孫述鵬，曹登慶，初世明

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

引 言

轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼在諸多工程機(jī)械中應(yīng)用廣泛，如高速離心機(jī)、航空發(fā)動(dòng)機(jī)高速轉(zhuǎn)動(dòng)鼓筒等。轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的科氏力、離心慣性力及環(huán)向初應(yīng)力，使得轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼具有不同于靜態(tài)圓柱殼的動(dòng)力學(xué)特性。具體說來，一方面，離心慣性力使殼體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生環(huán)向初應(yīng)力，導(dǎo)致殼體剛度增加，從而使轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼頻率隨轉(zhuǎn)速的升高而增加；另一方面，受轉(zhuǎn)動(dòng)速度矢量與變形速度矢量不一致而導(dǎo)致的科氏力的影響，轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼頻率隨轉(zhuǎn)速的變化發(fā)生分岔，產(chǎn)生不同頻率的前、后行波，區(qū)別于靜態(tài)圓柱殼頻率所對應(yīng)的駐波（振型）。轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼這種行波振動(dòng)的特點(diǎn)，使得傳統(tǒng)的求解靜態(tài)圓柱殼振動(dòng)響應(yīng)的方法不再適用。因此，對轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的研究，具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

國內(nèi)外眾多學(xué)者通過解析、數(shù)值、實(shí)驗(yàn)等手段對轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了大量的研究工作［1～12］，比較之下，對激振力作用下轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的研究則相對較少［13～16］。在為數(shù)不多的行波振動(dòng)響應(yīng)研究中，以Huang的工作最具代表性［13～15］。Huang將兩端簡支圓柱殼行波模態(tài)（travelling mode）代入基于Love－Timoshenko殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的振動(dòng)微分方程中，并利用三角函數(shù)的正交性將方程離散為常微分方程組，通過數(shù)值求解常微分方程組，進(jìn)而采用類似模態(tài)疊加的方法求得響應(yīng)?；诖怂悸?，Huang著重分析和探討了科氏力對兩端簡支轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱殼強(qiáng)迫振動(dòng)的影響以及簡諧移動(dòng)載荷作用下的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼體的共振現(xiàn)象。需要指出的是，Huang的結(jié)果，均針對兩端簡支邊界條件的轉(zhuǎn)動(dòng)柱殼，而對其他類型的邊界條件并沒有提及。兩端簡支約束的圓柱殼的振型可以解析地表達(dá)為三角函數(shù)組合的形式，而對于其他類型邊界條件下圓柱殼的振型，解析表達(dá)式的獲取則是困難的，因此有必要發(fā)展一種適用于求解各種類型邊界約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的方法。國內(nèi)也有部分學(xué)者在轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)響應(yīng)的求解方面做了一些工作。如李健等應(yīng)用Donnell殼體理論［16］，采用復(fù)分析的方法研究了轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁懸臂圓柱殼在法向激勵(lì)作用下的行波振動(dòng)。因作者僅通過在靜態(tài)薄壁圓柱殼上施加反向轉(zhuǎn)動(dòng)的激勵(lì)來處理轉(zhuǎn)動(dòng)柱殼受迫振動(dòng)問題，因此轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的離心慣性力、科氏力等的影響未能在模型中反映出來，并且作者采用的Donnell簡化殼體理論盡管形式簡單，但因其主要考慮法向彎曲變形，忽略了平面內(nèi)兩個(gè)方向的慣性力，不能準(zhǔn)確反映3個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的耦合，且對環(huán)向波數(shù)較小的模態(tài)，頻率計(jì)算并不準(zhǔn)確。

本文考慮由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的科氏力、離心慣性力及環(huán)向初應(yīng)力影響，利用Hamilton原理，建立了基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程［17］。選取滿足相應(yīng)邊界條件的軸向梁函數(shù)來逼近各類邊界條件下的圓柱殼軸向振型分布［18］。進(jìn)而采用Galerkin方法，對振動(dòng)微分方程進(jìn)行離散，得到6自由度陀螺轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。然后，通過疊加各行波模態(tài)的響應(yīng)，得到了任意典型邊界條件下轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)一般解的形式。最后，分別針對靜坐標(biāo)系下橫向簡諧力和恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)，給出了相應(yīng)算例，并對結(jié)果進(jìn)行了簡要分析。

