周國強 ，王雪青，劉銳

(1. 天津大學 管理與經(jīng)濟學部，天津，300072；2. 交通運輸部 規(guī)劃研究院，北京，100028；3. 環(huán)境保護部 核與輻射安全中心，北京，100082)

核管道的結構完整性、可靠性是核動力系統(tǒng)安全運行的重要保障[1]，而腐蝕是引起核管道結構破壞失效的重要原因之一[2-3]。核管道腐蝕段承受壓力和抗疲勞能力降低將導致核管道腐蝕區(qū)域發(fā)生破裂甚至核泄露，因而，有必要對核管道的腐蝕趨勢特別是最大腐蝕深度進行預測。預測材料最大腐蝕深度一般有 2種方法：確定性方法和統(tǒng)計方法[4]。確定性方法是通過分析材料腐蝕具體過程的動力學和熱力學規(guī)律，計算腐蝕速率來實現(xiàn)預測控制[5]。由于核管道經(jīng)常在高溫、高壓、高濕、核輻射等復雜環(huán)境中工作，其腐蝕過程復雜，很難通過建立統(tǒng)一的數(shù)學公式來掌握各腐蝕因素的影響規(guī)律[6]，因而，對核管道最大腐蝕深度的預測研究大多使用統(tǒng)計方法。統(tǒng)計方法是通過統(tǒng)計分析最大腐蝕深度，計算腐蝕失效概率來進行預測評估[7]。王水勇等[8]利用Gumbel極值分布和回歸期預測了不銹鋼除淤管道最大腐蝕深度；Relchers等[9]運用Frechet極值分布預測了鋼制材料在海水條件下的最大腐蝕深度。但鑒于單個分布模型的限制，這在一定程度上降低了擬合精度[10]。本文作者利用廣義極值分布(generalized extreme value distribution，簡稱GEV分布)作為最大腐蝕深度預測的近似模型，擬合樣本數(shù)據(jù)，避免模型局限性所帶來的擬合誤差；考慮到模型的復雜性，采用免疫遺傳算法(immune genetic algorithm，簡稱IGA)對模型參數(shù)進行優(yōu)化，并利用計算結果來預測整條管道的最大腐蝕深度，同時評估超過預測的最大腐蝕深度的概率。

1 核管道腐蝕的極值分布

1.1 數(shù)學描述

應用極值統(tǒng)計分析方法對核管道最大腐蝕深度進行預測研究的原理是：通過收集現(xiàn)場核管道腐蝕深度對最大腐蝕深度進行極值統(tǒng)計，采用統(tǒng)計推斷獲得最大極值的估計值，即擬合為某種漸近的極值分布類型，作為實際腐蝕深度的預測及評估依據(jù)。在腐蝕環(huán)境相同的核管道中，若選取的腐蝕深度樣本足夠多，則能得出整個核管道的腐蝕深度分布特點。由于小樣本空間與大樣本空間存在統(tǒng)計學上的自相似性關系，因此，可以采用實驗得到的小樣本對整個核管道的腐蝕深度分布模型進行研究。

假設在腐蝕環(huán)境相同的某一腐蝕管道上，隨機變量Y是n個相等觀測面積上的腐蝕深度極值，第i個觀測面上的最大腐蝕深度為yi，按從小到大的次序編號排列，可以求取樣本序列：Y={y1,y2, …,yi, …,yn}；1≤i≤n。

