郝 穎，虞愛民

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

引 言

非圓柱螺旋彈簧的特性線具有很強(qiáng)的非線性，能夠適用于多種受限制的安裝空間，在工程實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用［1～3］?；山z截面為非圓形的非圓柱螺旋彈簧，具有蓄存能量大、有效平緩應(yīng)力分布、壓并高度低，壓縮量大等優(yōu)良性能［4］，被廣泛用于發(fā)動(dòng)機(jī)閥門、離合器和自動(dòng)變速等裝置上。

由于復(fù)合材料具有強(qiáng)度高、耐腐蝕、電絕緣性好、比重小和設(shè)計(jì)性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，在工程實(shí)際中逐漸開始使用復(fù)合材料來制備彈簧。但目前復(fù)合材料在彈簧制造領(lǐng)域的應(yīng)用還非常有限，現(xiàn)有的嘗試多是用來加工板簧，對于應(yīng)用范圍最廣的螺旋彈簧的研發(fā)很少［5］，而對于設(shè)計(jì)性較強(qiáng)的層狀復(fù)合材料的非圓柱螺旋彈簧的研究則更為罕見。據(jù)作者所知，只有極少的文獻(xiàn)［6～8］涉及到此類問題。1999年Yildirm首次導(dǎo)出了各向異性材料空間曲桿的運(yùn)動(dòng)微分方程［6］，之后Yildirm又以傳遞矩陣法對層狀復(fù)合材料非圓柱螺旋彈簧的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了系統(tǒng)的分析［7，8］。在上述研究中雖然考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、軸向和剪切變形的影響，然而所涉及的曲桿和彈簧的橫截面均為圓形，因而無從考慮翹曲變形對振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)［9，10］已經(jīng)研究了各向同性材料非圓截面圓柱螺旋彈簧的自由振動(dòng)問題。計(jì)算表明，即使對于此類彈簧，翹曲變形對固有頻率也有著重大的影響，在動(dòng)力分析中必須加以考慮。鑒于目前對層狀復(fù)合材料非圓截面非圓柱螺旋彈簧理論研究工作的缺乏和均未考慮翹曲效應(yīng)的情況，本文首先建立了包括翹曲效應(yīng)的各向異性自然彎扭梁理論，在此基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了對稱層狀復(fù)合材料矩形截面非圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程，它們由14個(gè)變系數(shù)的一階偏微分方程組成。此外，根據(jù)文獻(xiàn)［11］的翹曲模式可以導(dǎo)出層狀復(fù)合材料矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)。在增加了廣義翹曲坐標(biāo)和廣義翹曲力矩兩個(gè)自由度后，方程呈現(xiàn)出很強(qiáng)的剛性，這里采用文獻(xiàn)［12，13］中改進(jìn)的Riccati傳遞矩陣法對彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解。本文擬解決彈簧的固有頻率與翹曲效應(yīng)及其幾何參數(shù)之間的關(guān)系。

1 考慮翹曲效應(yīng)的各向異性自然彎扭梁理論

1．1 自然彎扭梁的幾何關(guān)系

設(shè)各向異性自然彎扭梁橫截面形心的軌跡是一根連續(xù)的空間曲線，曲線l的切線、主法線和次法線單位矢量分別用t，n，b表示。為了考慮梁的初始扭曲，引入直角坐標(biāo)系x1ξη為橫截面的形心主軸，如圖1所示。x1軸與曲線的切線t重合，ξ軸與曲線主法線n之間的夾角記為θ，它通常是弧坐標(biāo)s的函數(shù)。用iξ和iη表示O1ξ和O1η方向的單位矢量，則［14］

式中 上標(biāo)撇號(hào)表示對弧坐標(biāo)s的微分。kξ＝k1sinθ，kη＝k1cosθ，ks＝k2＋θ′，k1，k2分別為曲線的曲率和扭率。

圖1 各向異性自然彎扭梁的幾何關(guān)系Fig．1 Geometry of naturally curved and twisted anisotropic beams

