崔 信

（晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 晉中030600）

自從Aiello和Freedman建立了具有階段結(jié)構(gòu)的種群模型［1］之后，具有階段結(jié)構(gòu)的生物模型受到眾多學(xué)者的重視［2－3］。文獻(xiàn)［4］討論了文獻(xiàn)［3］對應(yīng)的自治系統(tǒng)的一致持久性及具有無限時滯的階段結(jié)構(gòu)模型的持久性；文獻(xiàn)［5－6］討論了食餌和捕食者都具有階段結(jié)構(gòu)的周期捕食系統(tǒng)的一致持久性和正周期解的存在性；文獻(xiàn)［7］研究了食餌具有階段結(jié)構(gòu)和捕食者具有消化時滯τ的階段結(jié)構(gòu)捕食模型的全局穩(wěn)定性和永久持續(xù)生存。上述文獻(xiàn)中考慮的出生率都是關(guān)于種群密度的線性函數(shù)，而考慮非線性出生率的種群模型研究較少［8］。本文在文獻(xiàn)［8］基礎(chǔ)上，考慮食餌種群具有階段結(jié)構(gòu)及非線性出生率，而捕食者種群僅捕食幼年食餌。我們建立模型如下：

其中：x1（t），x2（t）分別是食餌種群的幼年種群和成年種群的密度函數(shù)，y（t）是捕食者種群的密度函數(shù)。模型（1）的建立基于下列基本假設(shè)：

（H1）食餌種群：幼年食餌種群具有非線性出生率p／（q＋x1），幼年體食餌的死亡率為d1，幼體向成體的轉(zhuǎn)化率為δ，成體食餌的死亡率d2．

（H2）捕食者種群：假定這里捕食者只捕食幼年食餌，捕食者的生存依賴于幼年種群的生存狀況。捕食者的死亡率為d3，消耗率為β，捕食者種群并不及時繁殖，而是經(jīng)過一段消化時間τ之后才繁殖。參數(shù)p，q，d1，d2，d3，δ，β都是正常數(shù)。

系統(tǒng)（1）的初始條件為：

其中，φi（t）（i＝1，2，3）是［－τ，0］上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。

1 預(yù)備知識

易知系統(tǒng)（1）滿足初始條件（2）的解具有正性。我們首先討論解的有界性。

定理1 當(dāng)存在常數(shù)M1＞0，M2＞0，使得系統(tǒng)（1）－（2）的任一解 （x1（t），x2（t），x3（t）），當(dāng)t充分大時，滿足x1（t）＜M1，x2（t）＜M1，y（t）＜M2。

證明 首先考察系統(tǒng)（1）缺少捕食者種群的子系統(tǒng)

這里系統(tǒng)滿足初始條件x1（0）＞0，x2（0）＞0．

記V（t）＝x1＋x2．把方程（3）兩邊同時相加可得：

從（4）式易知，存在M1＞0，對所有的t＞0有0＜V（t）＜M1．由解的正性可知0＜x1（t），x2（t）＜M1．

下面考慮函數(shù)W（t）＝x1（t－τ）＋y（t）．計算W沿系統(tǒng)（1）的解的導(dǎo)數(shù)，得到

從（5）式知，存在正數(shù)M2，當(dāng)t充分大時，有0＜W（t）＜M2，從而有y（t）＜M2．定理得證。

2 局部穩(wěn)定性與周期解

系統(tǒng)（1）總存在平衡點E0（0，0，0）．

0不穩(wěn)定；

0近穩(wěn)定。

31界平衡點是不穩(wěn)定的；ii．當(dāng)d3＜βxˉ1時，平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 1）系統(tǒng)（1）在平衡點E0（0，0，0）處的特征方程為

易見，當(dāng)pδ＞qd2（d1＋δ）時，E0（0，0，0）是一鞍點；當(dāng)pδ＜qd2（d1＋δ）時，平衡點E0（0，0，0）局部漸近穩(wěn)定。

存在兩個根λ2＜0，λ3＜0，另一個特征根λ1由λ＋d3－exp（－λτ）＝0的解給出。

i．當(dāng)d3＞時，注意到y(tǒng)＝λ和y＝的圖形必須相交于λ的一個正值，因此平衡點E1是不穩(wěn)定的。

ii．當(dāng)d3＜時，方程0的解λ1＜0．因此平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的。證畢。

