譚曉晶，吳 斌，王 貞

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090）

引 言

擬動力試驗是進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗震性能研究的重要手段?，F(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)趨向于大型化和復(fù)雜化，大尺度或足尺模型試驗日益受到重視。但是該類結(jié)構(gòu)模型通常剛度很大位移反應(yīng)很小，由于試驗加載設(shè)備的位移控制分辨率有限，采用傳統(tǒng)位移控制加載的方式來進(jìn)行大剛度小位移反應(yīng)的擬動力試驗難以進(jìn)行。Wu等人提出了一種等效力控制方法［1］，該方法采用反饋控制原理來求解非線性方程，避免了數(shù)值迭代的困難，滿足了擬動力試驗數(shù)值計算的要求。但是這種方法是基于試驗加載設(shè)備采用位移控制情況下提出的。當(dāng)試驗結(jié)構(gòu)的剛度很大時，試驗依然采用位移控制加載通常難以進(jìn)行或者得到的試驗結(jié)果不準(zhǔn)確。這是因為，大剛度結(jié)構(gòu)的位移通常比較小，當(dāng)位移加載命令小于加載設(shè)備的位移控制分辨率時，將無法完成該位移命令的精確加載，試驗失效。但是，該位移對應(yīng)的力命令通常大于加載設(shè)備的力控制分辨率，試驗采用力控制加載則容易實現(xiàn)。因此，研究力控制加載的擬動力試驗是很有必要的。

對于等效力控制方法的研究，文獻(xiàn)［1～5］采用了比例－微分（PD）控制器，并設(shè)計一個消除穩(wěn)態(tài)誤差的前饋增益，從數(shù)值和試驗角度驗證了這種方法是有效的。李妍把能量法與等效力控制方法相結(jié)合，提出了基于能量法的等效力控制方法［3，4］，并成功應(yīng)用于防屈曲支撐子結(jié)構(gòu)試驗中。許國山等設(shè)計了比例－積分（PI）控制器［6，7］，并驗證了對于非線性結(jié)構(gòu)試驗，PI控制要優(yōu)于PD控制。周大睿等人也采用同樣的思路把等效力控制方法應(yīng)用到連梁阻尼器擬動力子結(jié)構(gòu)試驗中［8］。上述等效力控制方法研究僅考慮了加載設(shè)備按照位移控制模式加載，而均未考慮力控制模式加載。對于力控制加載的擬動力試驗研究，劉季等人把地震作用增量和結(jié)構(gòu)慣性力增量之和作為試驗加載的力命令［9］，并通過識別當(dāng)前步結(jié)構(gòu)的等效剪切剛度以求解下一步的力命令。李暄等通過測得的結(jié)構(gòu)位移增量和反力增量來識別結(jié)構(gòu)的剪切剛度用以求解下一步的力命令［10］。王鳳來等也采用了同樣的思路完成了足尺配筋砌體結(jié)構(gòu)擬動力試驗［11］。Pan等人采用了OS法對隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行了擬動力試驗［12］，在力控制加載段采用了結(jié)構(gòu)的初始剛度與預(yù)測位移的乘積作為加載的力命令。Kim等人通過識別結(jié)構(gòu)的切線剛度或者Krylov子空間法把位移命令轉(zhuǎn)換為力命令［13］?？梢钥闯?，對于力控制加載試驗，比較常用的方法就是識別結(jié)構(gòu)的剛度，從而把位移命令轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的力命令來完成加載。但是，結(jié)構(gòu)的剛度識別通常是件比較復(fù)雜和困難的事情。

本文對等效力控制方法作了一點修改，通過設(shè)計一個反力分配系數(shù)代替了原方法中的力與位移轉(zhuǎn)換系數(shù)，這樣不需要識別結(jié)構(gòu)的剛度就能很好地完成力控制加載的擬動力試驗。

1 基于力控制加載的等效力控制方法原理

下面以平均加速度法為例介紹等效力控制方法的原理，擬動力子結(jié)構(gòu)試驗中混合體系在離散時間上的運(yùn)動方程以及平均加速度法的加速度、速度假定分別為

式中 下標(biāo)N表示數(shù)值子結(jié)構(gòu)，E表示試驗子結(jié)構(gòu)；d，v，a分別為位移、速度和加速度向量；M，C分別為質(zhì)量阻尼矩陣；R為恢復(fù)力向量；F為外荷載向量；Δt為積分時間步長；i為時間步數(shù)。