1 基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程

考慮長L、厚H、半徑為R，并以角速度Ω繞中軸轉(zhuǎn)動(dòng)的各向同性薄壁圓柱殼，該圓柱殼的密度、彈性模量、泊松比分別為ρ，E，μ。如圖1所示，正交曲線坐標(biāo)系（x，θ，z）為建立在殼體中曲面上的動(dòng)坐標(biāo)系。相對于該坐標(biāo)系，殼體中曲面上點(diǎn)的軸向、切向、法向的變形位移分別為u，v，w。在殼體中面微元上，x，θ，z三個(gè)方向的單位面積外載荷分量分別為qx，qθ，qz。

圖1 載荷作用下的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼模型圖Fig．1 Sketch of the geometrical relations of a thin rotating cylindrical shell

轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的動(dòng)能可表示為

由環(huán)向初應(yīng)力所引起的初應(yīng)變能為［11］

式中＝ρHΩ2R2為離心慣性力導(dǎo)致的環(huán)向初應(yīng)力。

其中，基于Sanders殼體理論的薄壁圓柱殼中曲面的薄膜應(yīng)變分量與彎曲應(yīng)變（曲率變化）分量可分別表示為

考慮各向同性薄壁圓柱殼，有應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系如下

其中

薄壁圓柱殼應(yīng)變能可表示為

綜合考慮式（2）及（7），可得轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼總的應(yīng)變能

面載荷所做虛功可表示為

由哈密頓原理，可導(dǎo)出基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程如下

實(shí)際工程系統(tǒng)不可避免存在阻尼因素，受阻尼影響，系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)將衰減，進(jìn)而剩余工程中關(guān)心的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。通常情況下，阻尼是由試驗(yàn)測定的，這里假設(shè)阻尼為等效粘性阻尼，比例系數(shù)為ιmn，并在建立的振動(dòng)方程中引入阻尼項(xiàng)。振動(dòng)控制方程（10）可改寫為如下形式

2 轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)一般解

對轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼體自由振動(dòng)特性的研究表明［19］，轉(zhuǎn)動(dòng)引起的離心慣性力使殼體產(chǎn)生周向應(yīng)力，導(dǎo)致殼體剛度增加，從而使得轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼較靜態(tài)圓柱殼頻率有所增加；同時(shí)，受轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼變形速度矢量與轉(zhuǎn)動(dòng)速度矢量方向不同所引起的科氏力影響，轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼頻率隨轉(zhuǎn)速變化發(fā)生分岔，產(chǎn)生頻率不同的前、后行波。此時(shí)的模態(tài)已不是通常意義下的振型（駐波），而是與時(shí)間有關(guān)的行波?；诖?，將轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)解的一般形式設(shè)為如下形式：

考慮到除兩端簡支約束薄壁圓柱殼外，具有其他邊界條件的圓柱殼軸向振型分布很難用解析式表示出來，這里利用圓柱殼振型的軸向分布接近于相應(yīng)邊界條件梁振型函數(shù)的特性，采用梁函數(shù)來逼近圓柱殼軸向振型函數(shù)。一般可設(shè)3個(gè)方向的振型分布有如下形式［18］

式中ψ（x）為相應(yīng)邊界條件下連續(xù)梁的振型函數(shù)，一般形式如下

系數(shù)ci（i＝1，…，4）由邊界條件決定。為后面算例中分析方便，這里給出兩端固支連續(xù)梁的振型函數(shù)，其他邊界條件的梁的振型函數(shù)可以參考振動(dòng)理論的相關(guān)內(nèi)容。

固支－固支邊界條件下，梁的振型函數(shù)為［20］

其中

將解的形式（14）代入轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程（13），并采用Galerkin方法進(jìn)行離散，對每個(gè)m，n組合的模態(tài)可得到一個(gè)6自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，寫成矩陣形式有

對方程（19）進(jìn)行數(shù)值積分，可得每個(gè)m，n組合的模態(tài)所對應(yīng)的廣義坐標(biāo)的時(shí)間歷程。理論上講，將各個(gè)m，n組合的模態(tài)所對應(yīng)的廣義坐標(biāo)的時(shí)間歷程，運(yùn)用式（14）進(jìn)行疊加，即可得出轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上各點(diǎn)的行波振動(dòng)響應(yīng)。

