黃麗，蔣練軍，熊翠秀，張光富

(湖南城市學(xué)院 通信與電子工程學(xué)院，湖南 益陽，413000)

石墨烯是碳原子的二維蜂窩狀晶格[1], 被確立為目前剛度最大的材料[2],它能夠保持超過20%的可逆彈性變形[3]。很多研究者利用第一性原理[4-5]、緊束縛方法[6-9]、非平衡格林函數(shù)方法和密度泛函理論[10]等從理論上探討了力學(xué)應(yīng)變對石墨烯系統(tǒng)電子結(jié)構(gòu)及光學(xué)性質(zhì)的影響。Gui等[4]發(fā)現(xiàn)對稱應(yīng)變分布的石墨烯是零帶隙半導(dǎo)體，其贗能隙在彈性限度內(nèi)隨應(yīng)力強(qiáng)度的增大線性減小，不對稱應(yīng)變分布的石墨烯在費(fèi)米能級會產(chǎn)生帶隙。Pereira等[6]從理論上驗(yàn)證了石墨烯帶隙的打開可以通過應(yīng)力來調(diào)控，在超過23%的單軸應(yīng)力作用下石墨烯會產(chǎn)生帶隙。Pellegrino等[8]的研究表明：為了獲得1個(gè)非零帶隙，需要相當(dāng)大的沿著一般方向的單軸應(yīng)變模量。在此，本文作者在已有研究成果的基礎(chǔ)上，在不考慮電子與電子之間相互作用的情況下，采用緊束縛近似和線性彈性理論解析計(jì)算石墨烯在張應(yīng)力作用下的能量色散，探究沿鋸齒方向和扶手椅方向的張應(yīng)力作用下石墨烯帶隙的打開情況，以獲得帶隙出現(xiàn)的臨界值，并對張應(yīng)力作用下石墨烯帶隙的打開進(jìn)行合理解釋。

1 模型與理論分析

石墨烯蜂窩晶格的幾何圖形如圖1所示。沿規(guī)定方向均勻拉伸(或壓縮)石墨烯片，在固定的笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)中，選擇x軸與晶格的扶手椅方向一致。在該坐標(biāo)系統(tǒng)中，張力T可以表示為T=Tc osθex+Tsinθey。石墨烯是彈性各向同性的[11]，在晶格坐標(biāo)系統(tǒng)中，應(yīng)變張量ε可表示為[6]

其中：ν=0.165，為泊松比[12]；θ為施加應(yīng)變方向相對于晶格坐標(biāo)系統(tǒng)的x軸的夾角；ε為應(yīng)變模量。

圖1 石墨烯蜂窩晶格的幾何圖形Fig.1 Geometry of graphene honeycomb lattice

石墨烯是一種六角晶格，圖1中陰影部分代表其元胞，每個(gè)元胞包含2個(gè)基矢量a1和a2，可表示為：

式中：a0=1.42×10-10m，為最臨近2個(gè)碳原子之間的鍵長。

在緊束縛近似下，石墨烯蜂窩晶格的哈密頓量可寫為[8]

1個(gè)給定晶格位置和它最臨近的晶格位置之間的變形間距δi與松弛間距的關(guān)系為[6]

石墨烯的晶格結(jié)構(gòu)對應(yīng)力是一種彈性響應(yīng)[8]，變形后的鍵長為

圖1中，若θ分別取0和，即張應(yīng)力分別沿扶手椅(A)和鋸齒(Z)方向，此時(shí)，

在應(yīng)力作用下，石墨烯第一布里淵區(qū)的高對稱點(diǎn)將發(fā)生移動；同時(shí)，由于鍵長的改變將導(dǎo)致相臨近的碳原子之間的躍遷積分ti(i=1, 2, 3)發(fā)生變化，對石墨烯蜂窩晶格采用緊束縛模型來獲取其躍遷積分ti，表達(dá)式為[14]

其能帶結(jié)構(gòu)為[15]：

式中：正、負(fù)號分別對應(yīng)導(dǎo)帶和價(jià)帶；kx和ky為二維波矢量。能量色散關(guān)系可體現(xiàn)出k空間狄拉克點(diǎn)的特性，在狄拉克點(diǎn)周圍的能量色散是線性的[16]。能量色散作為應(yīng)力的函數(shù)，對于2個(gè)不等價(jià)的狄拉克點(diǎn)±kD，只有當(dāng)“三角不等式”