將式（2），（3）帶入式（1）得到

其中

式（4）可以理解為施加在混合體系上的力平衡方程，RN（di＋1），KPDdi＋1分別為數(shù)值子結(jié)構(gòu)的靜反力和擬動力反力，RE（di＋1）為試驗子結(jié)構(gòu)的反力，F(xiàn)EQ，i＋1為施加在混合體系上的等效外力。由于式（4）存在di＋1的隱式表達(dá)，它的求解需要復(fù)雜耗時的迭代過程，這對于路徑敏感性的非線性結(jié)構(gòu)是不太合適的。為了避免迭代，可以采用反饋控制的方法來解決這個問題。

等效力控制方法就是采用反饋控制的思路，它以等效力FEQ，i＋1為控制目標(biāo)，通過設(shè)計合理的等效力控制 器，使 得 等 效 力 反 饋 量F′EQ，i＋1（RN（di＋1），KPDdi＋1和RE（di＋1）三者之和）平穩(wěn)漸進(jìn)地趨向控制目標(biāo)，即式（4）成立，而此時試驗子結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)也平穩(wěn)地達(dá)到了穩(wěn)態(tài)值，該值就是式（4）的解?；诹刂萍虞d的等效力控制方法的思路如圖1所示，其中CF為反力分配系數(shù)，而在基于位移加載控制的等效力控制方法中CF為力與位移轉(zhuǎn)換系數(shù)。此外，文獻(xiàn)［1～8，14，15］指出：由于存在控制誤差，需要把等效力控制系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時測得的試驗子結(jié)構(gòu)反力RE（di＋1）帶入式（4）以重新計算di＋1作為結(jié)構(gòu)反應(yīng)的準(zhǔn)確值。

2 反力分配系數(shù)與等效力控制器設(shè)計

以往的等效力控制方法研究僅考慮了作動器采用位移控制加載［1～8，14，15］，為此設(shè)計了一個力 －位移轉(zhuǎn)換系數(shù)CF，通過這個系數(shù)把力命令轉(zhuǎn)換為位移命令，文獻(xiàn)［3］詳細(xì)推導(dǎo)了這個系數(shù)的取值，為CF＝1／（KPD＋KE＋KN）。為了讓作動器采用力控制模式工作，本文采用的CF為反力分配系數(shù)為

圖1 基于力控制加載的等效力控制方法原理圖Fig．1 Block diagram of the equivalent force control method based on force－loading control strategy

CF作用相當(dāng)于把等效力按照試驗子結(jié)構(gòu)的反力在3個反力中所占的比例分配給作動器來進(jìn)行加載。當(dāng)結(jié)構(gòu)處于線性時，CF可依據(jù)試驗子結(jié)構(gòu)的初始剛度來計算，當(dāng)結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性時，CF仍可依據(jù)試驗子結(jié)構(gòu)的初始剛度來計算。這是因為KE遠(yuǎn)小于KPD，內(nèi)環(huán)試驗子結(jié)構(gòu)的反力相對于外環(huán)的等效力來說非常小，內(nèi)環(huán)試驗子結(jié)構(gòu)的非線性因素對外環(huán)等效力控制效果所造成的影響非常小。因此即使試驗子結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性，通過合理地設(shè)計外環(huán)等效力控制器，仍可以實現(xiàn)很好的等效力控制效果，并且還能保護(hù)內(nèi)環(huán)試驗子結(jié)構(gòu)［7，15］。等效力控制器是實現(xiàn)反饋控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它的控制品質(zhì)直接影響到試驗?zāi)芊耥樌M(jìn)行。因此，需要設(shè)計一個合理的控制器以消－控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。常用的控制器有：PID控制、自適應(yīng)控制、滑動模態(tài)控制等。文獻(xiàn)［1～5］采用的是PD控制器，并通過增加開環(huán)增益KF＝（1＋KP）／KP的方法消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。這種方法對于線性結(jié)構(gòu)的試驗非常有效，但當(dāng)結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性狀態(tài)時，需要識別結(jié)構(gòu)的剛度以重新計算CF才能保證系統(tǒng)不會出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差，這通常是非常困難和耗時的。文獻(xiàn)［6，7］采用PI控制器，系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生，本文也采用PI控制。

