王 婧，巴 諾，吳向堯，劉曉靜，張斯淇，李 宏，馬 季，董 賀

（吉林師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林四平 136000）

一維光子晶體的電場分布特性＊

王 婧，巴 諾，吳向堯，劉曉靜，張斯淇，李 宏，馬 季，董 賀

（吉林師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林四平 136000）

推導(dǎo)出任意角度的入射光在一維光子晶體中傳播的電場分布公式，分析一維光子晶體的電場分布特性.數(shù)值分析表明，入射光角度、光子晶體介質(zhì)層排列方式、缺陷層和缺陷層折射率均對一維光子晶體電場分布特性產(chǎn)生不同的影響.

一維光子晶體；電場分布；缺陷層

光子晶體是人工制造的新型光學(xué)材料，1987年由Yablonovitch［1］和John［2］首次提出，因為該光子晶體能夠有效地抑制光的自發(fā)輻射，降低噪聲和能量的損耗，可作為優(yōu)良的光傳導(dǎo)介質(zhì)，所以在物理學(xué)界引起了廣泛的關(guān)注［3］.與半導(dǎo)體能帶結(jié)構(gòu)相似，當(dāng)引入缺陷時，在光子晶體禁帶中會出現(xiàn)缺陷態(tài)，從而導(dǎo)致光子的局域化.光子晶體的缺陷或雜質(zhì)在帶隙中產(chǎn)生定域的電磁波模式［4－5］，具有非常廣泛的用途.

筆者以目前已有的光垂直入射時的透射率及色散關(guān)系等研究結(jié)果為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出光任意角入射時的透射率及反射率的精確表達(dá)式和光任意角入射時一維光子晶體內(nèi)部電場強(qiáng)度分布的解析式，并對一維光子晶體的電場分布特性進(jìn)行了詳細(xì)的研究，分別討論了一維光子晶體介質(zhì)層排列方式、缺陷層位置、入射光角度和缺陷層折射率對一維光子晶體的電場分布特性的影響，為不同的一維光子晶體應(yīng)用需求提供了理論依據(jù).

1 光任意角度入射時的傳輸矩陣及透射率

對一維光子晶體，光在各介質(zhì)層中均沿直線傳播，只考慮TE波（E偏振與入射面垂直），已知電磁場邊值關(guān)系：在介質(zhì)交界面的切向方向上的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度是連續(xù)的.圖1中E0和H0是界面Ⅰ上側(cè)的場矢量，EⅠ和HⅠ是界面Ⅰ下側(cè)的場矢量，EⅡ和HⅡ是界面Ⅱ下側(cè)的場矢量.界面Ⅰ上方Ei1，Et1，Er1分別為電場分量入射光波，透射光波和界面Ⅰ下方入射到界面Ⅰ的光波［6］.

圖1 任意角度的入射光在一維光子晶體介質(zhì)中的傳播

對于界面Ⅰ，Ⅱ上方，由電場和磁場的邊值關(guān)系可知：

其中：xA和xB分別為A，B2點在x坐標(biāo)的分量；xB＝xA＋tan·a（a為界面Ⅰ和界面Ⅱ之間的介質(zhì)層A厚度）；n1為A的折射率.令則（3）式為

（8）式即為光在半個周期介質(zhì)層中的傳播矩陣.令介質(zhì)層A，B的厚度分別為a，b，折射率分別為n1，n2，折射角分別為，，且由折射定律可知則入射角為的光在2個半周期介質(zhì)層A中的傳輸矩陣為

于是1個周期的傳輸矩陣M為

對于第N個周期，電場強(qiáng)度EN，EN＋1和磁場強(qiáng)度HN，HN＋1滿足的關(guān)系式為

由（9）式最終可得到任意入射角的光在N個周期光子晶體中的特征方程為

其中M＝M1M2...MN＝MaMbMaMb...MaMb.

任意角度時的透射系數(shù)t、透射率T和反射系數(shù)r和反射率R分別為

2 任意角度的入射光在一維光子晶體中的場強(qiáng)分布

由任意入射角的光在一維光子晶體中的傳播矩陣可得

其中：N為第N周期；ΔzN為光在第N周期內(nèi)的傳播距離；E0，H0分別為入射電磁場強(qiáng)度，分別是光在第N周期內(nèi)的電場和磁場強(qiáng)度.光在一維光子晶體內(nèi)場強(qiáng)分布如圖2所示.