1．2 彈性矩陣的坐標(biāo)變換與本構(gòu)方程

線彈性復(fù)合材料的廣義胡克定律為［15］

這里

式中σs，σξ，ση，τξη，τsη和τsξ分別為桿件內(nèi)任意一點(diǎn)的3個(gè)正應(yīng)力和3個(gè)切應(yīng)力；ess，eξξ和eηη分別為相應(yīng)方向的線應(yīng)變；2eξη，2esη和2esξ分別為該點(diǎn)在3個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的工程切應(yīng)變。假設(shè)與單向復(fù)合材料軸向一致的坐標(biāo)系123繞3軸在12面內(nèi)轉(zhuǎn)過了ψ角，到達(dá)另一個(gè)新的坐標(biāo)系xyz（如圖2所示），根據(jù)經(jīng)典層合板理論［15］，即可確定在新的坐標(biāo)系下剛度矩陣C′及柔度矩陣S′中的每一個(gè)元素。同時(shí)可以得到在新的坐標(biāo)系下應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為

式中 折減剛度系數(shù)Q′ij的表達(dá)式參見文獻(xiàn)［6］。經(jīng)計(jì)算可得，對于0°及90°鋪層的層合板，有

圖2 鋪層的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)軸x，y，z和材料主軸（1，2，3）之間的關(guān)系Fig．2 Relation between structural axes （x，y，z）and principal material axes（1，2，3）for a single ply

式中T定義為廣義翹曲力矩；εs，εξ和εη為桿軸上一點(diǎn)沿3個(gè)坐標(biāo)方向的線應(yīng)變；ωs，ωξ和ωη為桿軸單位長度的3個(gè)相對轉(zhuǎn)角；φ為圣維南扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)；α為廣義翹曲坐標(biāo)。這里用A（k），Q′（k）ij和φ（k）分別表示層狀復(fù)合材料各鋪層的截面面積、折減剛度系數(shù)和翹曲函數(shù)，對i＝1，5，6，有

如果在式（5）中代入線應(yīng)變和相對轉(zhuǎn)角的表達(dá)式［13］，則可以得到用6個(gè)位移函數(shù)us（s，t），uξ（s，t），uη（s，t），φs（s，t），φξ（s，t），φη（s，t）和α（s，t）表示的本構(gòu)方程。

1．3 運(yùn)動(dòng)微分方程

自然彎扭梁在考慮翹曲效應(yīng)情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程可以改寫為［14］

式中 上標(biāo)圓點(diǎn)表示對時(shí)間t的微分。廣義翹曲力矩T（s，t）對弧坐標(biāo)s的一階導(dǎo)數(shù)則為

對i＝1，5，6，有

把式（5）代入式（6），然后把其中的線應(yīng)變和相對轉(zhuǎn)角以及式（7）中的軸向應(yīng)力、線應(yīng)變和相對轉(zhuǎn)角用6個(gè)位移函數(shù)和廣義翹曲坐標(biāo)代入，即可得到各向異性自然彎扭梁用位移函數(shù)和廣義翹曲坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程，它們由7個(gè)變系數(shù)的二階（關(guān)于弧坐標(biāo)s）偏微分方程組成。

1．4 對稱層狀復(fù)合材料矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)

注意到上述方程中有許多對翹曲函數(shù)求導(dǎo)或者求積分的項(xiàng)，為了考慮橫截面的翹曲變形對非圓柱螺旋彈簧固有頻率的影響，必須得到層狀復(fù)合材料矩形截面桿件翹曲函數(shù)的顯式表達(dá)式。設(shè)對稱鋪設(shè)［0°／90°／90°／0°］的復(fù)合材料矩形截面桿件如圖3所示。

圖3 對稱鋪設(shè)［0°／90°／90°／0°］的復(fù)合材料矩形截面桿件Fig．3 Symmetrical laminated［0°／90°／90°／0°］composite bars with rectangular cross－section