得到滿足時(shí)[6,8,15]，能量色散才能保持無帶隙。在狄拉克點(diǎn)周圍，能量色散E(kx,ky)可以進(jìn)行錐近似，其恒能量部分是橢圓型的。能量帶隙的出現(xiàn)需要1個(gè)臨界應(yīng)變，其物理本質(zhì)為：在應(yīng)力作用下，狄拉克錐從位于第一布里淵區(qū)的K和K′點(diǎn)漂移，若2個(gè)非等價(jià)的狄拉克點(diǎn)向相反的方向移動，永不相遇，則不會產(chǎn)生帶隙；若狄拉克點(diǎn)移動時(shí)彼此靠近并最終合并，則帶隙出現(xiàn)，2個(gè)狄拉克點(diǎn)剛好合并時(shí)的應(yīng)力即為閾值。由上述理論可以確定不滿足方程(9)的參數(shù)范圍并獲得帶隙產(chǎn)生的閾值。

2 結(jié)果與分析

理想石墨烯在不受到應(yīng)力時(shí)，相鄰碳原子之間的躍遷積分參量t1=t2=t3，石墨烯能量色散體現(xiàn)為各向同性的零帶隙，且零模式位于第一布里淵區(qū)的6個(gè)角(即6個(gè)狄拉克點(diǎn)位置)[15]。下面給出張應(yīng)力作用下石墨烯能量色散的解析計(jì)算結(jié)果。

圖 2(a)和 2(b)所示為石墨烯在沿鋸齒方向的張應(yīng)力作用下能量色散的三維圖線。由圖2可以看出：當(dāng)應(yīng)力模量ε=24.5%時(shí)，能量帶隙剛好打開；而當(dāng)應(yīng)力模量ε=30.0%時(shí)，出現(xiàn)了1個(gè)明顯的帶隙。因此，在張應(yīng)力作用下，石墨烯帶隙打開的應(yīng)力模量臨界值為24.5%。

圖3所示為石墨烯在沿扶手椅方向的張應(yīng)力作用下能量色散的三維圖線。由圖3可以看出：當(dāng)應(yīng)力模量ε=30%時(shí)，其能量帶隙還未能打開。

圖4和圖5所示分別為石墨烯在鋸齒方向和扶手椅方向的張應(yīng)力作用下，沿kx=0的能量色散圖線。從圖4可見：在沿鋸齒方向的應(yīng)力作用下，當(dāng)應(yīng)力模量為20.0%時(shí)，2個(gè)不等價(jià)的狄拉克點(diǎn)相對應(yīng)力為0時(shí)已相互靠近；當(dāng)應(yīng)力模量增大到約為 24.5%，2個(gè)狄拉克點(diǎn)合并為1個(gè)點(diǎn)；當(dāng)應(yīng)力模量進(jìn)一步增大到30.0%時(shí)，1個(gè)明顯的帶隙已經(jīng)打開。從圖5可見：在沿扶手椅方向的應(yīng)力作用下，當(dāng)應(yīng)力模量分別為 10.0%，20.0%和30.0%時(shí)，與應(yīng)力模量為0時(shí)的情形相比，2個(gè)不等價(jià)的狄拉克點(diǎn)隨應(yīng)力模量的增大向著相反的方向移動，并逐漸遠(yuǎn)離，不論應(yīng)力模量多大都不能打開帶隙。因此，在張應(yīng)力作用下，石墨烯帶隙能否打開取決于處在第一布里淵區(qū)的2個(gè)非等價(jià)的狄拉克點(diǎn)能否合并。

圖3 沿扶手椅方向的應(yīng)力模量ε=30.0%作用下能量色散的三維圖Fig.3 Three-dimensional plot of energy dispersion under tension (ε=30.0%) along armchair direction

圖4 在沿鋸齒方向的張應(yīng)力模量作用下沿kx=0的能量色散圖線Fig.4 Plot of energy dispersion of E(kx, ky) along kx=0 under tension along zigzag direction

圖5 在沿扶手椅方向的張應(yīng)力模量作用下沿kx=0的能量色散圖線Fig.5 Plot of the energy dispersion, E(kx, ky), along kx=0 under tension along armchair direction

3 結(jié)論

(1) 在沿鋸齒方向的張應(yīng)力作用下，當(dāng)應(yīng)力增大到一定值時(shí)，石墨烯能量帶隙可以打開，帶隙出現(xiàn)的應(yīng)力模量閾值ε≈24.5%。

(2) 在沿扶手椅方向的張應(yīng)力作用下，不論應(yīng)力模量多大，石墨烯能量帶隙都不會打開。

(3) 石墨烯能量帶隙能否打開取決于處在第一布里淵區(qū)的2個(gè)非等價(jià)的狄拉克點(diǎn)能否合并。

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