圖2 光在一維光子晶體內(nèi)場強(qiáng)分布

運用相應(yīng)變換可得

由（10）至（12）式即可得到得任意角入射的光在一維光子晶體中的電場分布公式為

3 數(shù)值分析

文中討論的一維光子晶體的A，B介質(zhì)層分別由Si和Al2O3構(gòu)成，折射率分別為n1＝3.42，n2＝1.766，介質(zhì)層厚度分別為a，b，光學(xué)厚度n1a＝n2b＝λ0／4，中心波長λ0＝679×10－9m，對應(yīng)角頻率ω0＝2πc／λ0，c為真空中光速.

圖3 光在不同結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)分布曲線（θ＝0°）

圖3為垂直入射的光在（BA）8，（AB）8結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中傳播的場強(qiáng)分布曲線，橫軸表示光在一維光子晶體中的傳播位置z，縱軸表示光在不同位置所對應(yīng)的場強(qiáng)與入射場強(qiáng)比值的模方，虛線為光在介質(zhì)層A中光的場強(qiáng)分布曲線，實線是介質(zhì)層B中光的場強(qiáng)分布曲線，入射光角頻率ω＝ω0.從圖3可看出：無論A，B介質(zhì)如何排列，光在無缺陷一維光子晶體中傳播時，其電場分布總是在A介質(zhì)層中逐漸增強(qiáng)，B介質(zhì)層中逐漸減弱.已知na＞nb，即在無缺陷的一維光子晶體中，光在相對折射率較大的介質(zhì)中傳播時，其電場分布總是呈增長趨勢，而在相對折射率較小的介質(zhì)中傳播時，其電場分布總是呈減弱趨勢.結(jié)果表明，垂直入射的光在（BA）8結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)明顯高于（AB）8結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng).

圖4為垂直入射的光在（AB）6D（BA）6，（BA）6D（AB）6結(jié)構(gòu)的含缺陷一維光子晶體中傳播的電場分布曲線.其中橫縱軸坐標(biāo)和虛實線含義同圖3，黑粗線為光在缺陷層中傳播的場強(qiáng)分布曲線，缺陷層D均相同，折射率nd＝1.457，光學(xué)厚度ndd＝λ0／2，入射光角頻率ω＝ω0.

圖4 光在不同結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)分布曲線（θ＝0°）

從圖4可發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)在一維光子晶體中加入缺陷后，光在A，B介質(zhì)中的場強(qiáng)分布趨勢發(fā)生了變化，無論A，B介質(zhì)如何排列，光在含缺陷一維光子晶體中傳播時，在缺陷層前的介質(zhì)中，其電場分布總是在A介質(zhì)層中逐漸減弱，B介質(zhì)層中逐漸增強(qiáng)，而在缺陷層后的介質(zhì)中，其電場分布總是在A介質(zhì)層中逐漸增強(qiáng)，B介質(zhì)層中逐漸減弱.（2）垂直入射的光在（AB）6D（BA）6結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)明顯高于（BA）6D（AB）6結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)，但在缺陷層內(nèi)場強(qiáng)的分布情況不同，前者雖然最大值較高，但其在缺陷層內(nèi)分布趨勢是先減弱后增強(qiáng)，在缺陷層中心處場強(qiáng)趨近0，后者場強(qiáng)最大值雖然無前者高，但其在缺陷層內(nèi)分布趨勢是先增強(qiáng)后減弱，在缺陷層中心處場強(qiáng)達(dá)到最大值.

比較圖3，4還可發(fā)現(xiàn)，若一維光子晶體摻入缺陷層，則缺陷層附近的電場強(qiáng)度會得到明顯增強(qiáng)，其增強(qiáng)程度與光子晶體結(jié)構(gòu)有關(guān).

圖5為不同入射角的光在（AB）6D（AB）6結(jié)構(gòu)的含缺陷一維光子晶體中傳播的電場分布曲線，其中橫縱軸的含義同圖3.圖5中黑粗線為光在缺陷層中傳播的場強(qiáng)分布曲線，缺陷層D均相同，折射率和入射光角頻率同圖4，光學(xué)厚度ndd＝λ0／4.由圖5可發(fā)現(xiàn)，對相同結(jié)構(gòu)的含缺陷層一維光子晶體，逐漸增大其入射光角度，其場強(qiáng)分布隨之逐漸減小.