值得注意的是，環(huán)向波數(shù)n＝0時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱殼的各階模態(tài)均表現(xiàn)為駐波的形式，而考慮到本文主要探討的是轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)的求解方法，因此在式（14）中沒有考慮n＝0這一特殊模態(tài)。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

根據(jù)前面給出的方法，針對具有兩端固支約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼模型，進(jìn)行了計(jì)算和分析，算例所用幾何參數(shù)及材料常數(shù)列于表1?？紤]到殼體的面外彎曲振動(dòng)是對殼體動(dòng)力學(xué)特性起主導(dǎo)作用的振動(dòng)形式，故這里只分析對應(yīng)于彎曲振動(dòng)的行波頻率特性，和法向的位移響應(yīng)w。

表1 幾何參數(shù)及材料常數(shù)Tab．1 Geometric parameter and material property

3．1 行波振動(dòng)頻率特性與模型驗(yàn)證

忽略阻尼，則對每個(gè)m，n組合的模態(tài)所對應(yīng)的6自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程（19）可退化為陀螺轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的形式

因此，求解轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波頻率的問題，就轉(zhuǎn)化為求解陀螺系統(tǒng)特征值問題。Meirovitch給出了求解此類特征值問題的方法［21］。需要指出，對于每個(gè)m，n組合的模態(tài)，有6個(gè)頻率值，其中頻率最低的兩個(gè)對應(yīng)于w方向彎曲振動(dòng)為主的行波頻率。

為驗(yàn)證離散模型的正確性，本文將所求得的行波頻率與由文獻(xiàn)［6］中的解析表達(dá)式所得結(jié)果進(jìn)行了比較，兩者結(jié)果吻合，如表2所示。

圖2所示為轉(zhuǎn)速6 000r／min，軸向振型階數(shù)m＝1情況下，動(dòng)坐標(biāo)下中行波頻率隨環(huán)向波數(shù)的變化曲線。動(dòng)坐標(biāo)系下，后行波頻率大于前行波頻率，且前、后行波頻率隨環(huán)向波數(shù)的增加均呈現(xiàn)先減小后增加的趨勢，并在環(huán)向波數(shù)大于9時(shí)逐漸重合。圖3所示為軸向振型階數(shù)m＝1，環(huán)向波數(shù)n＝3時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)系中行波頻率隨轉(zhuǎn)速的變化曲線。如圖3所示，轉(zhuǎn)速為零時(shí)，前后行波頻率值一致，產(chǎn)生的是駐波，即傳統(tǒng)意義的振型。隨著轉(zhuǎn)速的增加，頻率發(fā)生分岔，產(chǎn)生頻率不同的前、后行波。前行波頻率隨轉(zhuǎn)速升高先有微弱的減小趨勢，繼而隨轉(zhuǎn)速的升高而增加。而后行波頻率隨轉(zhuǎn)速的變化，則一直呈現(xiàn)單調(diào)增加的趨勢。

圖2 行波頻率與環(huán)向波數(shù)的關(guān)系曲線Fig．2 Variation of the frequency parameter with respect to the circumferential wave number

圖3 行波頻率隨轉(zhuǎn)速變化曲線Fig．3 Variation of the frequency parameter with respect to rotating speed

3．2 靜坐標(biāo)系中橫向簡諧力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)

受靜坐標(biāo)下幅值為F，頻率為的橫向簡諧力激勵(lì)的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，其所受單位面積外載荷分量可表示為

為計(jì)算和分析方便起見，這里僅取m＝1，n＝3所對應(yīng)的行波模態(tài)，并根據(jù)式（14）進(jìn)行疊加。

圖4 靜坐標(biāo)中橫向簡諧力作用下（m＝1，n＝3）組合行波模態(tài)的響應(yīng)Fig．4 Response of（m＝1，n＝3）travelling mode for a rotating cylindrical shell under transverse harmonic loads in the stationary coordinate

圖5 靜坐標(biāo)系中橫向簡諧力作用下（m＝1，n＝3）組合行波模態(tài)響應(yīng)的幅頻曲線Fig．5 Amplitude－frequency curve of（m＝1，n＝3）travelling mode for a rotating cylindrical shell under transverse harmonic loads in the stationary coordinate