反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以寫成如下形式KPD＝10 164kN／mm，KN＝5kN／mm，KE＝5kN／mm，CF＝KE／（KPD＋KN＋KE），積分步長為0．01 s，作動器模型ωA＝341．16，ξA＝0．8，采樣頻率為1 000Hz。等效力單步階躍響應(yīng)如圖2所示，其中，KP＝0．05。從圖中可以看出，隨著KI的增大，等效力響應(yīng)速度加快，穩(wěn)態(tài)誤差逐漸減小。當(dāng)KI＝20／s時，穩(wěn)態(tài)誤差為零，等效力響應(yīng)能很好地跟蹤其命令，并且此時結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)也能達(dá)到其目標(biāo)位移。而當(dāng)KI＝150／s時，等效力響應(yīng)出現(xiàn)超調(diào)現(xiàn)象，KI取值不合適，但小于穩(wěn)定界限KImax＝528．03／s。因此，當(dāng)選取合適的PI控制參數(shù)，控制系統(tǒng)是可以消除穩(wěn)態(tài)誤差的。

圖2 等效力單步階躍響應(yīng)Fig．2 Single step response of equivalent force

對于PI控制器，由勞斯判據(jù)可得到其控制參數(shù)的穩(wěn)定界限為

對于PI控制器的控制效果，可以采用單自由度體系等效力單步階躍響應(yīng)來驗證。體系的參數(shù)選為

3 數(shù)值模擬

3．1 單自由度結(jié)構(gòu)自由振動

采用單自由度結(jié)構(gòu)的自由振動反應(yīng)來驗證該方法的有效性。結(jié)構(gòu)的參數(shù)為：M＝253．3×103kg，KN＝0，KE＝10kN／mm，阻尼比ξ＝5%，結(jié)構(gòu)的自振周期為1s。PI控制器參數(shù)取值為KP＝0．05，KI＝20／s。結(jié)構(gòu)的初始位移為10mm，初始速度為0，結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)如圖3所示。可以看出該試驗方法計算的結(jié)果與解析解吻合得非常好，說明該方法是有效的。

3．2 單自由度結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)

為了進(jìn)一步驗證該方法的有效性，將上述單自由度結(jié)構(gòu)中的試驗子結(jié)構(gòu)改為雙線型恢復(fù)力模型，第一剛度仍保持不變，第二剛度的衰減系數(shù)為0．7，屈服位移設(shè)為8mm。采用El－Centro（NS，1940）加速度記錄作為外部地震動激勵，峰值加速度調(diào)整為0．3g。結(jié)構(gòu)在地震激勵下的位移反應(yīng)如圖4所示?？梢钥闯觯Y(jié)構(gòu)的等效力反應(yīng)與其命令仍然吻合得很好。這說明即使結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性狀態(tài)，只要設(shè)好的合理的等效力控制器，該方法仍然能夠很好地完成試驗加載。

圖3 單自由度體系自由振動反應(yīng)Fig．3 Free－vibration response of the SDOF

圖4 單自由度結(jié)構(gòu)地震作用反應(yīng)Fig．4 Seismic response of the SDOF

3．3 三自由度結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)

為了驗證該方法在多自由度結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，設(shè)計了一個三層剪切型框架結(jié)構(gòu)作為試驗子結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬中不考慮數(shù)值子結(jié)構(gòu)。試驗子結(jié)構(gòu)每層質(zhì)量均為253．3×103kg，剛度均為10kN／mm。數(shù)值模擬仍采用El－Centro（NS，1940）加速度記錄作為外部地震動激勵，峰值加速度調(diào)整為0．01g。結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)如圖5所示?？梢钥闯鼋Y(jié)構(gòu)每一步的等效力反應(yīng)仍能很好地跟蹤其命令，該方法可以應(yīng)用到多自由度結(jié)構(gòu)試驗中。

圖5 三自由度結(jié)構(gòu)地震作用反應(yīng)Fig．5 Seismic response of the 3DOF

4 試驗驗證

大剛度結(jié)構(gòu)試驗加載，其位移反應(yīng)通常比較小，因此小位移的精確加載及測量直接影響了試驗結(jié)果的準(zhǔn)確度。本文設(shè)計了一個帶防屈曲支撐的鋼筋混凝土框架，模擬一個單自由度結(jié)構(gòu)在地震作用下的反應(yīng)，該試驗在哈爾濱工業(yè)大學(xué)力學(xué)與結(jié)構(gòu)試驗中心完成?？刂坪图虞d設(shè)備采用MTS公司的Flex Test GT控制器和Schenck作動器，作動器的位移與力量程分別為±250和±630kN。設(shè)置了兩個外接高精度位移傳感器來測量結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)，其量程分別為±5和±20mm。其中，數(shù)值子結(jié)構(gòu)MN＝65．041×103kg，KN＝0，CN＝0；試驗子結(jié)構(gòu)為圖6的帶支撐框架，阻尼比取為5%。通過經(jīng)驗試湊法得到等效力控制器參數(shù)為KP＝3．0，KI＝50．0／s。地震動激勵選為El Centro（NS，1940）加速度記錄，峰值加速度調(diào)整為10gal，數(shù)值積分時間步長為0．01s，每個時間步長加載持續(xù)0．5s，試驗中作動器分別采用力控制加載和位移控制加載，試驗結(jié)果如圖7所示。

