陳小安，張 朋，劉俊峰，合 燁

（重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044）

引 言

高速電主軸是集“原動機－傳動裝置－執(zhí)行機構－控制系統(tǒng)”于一身、實現(xiàn)“近零傳動”的復雜系統(tǒng)，它已經(jīng)成為高端數(shù)控機床的核心功能部件［1，2］。

可靠的動力學行為是保證高品質(zhì)加工的重要因素，許多學者對高速電主軸的動力學特性進行了大量的研究［3～9］。Wang K F等討論了以軸承擬靜力學模型為基礎的高速電主軸固有頻率［3］，分析了高轉速對芯軸固有頻率的影響［4］。Jorgensen B R等根據(jù)影響系數(shù)法建立了芯軸動力學模型，討論不同工況下的振動響應［5，6］。Hongqi Li等建立了熱－機耦合的電主軸動力學模型，分析熱膨脹對芯軸動力學行為的影響［7，8］。Jiang Shuyun建立了軸承－轉子動力學模型，分析芯軸幾何因素對其動力學行為的影響［9］。以上電主軸動力學模型都是以軸承－轉子系統(tǒng)為基礎，考慮單一因素如：熱膨脹、幾何尺寸等對其動力學行為的影響，忽略了高速電主軸系統(tǒng)各個因素之間復雜的耦合關系，尤其是不能把電磁影響考慮入模型，對其耦合因素作用下的動力學特性揭示不夠。

針對以上不足，本文建立了一種新型的高速電主軸多場耦合動力學模型，分析軸承模型、熱態(tài)模型、芯軸動力學模型和電機電磁模型之間的耦合關系，提出各種耦合因素，并且討論其對芯軸動力學特性的影響。模型中不但完善了角接觸球軸承的擬靜力學模型，而且根據(jù)電磁理論建立電機損耗模型，并且將電磁不平衡拉力作為芯軸的外載荷之一，使得新型動力學模型更加準確。最后用實驗一一驗證了此模型的計算結果。

1 多場耦合動力學模型的建立

1．1 電主軸多場耦合動力學模型

高速電主軸的動力學行為受到軸承運行狀態(tài)、熱態(tài)特性、電磁因素和芯軸特性的影響，圖1展示了新型模型各因素之間的相互作用關系。

圖1 電主軸多場耦合動力學模型Fig．1 Multi－physical coupled dynamic model of motorized spindles

軸承內(nèi)外圈的熱膨脹和接觸膨脹、內(nèi)圈的離心膨脹和振動位移通過改變軸承的幾何約束關系影響其運行狀態(tài)。軸承模型一方面為芯軸提供動態(tài)支承剛度，另一方面通過軸承損耗影響電主軸的熱態(tài)特性；電磁模型的電機損耗在成為電主軸熱源之一的同時，其電磁不平衡拉力載荷也構成了芯軸的外載之一；電主軸熱態(tài)模型決定了其溫度場和熱位移場分布；離心力載荷構成了芯軸的另一外載。

1．2 軸承模型

1．2．1 角接觸球軸承擬靜力學模型

高速運行的角接觸球軸承在軸向載荷Fa和徑向載荷Fr以及彎矩載荷M的聯(lián)合作用下，內(nèi)外圈會發(fā)生相對軸向位移δa、徑向位移δr和角位移θ，計入軸承內(nèi)圈徑向振動位移δv和離心膨脹位移εiω，內(nèi)外圈熱膨脹位移εit和εet、接觸膨脹位移εip和εep，得到角接觸球軸承的幾何約束關系如圖2所示。

圖2 軸承內(nèi)部幾何關系Fig．2 Geometrical relationship inside the bearing

E，E′和m，m′分別為軸承運行前后鋼球球心和內(nèi)溝曲率中心，n為外溝曲率中心，任意鋼球位置Ψj處內(nèi)溝曲率中心的坐標為：

式中B＝fi＋fe－1，fi和fe分別為軸承內(nèi)外溝曲率半徑系數(shù)；Db為鋼球原始直徑；α為原始接觸角；Rij為鋼球與內(nèi)圈接觸半徑。鋼球與內(nèi)外圈的接觸變形分別為：