綜合上面的分析可知，一般地，當(dāng)靜坐標(biāo)系下橫向簡諧力的頻率滿足如下條件時(shí)，會(huì)發(fā)生行波共振，

具有轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)的實(shí)際工程系統(tǒng)，在工作時(shí)應(yīng)盡量避開這些共振點(diǎn)。

3．3 靜坐標(biāo)系中法向恒力作用下兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)

令＝0，由式（21）可得，受靜坐標(biāo)下幅值為F的法向恒力作用的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，其所受單位面積外載荷分量的表達(dá)式

若（x＊，θ＊）表示初始時(shí)刻動(dòng)坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上一點(diǎn)P，此時(shí)該點(diǎn)位于靜坐標(biāo)下的空間點(diǎn)P0，兩點(diǎn)重合。t時(shí)刻后，與靜坐標(biāo)下的空間點(diǎn)P0重合的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上點(diǎn)的坐標(biāo)則可表示為（x＊，θ＊－Ωt）。由式（14），相應(yīng)點(diǎn)的位移響應(yīng)為

圖6 與靜坐標(biāo)下空間點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上相應(yīng)點(diǎn)的響應(yīng)Fig．6 Response of one point on a rotating cylindrical shell in stationary coordinate

如圖6所示，4個(gè)空間點(diǎn)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼上點(diǎn)的響應(yīng)隨時(shí)間變化逐漸收斂。即，靜坐標(biāo)系下法向恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，其形變形狀在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后不隨時(shí)間而改變，如圖7所示。從波動(dòng)的觀點(diǎn)講，兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，受靜坐標(biāo)系下法向恒力作用，產(chǎn)生了靜坐標(biāo)系下的駐波。受此影響，當(dāng)形變導(dǎo)致的應(yīng)力水平超過材料破壞極限，可能產(chǎn)生破壞，此外也可能會(huì)給轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼帶來疲勞加速等問題，這些都是值得進(jìn)一步研究的課題。

圖7 靜坐標(biāo)系下法向恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的形變Fig．7 Deformation of a rotating cylindrical shell under point force

4 結(jié) 論

本文考慮由轉(zhuǎn)動(dòng)引起的科氏力、離心慣性力及環(huán)向初應(yīng)力影響，利用Hamilton原理，建立了基于Sanders殼體理論的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼振動(dòng)微分方程，提出了一種適用于求解各種邊界約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)的方法?；诖朔椒?，分別針對靜坐標(biāo)系下橫向簡諧力和恒力作用下的兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了求解和分析。得到以下結(jié)論：

（1）通過選取滿足相應(yīng)邊界條件的軸向梁函數(shù)來逼近各類邊界條件下的圓柱殼軸向振型分布，可以克服除簡支以外的各類邊界條件下圓柱殼振型的解析表達(dá)式不易獲取的困難。在此基礎(chǔ)上發(fā)展的方法，適用于求解各種類型邊界約束的轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)。

（2）兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼，隨著轉(zhuǎn)速的增加，其頻率發(fā)生分岔，產(chǎn)生頻率不同的前、后行波。前行波頻率隨轉(zhuǎn)速升高先有微弱的減小趨勢，繼而隨轉(zhuǎn)速的升高而增加。而后行波頻率隨轉(zhuǎn)速的變化，則一直呈現(xiàn)單調(diào)增加的趨勢。

（3）當(dāng)靜坐標(biāo)系下橫向簡諧力的頻率滿足時(shí)，兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼會(huì)發(fā)生行波共振，具有轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼結(jié)構(gòu)的實(shí)際工程系統(tǒng)，在工作時(shí)應(yīng)盡量避開這些共振點(diǎn)。

（4）受靜坐標(biāo)系下法向恒力作用，兩端固支轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼會(huì)產(chǎn)生不隨時(shí)間改變的形變，即靜坐標(biāo)系下的駐波。受此影響，當(dāng)形變導(dǎo)致的應(yīng)力水平超過材料破壞極限，可能產(chǎn)生破壞，此外也可能會(huì)給轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼帶來疲勞加速等問題，這些都是值得進(jìn)一步研究的課題。

［1］ DiTaranto R A，Lessen M．Coriolis acceleration effect on the vibration of a rotating thin－walled circular cylinder［J］．ASME Journal of Applied Mechanics，1964，31：700—701．