第i個變量對應的累積概率為

則累積概率序列為

設隨機變量Y與累積概率F(Y)存在近似映射：

并設非線性函數(shù)x=(·)逼近映射f1(·)，則函數(shù)x=(·)具有如下性質[11]：

(1)F(yi) ≈(yi)；

(2) ?y∈R， ? 0 ≤x≤ 1 ；

(3)x1＜x2，則y1＜y2。

其中：性質(1)保證了模型的準確性；性質(2)是計算小概率事件發(fā)生概率的必要條件；性質(3)具有累計概率的性質。

1.2 廣義極值分布模型

極值分布是指觀測值中極大值或極小值的概率分布。若極大值漸近分布存在且為非退化時，則只存在3種形式[12]：

(1) 極值I型(Gumbel)分布，

(2) 極值Ⅱ型(Frechet)分布(α＞0)，

(3) 極值Ⅲ型(Weibull)分布(α＞0)，

式中：z=σ-1(y-μ)；σ為尺度參數(shù)；μ為位置參數(shù)；α為形狀參數(shù)；y為極值變量。

在實際應用中，對于1個給定的極值序列，在這3種極值分布中作出正確選擇是一個關鍵性問題。GEV分布模型通過對實際數(shù)據(jù)進行擬合，自動找到最為符合的極值分布。GEV分布的累計概率分布函數(shù)表達式為

當模型參數(shù)k→0時，表示Gumbel分布；當k＞0時，表示Frechet分布；當k＜0時，表示W(wǎng)eibull分布。3個關鍵參數(shù)μ，σ和k的取值決定樣本極值的具體分布情況。針對該模型的復雜性特點，采用免疫遺傳算法搜尋各參數(shù)的最優(yōu)值。

2 核管道最大腐蝕深度的預測方法

2.1 基于免疫遺傳算法的統(tǒng)計參數(shù)優(yōu)化

免疫遺傳算法是基于生物免疫機制中抗體濃度控制原理提出的一種改進遺傳算法[13]。免疫遺傳算法在保留基本遺傳算法全局隨機搜索能力的基礎上，將目標函數(shù)定義為抗原，待求問題的解定義為抗體，通過引進抗原記憶、抗體多樣性保持、抗體促進與抑制等機制，在很大程度上避免早熟，加快搜索速度，提高了算法的整體性能[14]。

免疫遺傳算法通過抗原和抗體的親和力(適應度)來描述可行解與最優(yōu)解的逼近程度，適應度高的個體遺傳到下一代的概率就大，而適應度低的個體遺傳到下一代的概率相對較小。對式(7)進行變換得：

式(8)是對式(7)求反函數(shù)的變換式。

定義已知樣本極值點與逼近函數(shù)值之間偏差平方和的平方根E1為適應度函數(shù)，即

將IGA應用于核管道最大腐蝕深度預測問題，定義目標函數(shù)E1最小為抗原(minE1)。在設計過程中，μ，σ和k的中間結果為抗體，求取最優(yōu)參數(shù)μ，σ和k，使E1最小。免疫遺傳算法基本程序如圖1所示。

2.2 核管道最大腐蝕深度的預測

設隨機變量的最大值為ydi，從概率論與數(shù)理統(tǒng)計角度，最大腐蝕深度超過ydi的概率為

一般根據(jù)小面積樣本的最大腐蝕深度估計大面積樣本的最大腐蝕深度，需要用到概率統(tǒng)計上回歸期的概念。在實際工程應用中，定義回歸期T(ydi)為極值分布的隨機變量yi超過最大值為ydi所需的樣本的數(shù)量為

圖1 免疫遺傳算法基本程序流程圖Fig.1 Flowchart of immune genetic algorithm

回歸期的意義在于取得最大腐蝕深度ydi所需要測量的最大面積與單位測量面積的倍數(shù)[15]，即

其中：S為整個腐蝕管道面積；s為單位測量面積。

聯(lián)合式(8)，(11)和(12)并代入μ，σ和k的值，可計算得到核管道的整體最大腐蝕深度ydi。

3 應用實例

為驗證提出的核管道最大腐蝕深度預測及評估方法的可行性與有效性，給出如下2個計算實例。

(1) 某腐蝕核管道一定時間內的平面觀測深度見表1[16]，其中T(ydi)=2 000/15=133.33，將最大腐蝕深度按從小到大排序，利用式(1)計算，累計概率見表1。