圖5 不同角度入射光在（AB）6 D（AB）6結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)分布曲線

圖6為光在3種不同折射率的缺陷層一維光子晶體中傳播的場強(qiáng)分布曲線，結(jié)構(gòu)均為（AB）6D（AB）6，缺陷層折射率nd分別為1.457，2.55和4，光學(xué)厚度均為ndd＝λ0／4，入射光角頻率均為ω＝2ω0，入射光角度θ＝30°.圖6中黑粗線為光在缺陷層中傳播的場強(qiáng)分布曲線，其中橫縱坐標(biāo)含義同圖3.比較圖6中不同缺陷層折射率nd下的電場分布可發(fā)現(xiàn)，隨缺陷層折射率逐漸增大，缺陷層處的場強(qiáng)隨之逐漸減小.

圖6 不同nd條件下入射光在（AB）6 D（AB）6結(jié)構(gòu)一維光子晶體中的場強(qiáng)分布曲線

4 結(jié)語

對任意角度入射的光在一維光子晶體中傳播的透射率、電場分布公式進(jìn)行推導(dǎo)，并利用推導(dǎo)公式對一維光子晶體的場強(qiáng)分布進(jìn)行數(shù)值分析，結(jié)論如下：

（1）在無缺陷的一維光子晶體中，無論A，B介質(zhì)如何排列，光在折射率較大的介質(zhì)中傳播時，其電場分布總是呈增長趨勢，而在折射率較小的介質(zhì)中傳播時，其電場分布總是呈減弱趨勢；垂直入射的光在（BA）8結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)明顯高于（AB）8結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng).

（2）當(dāng)在一維光子晶體中加入缺陷層后，光在A，B介質(zhì)中的場強(qiáng)分布趨勢發(fā)生了變化，無論A，B介質(zhì)如何排列，光在含缺陷層一維光子晶體中傳播時，在缺陷層前的介質(zhì)中，其電場分布總是在A介質(zhì)層中逐漸減弱，B介質(zhì)層中逐漸增強(qiáng)，而在缺陷層后的介質(zhì)中，其電場分布總是在A介質(zhì)層中逐漸增強(qiáng)，B介質(zhì)層中逐漸減弱.垂直入射的光在（AB）6D（BA）6結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)明顯高于（BA）6D（AB）6結(jié)構(gòu)的一維光子晶體中的場強(qiáng)，但在缺陷層內(nèi)場強(qiáng)的分布情況不同.

（3）對相同結(jié)構(gòu)的含缺陷層一維光子晶體，場強(qiáng)分布隨入射光角度增大而減小.

（4）一維光子晶體缺陷層附近的場強(qiáng)隨缺陷層折射率增大而減小.

［1］ YABLONOVITCH E.Inhibited Spontaneous Emission in Solid－State Physics and Electronics［J］.Physical Review Letters，1987，58（20）：2 059－2 062.

［2］ JOHN S.Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices［J］.Physical Review Letters，1987，58（23）：2 486－2 489.

［3］ 湯炳書，戴麗莉.二維周期復(fù)合介質(zhì)構(gòu)成的光子晶體能帶結(jié)構(gòu)［J］.吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2001，22（4）：63－68.

［4］ SAJEEV JOHN.Photonics：Light Control at Will［J］.Nature，2009，460：337－337.

［5］ RUSSELL P.Photonic－Crystal Fibers［J］.Science，2003，299：358－362.

［6］ 劉曉靜，張伯軍，王 婧，等.一維光子晶體中光場分布特性分析［J］.物理學(xué)報，2012，61（23）：237 801.

（責(zé)任編輯 陳炳權(quán)）

Electric Field Distribution Properties of One－Dimensional Photonic Crystals

WANG Jing，BA Nuo，WU Xiang－yao，LIU Xiao－jing，ZHANG Si－qi，LI Hong，MA Ji，DONG He
（Institute of Physics，Jilin Normal University，Siping 136000，Jilin China）

The electric field distribution formula of the transmitted incident liqut at arbitrary angle in onedimensional photonic crytals is deduced.The electric field distribution properties of one－dimentional photonic crystals are thus researched.The research shows that the incident angle，permutation of dielectric mode of photonic crystals，defect mode and defect mode refractive index can make different influences on the election field distribution in one－dimensional photonic crystals.

one－dimensional photonic crystals；electric field distribution；defect mode

O734

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.03.00

1007－2985（2013）03－0039－07

2013－03－15

國家自然科學(xué)基金資助項目（11247201）

王 婧（1987－），女，吉林白山人，吉林師范大學(xué)物理學(xué)院碩士研究生，主要從事凝聚態(tài)理論物理學(xué)研究

吳向堯（1965－），男，安徽安慶人，吉林師范大學(xué)物理學(xué)院教授，博士，主要從事凝聚態(tài)理論物理學(xué)研究，E－mail wuxy2006＠163.com.