圖6 帶防屈曲支撐阻尼器（BRB）的鋼筋混凝土框架擬動力試驗裝置Fig．6 Test setup of the frame with BRB in PSD tests

從圖7（a）和（b）中可以看出，結(jié)構(gòu)在小幅地震動作用下的位移反應(yīng)比較小，采用力控制加載得到的位移反應(yīng)峰值要大于采用位移控制加載得到的結(jié)果，并且前者與數(shù)值模擬結(jié)果比較接近。同時，結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)的準(zhǔn)確度與等效力的控制效果有很大關(guān)系。當(dāng)?shù)刃ЯΦ捻憫?yīng)能很好地跟蹤其命令時，則結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)也就能達(dá)到真實值。當(dāng)?shù)刃ЯΦ捻憫?yīng)與命令存在穩(wěn)態(tài)誤差時，這種誤差會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)偏離真實值。從等效力控制效果來看，采用力控制加載模式下的控制效果要好于采用位移加載控制模式下的控制效果，前者的等效力每一步響應(yīng)均能很好地跟蹤其命令，而后者的等效力控制始終存在穩(wěn)態(tài)誤差（如圖7（c）和（d）所示），那么后者得到的結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)也就存在誤差。等效力的控制效果通常僅與其控制器參數(shù)的選取有關(guān)，而與作動器的加載控制模式無關(guān)。但是，當(dāng)?shù)刃Я刂破鲄?shù)確定后，作動器從一種加載控制模式變換成另一種加載控制模式時，如果作動器的控制存在誤差，那么將會導(dǎo)致等效力的控制也存在誤差。通常作動器在試驗中能很好地實現(xiàn)自身的反饋控制，但當(dāng)其測量精度低于其控制精度時，將無法完成小位移的精確加載，此時采用位移控制加載就會存在控制誤差。因此，試驗中作動器需要視精度要求選擇合適的加載控制模式。從圖7（e）和（f）中可以看出，對于小位移命令加載，作動器采用力控制加載的控制效果要比采用位移控制加載的控制效果好，前者每一步的響應(yīng)均能很好地跟蹤其命令，而后者始終存在穩(wěn)態(tài)誤差。對于該試驗中的作動器而言，結(jié)構(gòu)的反力最大值約為作動器力量程的1／52，而其位移最大值約為作動器位移量程的1／625，可見其力的測量精度要高于位移的測量精度，并且也高于其控制精度，作動器采用力控制加載無穩(wěn)態(tài)誤差產(chǎn)生。同時從結(jié)構(gòu)的滯回曲線可以看出，由前者得到的滯回曲線更平滑，而后者存在毛刺現(xiàn)象，這也說明了前者的控制效果要好于后者（見圖7（g）和（h））。

對于大剛度結(jié)構(gòu)擬動力試驗，可以通過把小位移命令轉(zhuǎn)換為力命令采用力控制模式來實現(xiàn)其精確加載，而結(jié)構(gòu)的位移反應(yīng)則可以采用外接高精度位移傳感器來測量。

5 結(jié) 論

通過對采用力控制加載的等效力控制方法進(jìn)行理論分析、數(shù)值模擬和試驗驗證，得到如下結(jié)論：

1．采用力控制加載的等效力控制方法是一種不需要迭代求解的混合試驗方法，可以很好地應(yīng)用到大剛度結(jié)構(gòu)擬動力試驗中。

2．對于大剛度結(jié)構(gòu)擬動力試驗，采用力控制加載要比采用位移控制加載得到的試驗結(jié)果準(zhǔn)確。

值得指出的是，上述PI控制器參數(shù)的選取均由經(jīng)驗試湊法得到，因此需要依據(jù)更為合理的方法以便快捷、準(zhǔn)確地確定控制器參數(shù)值，這是下一步要進(jìn)行的工作。

圖7 兩種不同控制加載模式下的試驗結(jié)果Fig．7 Test results obtained by two different loading－control strategies in PSD tests

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