式中

2 對稱層狀復(fù)合材料矩形截面非圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程

如圖4所示，非圓柱螺旋線是一條變曲率、變扭率的空間不規(guī)則曲線，其幾何關(guān)系為

圖4 非圓柱螺旋線的幾何性質(zhì)Fig．4 Geometry of a typical non－cylindrical helix

其中α為螺旋角，R（β）和h（β）分別表示螺旋線的中徑和節(jié)距，它們皆為水平角β的函數(shù)。ks（β）＝h（β）／c2（β），kη（β）＝R（β）／c2（β）分別表示螺旋線的曲率和扭率。如果以n表示彈簧的有效圈數(shù)，則錐形彈簧螺旋線上任意點(diǎn)的中徑為（見圖5）

雙曲形和桶形彈簧螺旋線上任意點(diǎn)的中徑為

把式（5）和（7）中的線應(yīng)變和相對轉(zhuǎn)角用6個(gè)位移函數(shù)和廣義翹曲坐標(biāo)代入，然后對式（5）進(jìn)行聯(lián)立求解，可以得到各位移函數(shù)和廣義翹曲坐標(biāo)關(guān)于弧坐標(biāo)s一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，再利用這個(gè)結(jié)果來消去式（7）中有關(guān)位移函數(shù)和廣義翹曲坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)，最后把這些方程和式（6）進(jìn)行組合即可得到用位移函數(shù)、內(nèi)力分量、廣義翹曲坐標(biāo)和廣義翹曲力矩一階導(dǎo)數(shù)表示的層狀復(fù)合材料非圓截面非圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程，它們由14個(gè)變系數(shù)的一階（關(guān)于弧坐標(biāo)s）偏微分方程組成。如果不考慮桿件的初始扭曲（kξ＝0），并令ps＝pξ＝pη＝ms＝mξ＝mη＝0，假設(shè)對稱層壓復(fù)合材料矩形截面非圓柱螺旋彈簧作頻率為ω的簡諧運(yùn)動(dòng)，利用ds＝cdβ，注意到與矩形截面翹曲函數(shù)φ（ξ，η）有關(guān)的積分D1，D2，D3和Dii01，Dii02，…，Dii17中有許多等于零，則可以得到該彈簧的自由振動(dòng)微分方程為

圖5 不同類型的非圓柱螺旋彈簧Fig．5 Different types of non－cylindrical helical springs

在增加了廣義翹曲坐標(biāo)和廣義翹曲力矩兩個(gè)自由度后，方程呈現(xiàn)出很強(qiáng)的剛性，本文采用文獻(xiàn)［12，13，16］中改進(jìn)的Riccati傳遞矩陣法對上述微分方程組進(jìn)行求解。

3 數(shù)值算例

設(shè)兩端固支對稱鋪設(shè)［0°／90°／90°／0°］的復(fù)合材料非圓柱螺旋彈簧的材料（T300／N5208）和幾何性質(zhì)分別為：E1＝181GPa，E2＝E3＝10．3GPa，G12＝G13＝7．17GPa，G23＝3．433GPa，μ12＝0．28，ρ＝1 600 kg／m3。矩形截面沿ξ方向的邊長用2a表示，沿η方向的邊長用2b表示。螺旋線的最大、最小半徑R1，R2（如圖5所示），有效圈數(shù)n，螺旋角α，剪切形狀因子Gξ＝Gη＝0．842，扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)如式（8）所示。

3．1 算例1

取R1＝10mm，R2＝6mm，α＝5°，n＝4，2a＝1mm，2b＝0．8mm。在對3種不同形狀的對稱層壓復(fù)合材料矩形截面螺旋彈簧進(jìn)行有限元分析時(shí)，均將其劃分為720個(gè)Solid46實(shí)體層合單元，其中沿螺旋線均分為360份，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為2 166個(gè)。表1～3綜合了這3種不同形狀的彈簧分別在考慮與忽略翹曲影響得到的計(jì)算結(jié)果和ANSYS的結(jié)果。

3．2 算例2

取α＝5°，n＝4，2a＝1mm，2b＝0．8mm，表4表示了不同的最大最小半徑比R2／R1對對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧固有頻率的影響。

表1 對稱層壓復(fù)合材料矩形截面錐形彈簧的前5階頻率Tab．1 The first five frequencies of symmetrical laminated composite conical－type springs with rectangular crosssection