運用免疫遺傳算法對廣義極值分布模型參數(shù)μ，σ和k進行優(yōu)化。經(jīng)過50次迭代最終得到各參數(shù)最優(yōu)值分別為：μ=3.201 2；σ=0.333 7；k=0.001 9。k＞0，說明該分布符合Frechet模型。計算得到該核管道最大腐蝕深度ydi=4.840 3 mm，超過最大腐蝕深度ydi的概率為0.75%。

樣品組1全局最優(yōu)解的進化過程見圖2，極值擬合曲線見圖3。由圖2可以看到：適應度函數(shù)E1的最優(yōu)解能夠以較快的速度收斂到穩(wěn)態(tài)值，同時保證了總體擬合誤差最小。而圖3也反映出所求模型能夠較好地擬合樣本極值深度。圖4所示為本文方法所得深度與文獻[16]中計算深度擬合誤差的比較。從圖4可以看出：本文方法最大擬合誤差較小，避免局部偏差過大的情況；擬合函數(shù)更好地逼近真實，提高了預測精度。

表1 樣本組1某核管道腐蝕深度Table 1 Sample group 1 of corrosion depth of some nuclear pipes

圖2 樣本組1全局最優(yōu)解的進化過程Fig.2 Evolutionary process of global optimal solution for sample group 1

圖3 樣本組1極值擬合曲線Fig.3 Fitting curve of extreme value for sample group 1

圖4 樣本組1擬合誤差曲線Fig.4 Fitting error curves for sample group 1

(2) 某核電站設冷水系統(tǒng)除淤管道不銹鋼部分運行 1 a后的超聲測量厚度見表 2[8]，其中T(ydi)=5 980/40=149.5。將最大腐蝕深度按從小到大排序，利用式(1)計算累計概率，見表2。

表2 樣本組2某核管道腐蝕深度Table 2 Corrosion depths of some nuclear pipes for sample group 2

仍按照算例(1)所采用的計算方法，經(jīng)過 50次迭代計算，得到各參數(shù)的最優(yōu)值分別為：μ=4.724 2；σ=1.344 7；k=-0.166 8。k＜0，說明該分布符合 Weibull模型。計算得到該核管道最大腐蝕深度ydi=9.3 mm，超過最大腐蝕深度ydi的概率為0.67%。

樣品組2全局最優(yōu)解的進化過程見圖5，極值擬合曲線見圖6。由圖5可以看到：適應度函數(shù)的最優(yōu)解能夠以較快的速度收斂到穩(wěn)態(tài)值。由圖6可以看出所求模型能夠較好地擬合出樣本極值分布。圖7所示為本文方法所得結果與文獻[8]中計算結果的擬合誤差比較。從圖7可以看出：采用本文方法所得總體擬合誤差較小，擬合函數(shù)更好地逼近于真實結果，提高了預測精度。

由以上2個算例可以看出：針對不同的應用實例，即使樣本極值數(shù)據(jù)的分布類型不同，采用免疫遺傳算法優(yōu)化參數(shù)的廣義極值分布模型也能較好地進行分布擬合，從而可以有效地避免分布類型選擇不當所帶來的誤差。

圖5 樣本組2全局最優(yōu)解的進化過程Fig.5 Evolutionary process of global optimal solution for sample group 2

圖6 樣本組2極值擬合曲線Fig.6 Fitting curve of extreme value for sample group 2

圖7 樣本組2擬合誤差曲線Fig.7 Fitting error curves for sample group 2

4 結論

(1) 針對核管道最大腐蝕深度預測問題，選用具有普遍適用性的廣義極值分布模型，能夠避免以往單獨采用某一分布的不足。該模型不受限于樣本極值數(shù)據(jù)的具體分布，具有較好的通用性。

(2) 應用免疫遺傳算法優(yōu)化改進廣義極值分布模型的參數(shù)，模型參數(shù)尋優(yōu)過程收斂速度較快，擬合效果理想。

(3) 將該方法應用到核管道腐蝕深度的預測和評估，核管道監(jiān)測管理人員可以分析潛在的事故發(fā)展趨勢，制定管網(wǎng)的維護方案，延長管網(wǎng)使用壽命。

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