式中Vxj和Vzj為鋼球球心位置參數(shù)。聯(lián)立鋼球平衡方程和內(nèi)圈平衡方程可以求得軸承運行狀態(tài)［3］。

軸承內(nèi)外圈接觸膨脹位移［10］：

式中d和D分別為軸承內(nèi)外圈直徑；di和de分別為內(nèi)外溝底直徑；E和ν分別為軸承鋼的彈性模量和泊松比；pi和pe分別為軸承內(nèi)外圈接觸壓力。軸承內(nèi)圈離心膨脹位移［10］

式中ρ為軸承鋼密度；ω為內(nèi)圈轉動角速度。

1．2．2 軸承動態(tài)支承剛度矩陣

角接觸球軸承高速運行時，其在外載作用下的變形方程［11］

式中Fb為內(nèi)圈載荷列向量；Kb為動態(tài)支承剛度矩陣；δb為軸承內(nèi)圈位移列向量。

1．3 電主軸熱態(tài)模型

1．3．1 軸承損耗

角接觸球軸承高速運轉過程中，軸承損耗為［5，12］

式中Mij和Mej分別為鋼球和內(nèi)外圈摩擦力矩；ωrollj為鋼球公轉角速度；Msij為鋼球自旋摩擦力矩；ωsij為鋼球自旋角速度。

1．3．2 電機損耗

分析電機的工作原理，建立內(nèi)置電機損耗模型。其電磁損耗功率如圖3所示。

圖3 電機電磁損耗功率Fig．3 Electromagnetic loss of the motor

電機損耗分為定子損耗、轉子損耗、雜散損耗和機械損耗。電機輸入功率

式中U1和U′為分別為定子相電壓、線電壓；I1和I′分別為定子相電流、線電流；cosφ1為定子繞組功率因數(shù)。定子損耗PS分為定子銅耗PCu1和定子鐵耗PFe1

式中r1為定子電阻；Im和rm分別為勵磁電流和勵磁電阻。電機電磁功率

轉子損耗PR分為轉子銅耗PCu2和轉子鐵耗PFe2，而電機正常運行時轉差率s很低，所以PFe2≈0，則

式中I′2和r′2分別為轉子等效電流和等效電阻。電機機械功率

電機雜散損耗和機械損耗

式中P2為電機輸出功率。

1．3．3 電主軸熱邊界條件

按照傳熱學基本理論計算高速電主軸的熱邊界條件［7，13］。

1．4 電磁不平衡拉力載荷

電機定轉子偏心如圖4所示。

圖4 電機轉子偏心的氣隙Fig．4 Air－gap of a motor with an eccentric rotor

δ為實際氣隙厚度；δ0為理想氣息厚度；e為定轉子偏心距；α和γ分別為相互位置角［14，15］。則實際氣隙厚度為

氣隙磁導為

式中μ0為空氣導磁系數(shù)；Kμ＝（K1δ0＋δFe）／（K1δ0）為氣隙飽和度，其中K1為平均氣隙的計算氣隙系數(shù)，δFe為鐵磁材料的當量氣隙。氣隙合成磁動勢［16］

式中FS和FR分別為定子和轉子的合成磁動勢幅值；ωS為同步角速度；φ為轉子電流相對于定子電流的滯后角度。氣隙磁密

氣隙磁密的切向分量遠小于徑向分量，可以忽略不計［15］，則轉子表面的麥克斯韋應力為

對轉子表面的麥克斯韋應力進行周向積分，則可以得到徑向作用于轉子的電磁不平衡磁拉力載荷

式中R和L分別為轉子半徑和氣隙長度。

1．5 芯軸動力學模型

根據(jù)Timoshenko梁理論，應用有限元技術建立芯軸的動力學模型，如圖5所示。

圖5 芯軸動力學模型Fig．5 Dynamic model of spindles

耦合入軸承動態(tài)支承剛度，并且以電磁不平衡拉力和離心力為外載的芯軸動力學方程為

式中Ms，Cs，Ks分別為芯軸質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；X″，X′，X為節(jié)點加速度向量、速度向量和位移向量；Fm和Fc分別為電磁不平衡拉力載荷向量和離心力載荷向量。