表2 對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧的前5階頻率Tab．2 The first five frequencies of symmetrical laminated composite hyperboloidal－type springs with rectangular cross－section

表3 對稱層壓復(fù)合材料矩形截面桶形彈簧的前5階頻率Tab．3 The first five frequencies of symmetrical laminated composite barrel－type springs with rectangular crosssection

表4 R2／R1對對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧固有頻率的影響Tab．4 The effect of（R2／R1）on frequencies of symmetrical laminated composite hyperboloidal－type springs with rectangular cross－section

3．3 算例3

取R1＝10mm，R2＝6mm，n＝4，2a＝1mm，2b＝0．8mm，表5表示了不同的螺旋角對對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧固有頻率的影響。

表5 螺旋角對對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧固有頻率的影響Tab．5 The effect of helix pitch angle）on frequencies of symmetrical laminated composite hyperboloidal－type springs with rectangular cross－section

表5 螺旋角對對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧固有頻率的影響Tab．5 The effect of helix pitch angle）on frequencies of symmetrical laminated composite hyperboloidal－type springs with rectangular cross－section

1階 2階 3階 4階 5階有限元α＝4° 本文解 223．83 485．16 580．38 600．77 777．21有限元214．72 471．92 563．13 595．93 784．06α＝5° 本文解 222．11 489．36 561．03 576．27 795．05有限元213．70 471．27 543．66 563．67 794．83213．25 468．11 524．99 533．38 782．43α＝6° 本文解 221．32 487．63 540．08 549．27 797．11有限元211．67 436．45 474．64 492．73 745．06α＝8° 本文解 219．45 462．32 495．34 510．20 782．86 α＝10°有限元 208．41 383．72 429．34 479．23 691．23本文解216．67 414．81 453．53 495．81 754．33

3．4 算例4

取R1＝10mm，R2＝6mm＝5°，2a＝1mm，2b＝0．8mm，表6表示了不同的有效圈數(shù)n對對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧固有頻率的影響。

表6 有效圈數(shù)n對對稱層壓復(fù)合材料矩形截面雙曲形彈簧固有頻率的影響Tab．6 The effect of helix coil number（n）on frequencies of symmetrical laminated composite hyperboloidal－type springs with rectangular cross－section

4 結(jié) 論

本文首次在層狀復(fù)合材料矩形截面非圓柱螺旋彈簧的運(yùn)動(dòng)微分方程中考慮了翹曲變形的影響。從表1～3可以看出，翹曲變形對該彈簧的固有頻率具有重大的影響，在自由振動(dòng)分析中必須加以考慮。不考慮翹曲變形時(shí)，計(jì)算所得前5階頻率的平均誤差為：7．07%～29．67%，而考慮翹曲變形后，計(jì)算所得平均誤差僅為：0．03%～4．36%。顯然，在考慮翹曲變形后，用本文方法得到的解和有限元結(jié)果吻合得很好。此外，通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)材料性質(zhì)和螺旋線的最大、最小半徑，螺旋角，有效圈數(shù)，以及截面面積都相同的情況下，雙曲形彈簧的剛度最大，其頻率最高，錐形彈簧次之，桶形彈簧的頻率最低。

（2）隨著螺旋角、有效圈數(shù)和圓柱螺旋線半徑的增大，彈簧的長度增加，系統(tǒng)的剛度減小，其固有頻率隨之減小。其中，螺旋角對頻率的影響相對是最小的。

（3）對于對稱層合復(fù)合材料矩形截面的雙曲形彈簧來說，隨著有效圈數(shù)n的增加，其2和3階頻率變得越來越接近。

［1］ 成潔．車輛懸架系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性研究［D］．西安：西北工業(yè)大學(xué)，2006．

Cheng Jie．Research on vibration characteristic of nonlinear for vehicle suspension system ［D］．Xi’an：Northwestern Polytechnical University，2006．

［2］ 凌愷夫．圓錐螺旋彈簧在機(jī)車車輛上應(yīng)用的研究［J］．株洲工學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，15（3）：48—51．

Ling Kaifu．Application research of cone spiral spring on locomotive vehicle［J］．Journal of Zhuzhou Institute of Technology，2001，15（3）：48—51．

