測(cè)量數(shù)據(jù)也從另一側(cè)面說明了這個(gè)結(jié)論，“當(dāng)巷道截面等效半徑與波長(zhǎng)相差不大于10倍時(shí)（大于或小于），巷道截面尺寸對(duì)無線傳輸?shù)挠绊戄^大，當(dāng)巷道截面等效半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí)，巷道截面對(duì)無線傳輸?shù)挠绊懳⑷酢?。由于波模?shù)目與巷道截面成正比，當(dāng)巷道截面較小時(shí)，也就是激勵(lì)的波模數(shù)目較少時(shí)，截面積的大小對(duì)無線傳輸?shù)挠绊懘螅?dāng)截面尺寸繼續(xù)增大時(shí)，激勵(lì)的波模模數(shù)目超過一定的數(shù)值時(shí)，巷道截面的大小對(duì)無線傳輸影響較小，與本文的結(jié)論是一致的。

根據(jù)以上分析，把激勵(lì)波模數(shù)目M＝200代入公式（10），可以得到閾值波長(zhǎng)，從而計(jì)算出閾值頻率，作為發(fā)射頻率的參考。表1為頻率閾值參考表。

文獻(xiàn)［11］中也指出煤礦最佳傳輸頻率為900 MHz，煤礦巷道橫截面尺寸為8m2附近，這也與本文所得結(jié)果一致。

表1 收斂閾值參考表

5 結(jié)論

論文運(yùn)用波模理論推導(dǎo)分析出在矩形隧道中隨著發(fā)射頻率的提高，介質(zhì)波導(dǎo)傳輸損耗趨于一個(gè)收斂值，其大小取決于隧道尺寸，而收斂的趨勢(shì)則取決于激勵(lì)的波模數(shù)。對(duì)不同尺寸隧道的仿真表明，當(dāng)激勵(lì)的波模數(shù)目達(dá)200左右時(shí)，傳輸損耗均近似等于收斂值，對(duì)應(yīng)的頻率即為收斂閾值頻率。這與文獻(xiàn)［10］經(jīng)過測(cè)量得到的結(jié)論基本一致。收斂閾值頻率對(duì)隧道內(nèi)載頻的選擇有著重要的指導(dǎo)意義，當(dāng)載頻小于收斂閾值頻率的波導(dǎo)損耗會(huì)隨著頻率的提高而迅速減小，當(dāng)頻率大于收斂閾值時(shí)，波導(dǎo)傳輸損耗是一個(gè)平穩(wěn)值。

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