［2］ Macke H J．Travelling－wave vibration of gas－turbine engine shells［J］．Journal of Engineering for Power，1966，88：179—187．

［3］ Srinivasan A V，Lauterbach G F．Travelling waves in rotating cylindrical shells［J］．Journal of Engineering for Industry，1971，93：1 229—1 232．

［4］ Zohar A，Aboudi J．The free vibrations of a thin circular finite rotating cylinder［J］．International Journal of Mechanical Sciences，1973，15：269—278．

［5］ Chung H．Free vibration analysis of circular cylindrical shells［J］．Journal of Sound and Vibration，1981，74：331—350．

［6］ Endo M，Hatamura K，Sakata M，et al．Flexural vibration of a thin rotating ring ［J］．Journal of Sound and Vibration，1984，92：261—272．

［7］ Saito T，Endo M．Vibration of finite length，rotating cylindrical shells［J］．Journal of Sound and Vibration，1986，107：17—28．

［8］ Li Hua，Lam K Y．Frequency characteristics of a thin rotating cylindrical shell using the generalized differential quadrature method ［J］．International Journal of Mechanical Sciences，1998，40：443—459．

［9］ Guo Dan，Zheng Zhaochang，Chu Fulei．Vibration analysis of spinning cylindrical shells by finite element method［J］．International Journal of Solids and Structures，2002，39：725—739．

［10］Liew K M，Ng T Y，Zhao X，et al．Harmonic reproducing kernel particle method for free vibration analysis of rotating cylindrical shells［J］．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2002，191：4 141—4 157．

［11］洪杰，郭寶亭，朱梓根．高速轉(zhuǎn)動(dòng)殼體行波振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究［J］．航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，1998，13：390—394．

Hong J，Guo B T，Zhu Z G．Experimental investigation on travelling wave vibration of high－speed rotating shell［J］．Journal of Aerospace Power，1998，13：390—394．

［12］曹航，朱梓根．轉(zhuǎn)動(dòng)殼體行波振動(dòng)的有限元分析方法［J］．航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2002，17：222—225．

Cao H，Zhu Z G．Traveling－wave vibration of rotating shells by finite element method［J］．2002，17：222—225．

［13］Huang S C，Soedel W．Effects of Coriolis acceleration on the forced vibration of rotating cylindrical shells［J］．Journal of Applied Mechanics，1988，55：231—233．

［14］Huang S C，Soedel W．On the forced vibration of simply supported rotating cylindrical shells［J］．Journal of Acoustical Society of America，1988，84：275—285．

［15］Huang S C，Hsu B S．Resonant phenomena of a rotating cylindrical shell subjected to a harmonic moving load［J］．Journal of Sound and Vibration，1990，136：215—228．

［16］李健，郭星輝，李永剛．薄壁圓柱殼旋轉(zhuǎn)波動(dòng)振動(dòng)分析［J］．東北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，28：553—556．

Li J，Guo X H，Li Y G．Analysis of wavy vibration of rotating thin cylindrical shells［J］．Journal of Northeastern University（Natural Science），2007，28：553—556．

［17］曹志遠(yuǎn)．板殼振動(dòng)理論［M］．北京：中國鐵道出版社，1989．

Cao Z Y．Vibration of Shells and Plates［M］．Beijing：China Railway Publishing House，1989．

［18］Lam K Y，Loy C T．Influence of boundary conditions and fibre orientation on the natural frequencies of thin orthotropic laminated cylindrical shells［J］．Composite Structures，1995，31：21—30．

［19］晏礪堂，朱梓根，李其漢．高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)［M］．北京：國防工業(yè)出版社，1994．

Yan L T，Zhu Z G，Li Q H．Vibration of High Speed Rotating Machinery［M］．Beijing：National Defense Industry Press，1994．

［20］劉延柱，陳文良，陳立群．振動(dòng)力學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，1998．

Liu Y Z，Chen W L，Chen L Q．Mechanics of Vibration［M］．Beijing：Higher Education Press，1998．

［21］Meirovitch L．A new method of solution of the eigenvalue problem for gyroscopic systems［J］．American Institute of Aeronautics and Astronautics，1974，12：1 337—1 342．