［3］ 王紀(jì)瑞，左曙光，雷鐳．基于 MSC．Marc的中凸螺旋彈簧剛度特性研究［J］．佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，27（6）：807—810．

Wang Jirui，Zuo Shuguang，Lei Lei．Simulation of static and dynamic stiffness characteristics of convex coil spring based on MSC．Marc［J］．Journal of Jiamusi University（Natural Science Edition），2009，27（6）：807—810．

［4］ 李蕾．整枝機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中矩形截面彈簧的研究［D］．北京：北京林業(yè)大學(xué)，2008．

Li Lei．The analyzing of the spring with rectangular section in the pruning mechine′s transmission equipment［D］．Beijing：Beijing Forestry University，2008．

［5］ 隋剛，范勇崢，仲偉虹，等．復(fù)合材料圓柱螺旋彈簧的制造與實(shí)驗(yàn)研究［J］．復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2001，18（1）：46—49．

Sui Gang，F(xiàn)an Yongzheng，Zhong Weihong，et al．Manufacture and experiment study of composite cylindroids spiral spring［J］．Acta Materiae Compositae Sinica，2001，18（1）：46—49．

［6］ Yildirm V．Governing equations of initially twisted elastic space rods made of laminated composite materials［J］．International Journal of Engineering Sciences，1999，37（8）：1 007—1 035．

［7］ Yildirm V．Free vibration characteristics of composite barrel and hyperboloidalcoil springs［J］．Mechanics of Composite Materials and Structures，2001，8（3）：205—217．

［8］ Yildirm V．A parametric study on the natural frequencies of unidirectional composite conical springs［J］．Communications in Numerical Methods in Engineering，2004，20（3）：207—227．

［9］ Yu A M，Hao Y．Free vibration analysis of cylindrical helical springs with noncircular cross－sections［J］．Journal of Sound and Vibration，2011，330（11）：2 628—2 639．

［10］郝穎，虞愛民．考慮翹曲效應(yīng)的圓柱螺旋彈簧的振動(dòng)分析［J］．力學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43（3）：561—569．

Hao Ying，Yu Aimin．Vibration analysis of cylindrical helical springs considering warping deformation effect［J］．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2011，43（3）：561—569．

［11］Xu R Q，He J S，Chen W Q．Saint－Venant torsion of orthotropic bars with inhomogeneous rectangular cross section［J］．Computers ＆ Structures，2010，92（6）：1 449—1 457．

［12］劉保國．一維不定參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的攝動(dòng)Riccati傳遞矩陣方法及其應(yīng)用［D］．重慶：重慶大學(xué)，2002．

Liu Baoguo．Perturbation RICCATI transfer matrix method for one dimensional structure with parameter uncertainties and its applications［D］．Chongqing：Chongqing University，2002．

［13］王正．Riccati傳遞矩陣法的奇點(diǎn)及其消除方法［J］．振動(dòng)與沖擊，1987，2（22）：74—78．

Wang Zhen．The singularity and its eliminating methods of Riccati transfer matrix method［J］．Journal of Vibration and Shock，1987，2（22）：74—78．

［14］虞愛民，瞿志豪．自然彎曲與扭曲細(xì)長梁廣義變分原理的研究［J］．上海冶金專科學(xué)校學(xué)報(bào)，1994，15（3）：1—8．

Yu Aimin，Qu Zhihao．The study of variational principle in naturally curved and twisted slender beams［J］．Journal of Shanghai Technical College of Metallurgy，1994，15（3）：1—8．

［15］沈觀林，胡更開．復(fù)合材料力學(xué)［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2006．

Shen Guanlin，Hu Gengkai．Mechanics of Composites［M］．Beijing：Tsinghua University Press，2006．

［16］郝穎，虞愛民．矩形截面非圓柱螺旋彈簧的模態(tài)分析［J］．振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2012，25（3）：323—329．

HAO Ying，YU Ai－min．Modal analysis of non－cylindrical helical springs with rectangular cross－section［J］．Journal of Vibration Engineering，2012，25（3）：323—329．