2 仿真、實驗結果及其分析

2．1 多場耦合動力學模型求解流程

為了方便討論多場耦合動力學模型之間的耦合關系，本文提出5個耦合因素：熱膨脹因素、軸承內(nèi)圈離心膨脹因素（簡稱為離心膨脹因素）、軸承內(nèi)外圈接觸膨脹因素（簡稱為接觸膨脹因素）、電磁不平衡拉力載荷因素和離心力載荷因素。高速電主軸多場耦合動力學模型的求解流程如圖6所示：整個計算流程以軸承運行參數(shù)和電主軸溫度場分布為迭代收斂條件，以軸承動態(tài)支承剛度、軸承損耗和電主軸熱膨脹位移為反饋量，不斷迭代，綜合求解高度電主軸多場耦合動力學模型。

2．2 軸承動態(tài)支承剛度

本文以2ZDG60型高速電主軸前軸承B7004C／P4Y為例，在考慮全部耦合因素、完全不考慮耦合因素和單獨考慮其中一種因素時的軸承徑向支承剛度如圖7所示。

圖6 多場耦合動力學模型求解流程Fig．6 The procedure of multi－physical coupled dynamic model solution

圖7 B7004C／P4Y型軸承徑向剛度Fig．7 Bearings radial stiffness of B7004C／P4Y

考慮耦合因素與否，軸承徑向剛度Kr都會隨著轉速的升高而升高，其原因是隨著轉速的升高，鋼球離心力增大，為了維持鋼球的擬靜力平衡狀態(tài)，鋼球與外圈接觸力隨之增大，則其接觸剛度增大，整體上呈現(xiàn)出徑向剛度隨著轉速的升高而升高的趨勢；考慮全部耦合因素時，軸承的預緊狀態(tài)受到諸多耦合因素的綜合影響，鋼球與外圈的接觸力明顯增大，接觸剛度增強，則軸承的徑向剛度明顯高于完全不考慮耦合因素，取圖7中36 000r／min時的軸承徑向支承剛度為例，兩種情形相比較，考慮全部耦合因素時，其高出率為23．43%，這足以說明考慮耦合因素影響的必要性。

與完全不考慮耦合因素時相比較，總結耦合因素對軸承徑向剛度的影響，如表1所示，“＋”表示“增強”，“－”表示“減弱”，“－／＋”表示“低速時減弱、高速時增強”。

表1 耦合因素對軸承徑向剛度的影響Tab．1 Effects of coupled factors on bearing radial stiffness

2．3 電主軸熱態(tài)特性

2．3．1 軸承損耗功率

根據(jù)軸承損耗模型計算2ZDG60型高速電主軸B7004C／P4Y型前軸承的損耗功率，在考慮全部耦合因素、完全不考慮耦合因素和單獨考慮其中一種因素時的軸承單位體積損耗功率如圖8所示。

圖8 B7004C／P4Y型軸承損耗功率Fig．8 Bearings loss of B7004C／P4Y

考慮耦合因素與否，軸承損耗功率都會隨著轉速的升高而升高，其原因是隨著轉速的升高，鋼球離心力增大，鋼球與外圈接觸力增大，則軸承內(nèi)部各種摩擦損耗加劇，轉速同時升高，最終導致軸承摩擦損耗功率急劇升高。