證明 系統(tǒng)（1）在平衡點E2（x＊1，x＊2，y＊）處的特征方程為

由Routh－Hurwitz準(zhǔn)則知方程（7）的所有根均具有負(fù)實部當(dāng)且僅當(dāng)

從而當(dāng)τ＝0或τ很小時，正平衡點E2局部漸近穩(wěn)定。

證明 首先要證明在平衡點E2處的特征方程（6）有一對純虛根±iω．

如果λ＝±iω是方程（6）的一對純虛根，將λ＝±iω代入（6）并分離實部和虛部得：

上式兩邊同時平方并相加得：

其中，A1＝p21－2p2－q21＝A2＋d22＋2Bδ＞0，

令Ω＝ω2，則式（9）化為

故相應(yīng)于ω0的τn由下式給出：

因為τ＝0時，E2局部穩(wěn)定，從而由Butler引理［9］知，在定理的條件下，平衡點E2對所有的τ≤τ0（τ0＝τ＊0，n＝0）仍是局部漸近穩(wěn)定的。由于（11）有唯一正根，根據(jù)Cooke［10］的結(jié)論，下列橫截條件成立：

事實上，對（6）兩邊同時求導(dǎo)得：

3 全局穩(wěn)定性

類似文獻(xiàn)［11］中定理3．2的證明，得到下列定理。

定理5 當(dāng)pδ＜qd2（d1＋δ）時，平衡點E0（0，0，0）全局漸近穩(wěn)定。

定理6 若pδ＞qd2（d1＋δ）和d3＜滿足，并且βM1＜b3，則系統(tǒng)（1）的邊界平衡點E1是全局漸近穩(wěn)定的。這里M1如定理1中所述。

證明 由于滿足pδ＞qd2（d1＋δ）和d3＜，系統(tǒng)（1）的邊界平衡點E1是局部漸近穩(wěn)定的，我們只需

首先考慮系統(tǒng)（1）的第三個方程。可得：

作時間參數(shù)變換。設(shè)dt＝（q＋x1）dτ，則系統(tǒng)（12）變?yōu)?/p>

作量綱一變換：

則系統(tǒng)（13）變?yōu)?/p>

當(dāng)pδ＞qd2（d1＋δ），即a1＞a2系統(tǒng)（14）有2個非負(fù)平衡點），且（0，0）總是一鞍點是局部漸近穩(wěn)定的。其中

證畢。

［1］ Aiello W G，F(xiàn)reedman H I．A time－delay model of single－species growth with stage structure［J］．Math Biosci，1990，101：139－153．

［2］ Chen Fengde．Permanence of periodic holling type predator－prey system with stage structure for prey［J］．Applied Mathematics and Computation，2006，182：1849－1860．

［3］ Wei Fengying，Wang Ke．Permanence of variable coefficients predator－prey system with stage structure［J］．Applied Mathematics and Computation，2006，180：594－598．

［4］ Wei Fengying，Wang Ke．Permanence of some stage structured ecosystems with finite and infinite delay［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，189：902－909．

［5］ Xu Rui，Chaplain M A J，Davidson F A．Permanence and periodicity of a delayed ratio－dependent predator－prey model with stage structure［J］．Math Anal Appl，2005，303：602－621．

［6］ Xu Rui，Wang Zhiqiang．Periodic solutions of a nonautonomous predator－prey system with stag structure and time delay［J］．Journal of Computation and Applied Mathematics，2006，196：70－86．

［7］ 師向云，郭振．一類具有時滯和階段結(jié)構(gòu)的捕食系統(tǒng)的全局分析［J］．信陽師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，21（1）：32－35．

［8］ 黃旭玲，文玉嬋．非線性生育率的階段結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的定性分析［J］．玉林師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2004，25（5）：1－3．

［9］ Freedman H I，Sree H R V．The Trade－off between mutual interference and time lags in predator－prey systems［J］．Bull Mathe Biol，1983，45：9912－1003．

［10］ Cooke K L，Van D D，Riessche P．On zeros of some transcendental functions［J］．Funkcial Evac，1986，29：77－90．

［11］ Xiao Yanni，Chen Lansun．A ratio－dependent predator－prey model with disease in the prey［J］．Appl Math Comput，2002，131：397－414．