考慮全部耦合因素時軸承損耗功率明顯高于完全不考慮耦合因素，取圖8中36 000r／min時的軸承損耗功率為例，其高出率為37．99%。

與完全不考慮耦合因素時相比較，總結耦合因素對軸承損耗功率的影響，如表2所示：“＋”表示“增強”，“－”表示“減弱”，“－／＋”表示“低速時減弱、高速時增強”。

表2 耦合因素對軸承損耗功率的影響Tab．2 Effects of coupled factors on bearing loss

2．3．2 電機損耗功率

利用89601C1型三相高頻電動機專用測試儀測量電機空載時定子線電壓U′、線電流I′、輸入功率P1等電參數(shù)，根據(jù)電機損耗模型計算2ZDG60型高速電主軸內(nèi)置電機空載條件下單位體積損耗功率，如圖9所示。

圖9 電機損耗功率Fig．9 Motor loss

2．3．3 溫升

以油霧潤滑、定壓預緊、水冷的2ZDG60型高速電主軸試驗平臺為例，采用熱電偶傳感器測量電主軸殼體前端、中端、后端和油霧溫升，泰仕TES－1310溫度儀測量前軸承外圈溫升，酒精溫度計測量冷卻水溫升。電主軸轉速為36 000r／min時的溫升仿真、實驗結果如圖10所示。

殼體前端、中端、后端、前軸承外圈、油霧和冷卻水的溫升分別為：11．22，11．28，17．91，20．52，22．60和3．80°C。仿真結果與之相比較，前4個測點的溫升誤差分別為：1．83%，2．46%，8．11% 和 0．33%，仿真精度較高。

6 000，12 000，36 000，6 0000r／min時的前軸承外圈溫升仿真、實驗結果如圖11所示。

4種轉速下前軸承外圈溫升分別為：2．80，8．25，20．52和27．07°C。與仿真結果相比較，溫升誤差分別為：2．33%，1．66%，0．33%和1．99%，仿真精度較高。

2．4 電磁不平衡拉力載荷

根據(jù)電磁不平衡拉力載荷模型，2ZDG60型高速電主軸電機在6 000，12 000，36 000和60 000r／min時的電磁不平衡拉力載荷計算結果如圖12所示：其角頻率均為二倍轉頻。

2．5 芯軸動力學行為

2．5．1 芯軸振型

根據(jù)芯軸動力學模型，求解芯軸固有模態(tài)，假設節(jié)點最大振幅絕對值為1，則2ZDG60型高速電主軸芯軸振型仿真結果如圖13所示。

一階振型為中部振動，最大振幅出現(xiàn)在尾端；二階振型為尾部擺動，最大振幅也出現(xiàn)在尾端。

圖10 溫升仿真、實驗曲線Fig．10 The temperature rise curve of simulation and experiment

圖11 前軸承外圈溫度仿真、實驗曲線Fig．11 The temperature rise curve of simulation and experiment at bearing outer ring

2．5．2 電主軸振動實驗

圖12 電磁不平衡拉力載荷Fig．12 The unbalanced magnetic pull

圖13 芯軸振型Fig．13 The mode shapes of spindle

高速電主軸運轉過程中整體結構的低階固有頻率就是芯軸的固有頻率，所以測量電主軸殼體的振動信號就可以分析芯軸的振動情況。本文振動實驗的目的是研究耦合因素對高速電主軸動力學行為的影響，實驗方法是待溫升穩(wěn)定后采集殼體前端軸承支承處的振動加速度信號，并且進行相應分析處理。實驗裝置包括：2ZDG60型高速電主軸、B＆K4384壓電式單向加速度傳感器、B＆K2692－014電荷放大器、SC305－UTP型數(shù)據(jù)采集分析儀和處理信號分析軟件。測試框圖如圖14所示。

圖14 振動測試系統(tǒng)Fig．14 Vibration testing system

2ZDG60型高速電主軸4種轉速時的振動加速度信號頻譜如圖15所示。

電主軸的激振力可以分為平穩(wěn)隨機激振力和穩(wěn)定激振力，其中穩(wěn)定激振力的主要成分是電磁不平衡拉力載荷和離心力載荷。

平穩(wěn)隨機激振力包含各個頻率成分，在芯軸固有頻率附近產(chǎn)生共振，頻譜出現(xiàn)峰值，一、二階固有頻率分別為：（a）1 240，1 840Hz；（b）1 249，1 858 Hz；（c）1 279，1 887Hz；（d）1 294，1 911Hz。可以看出，隨著轉速的升高固有頻率隨之升高，其主要原因是軸承徑向支承剛度的升高導致其升高；由于平穩(wěn)隨機激振力變化不大，所以頻譜圖中固有頻率成分幅值隨轉速的升高變化不大。

圖15 振動加速度信號頻譜曲線Fig．15 The spectrum curve of vibration acceleration signal

穩(wěn)定激振力中的電磁不平衡拉力和離心力載荷的激振頻率分別為二倍轉頻和一倍轉頻，所以頻譜圖中對應頻率成分處出現(xiàn)峰值；電磁不平衡拉力載荷隨著轉速的升高出現(xiàn)先升高再降低的趨勢，對應頻譜圖中的二倍轉頻成分隨轉速的升高也是先升高再降低，實驗與理論計算一致；離心力載荷幅值與轉速的平方成正比，對應頻譜圖中的一倍轉頻成分隨轉速的升高而升高，實驗與理論計算一致。

2．5．3 芯軸固有頻率

在考慮全部耦合因素、完全不考慮耦合因素、單獨考慮其中一種因素時的芯軸一、二階固有頻率計算結果與實驗結果如圖16所示。

軸承通過徑向支承剛度影響芯軸固有頻率，所以在耦合因素影響下的固有頻率仿真結果與軸承徑向支承剛度的變化趨勢相同?？紤]全部耦合因素時的仿真結果誤差最小，分別為：（a）2．08%，2．20%，2．47%，3．01%；（b）2．74%，2．13%，1．97%，0．50%。完全不考慮耦合因素時的仿真結果誤差較大，分別為：（a）3．34%，3．75%，5．03%，5．26%；（b）4．30%，4．82%，4．18%，3．87%。

圖16 固有頻率Fig．16 Natural frequencies

3 結 論

由上述研究分析可知，本文建立的高速電主軸多場耦合動力學模型能夠準確、全面地描述其動力學行為，表現(xiàn)為：

（1）將熱膨脹、軸承內(nèi)外圈接觸膨脹、內(nèi)圈離心膨脹和徑向跳動等諸多因素計入其擬靜力學模型，準確地反應電主軸各耦合因素對軸承幾何約束關系的影響，則軸承動態(tài)支承剛度和軸承損耗的計算更加準確。

（2）應用電磁理論建立電機產(chǎn)熱模型，并且借助實驗手段，完成電機損耗功率的計算，為高速電主軸進行溫度場仿真提供準確的前提條件，仿真結果與實驗結果相比較誤差較小。

（3）將電磁不平衡拉力載荷作為多場耦合動力學模型的一部分，在補充了一種重要外載形式的同時，也將其作為耦合因素討論其對軸承動態(tài)支承剛度、軸承產(chǎn)熱以及芯軸固有特性的影響，反應出高速電主軸的機、電、磁、熱的相互耦合特性。

（4）本文分析了高速電主軸軸承模型、熱態(tài)模型、電磁模型以及芯軸動力學模型之間的耦合關系，從耦合因素的角度討論了其對芯軸動力學行為的影響，計算結果與實驗結果相比較誤差較小，說明多場耦合動力學模型具有較高的準確性。

（5）實際生產(chǎn)中，應用本文建立的多場耦合動力學模型及其求解方法能夠更加準確地分析電主軸動力學特性，為高品質(zhì)電主軸的設計提供了堅實的理論和實驗基礎。

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