龍衛(wèi)國(guó)，蔣麗忠，陳令坤

(1.中南大學(xué)土木建筑學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075;2.南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院，湖南衡陽，421001)

列車通過橋梁時(shí)將引起橋梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，而橋梁的振動(dòng)又反過來影響車輛的振動(dòng)，這種復(fù)雜的相互作用就是車輛與橋梁之間耦合振動(dòng)，車橋系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的時(shí)變系統(tǒng)。吳定俊等［1］研究了高速鐵路橋梁梁墩基礎(chǔ)體系列車過橋動(dòng)力分析;王少欽，蘇木標(biāo)，王解軍等［2-4］研究了變速移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)力響應(yīng)及共振分析;彭獻(xiàn)等［5］研究了車-橋系統(tǒng)的振動(dòng)分析及控制;還有許多學(xué)者研究了軌道不平順［6-9］等等?？傮w看來建立車橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程常用以下兩種方法:①將車輛與橋梁的所有自由度耦聯(lián)在一起，建立統(tǒng)一的方程組，進(jìn)行同步求解;②將車橋系統(tǒng)以輪軌接觸處為界，分為車輛與橋梁兩個(gè)子系統(tǒng)，分別建立車輛與橋梁的運(yùn)動(dòng)方程，兩者之間通過輪軌接觸處的位移協(xié)調(diào)條件與輪軌相互作用力的平衡關(guān)系相聯(lián)系，采用迭代法求解系統(tǒng)響應(yīng)。目前對(duì)重載列車過橋時(shí)的車-橋系統(tǒng)的動(dòng)力分析很少見文獻(xiàn)報(bào)道，且車輛計(jì)算模型的自由度也過于簡(jiǎn)單(二個(gè)自由度:沉浮和點(diǎn)頭)。

本文將提出6個(gè)自由度的車輛振動(dòng)分析模型和空間梁段單元?jiǎng)恿Ψ治瞿Ｐ?，采用第二種方法來建立車橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)方程，對(duì)重載列車作用下的簡(jiǎn)支梁橋的豎向動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析。

1 車－橋系統(tǒng)動(dòng)力計(jì)算模型

列車過橋時(shí)，列車對(duì)橋梁的相互作用包括機(jī)車和車輛對(duì)橋梁的相互作用，然而機(jī)車(指內(nèi)燃機(jī)車或電力機(jī)車)對(duì)橋梁的作用，主要包括:機(jī)車的靜軸重移動(dòng)荷載及其簧承部分的振動(dòng)和簧下質(zhì)量及懸掛彈簧剛度、阻尼等。雖然這些因素對(duì)橋梁的豎向振動(dòng)都有一定的影響。在較高速度情況下，因?yàn)闄C(jī)車在橋上作用的時(shí)間非常短暫，不會(huì)激起橋梁較大的振動(dòng)，因此在以下的計(jì)算中不考慮機(jī)車的作用。車輛的計(jì)算模型如圖1所示。

圖1 車輛模型Fig.1 A vehicle model

設(shè)列車過橋時(shí)(在t時(shí)刻)橋上有第K到第M個(gè)輪對(duì)，車輛與橋梁在同一豎直平面內(nèi)相互作用(如圖2所示)。列車的每一輛車的車體和轉(zhuǎn)向架均理想化為具有二個(gè)自由度(沉浮和點(diǎn)頭)的剛體;車輛的豎向兩系懸掛彈簧被認(rèn)為是串聯(lián)線性彈簧，其剛度用等效彈簧剛度代替;相鄰車輛之間的聯(lián)接器假定為鉸接，各輪對(duì)與軌道之間始終保持接觸。

圖2 車-橋系統(tǒng)模型Fig.2 Vehicle-bridge system model

2 車－橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

2.1 車輛運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)車輛的計(jì)算模型，由達(dá)朗伯原理可推導(dǎo)出每一輛車的運(yùn)動(dòng)方程，

車體:

轉(zhuǎn)向架:(i=1，2)

其中:zv和θv分別為車體的豎向和點(diǎn)頭位移;zti和θti分別為第i個(gè)轉(zhuǎn)向架的豎向和點(diǎn)頭位移;zb(x，t)為橋梁的豎向位移;w為豎向軌道不平順;kv、kt和cv、ct分別為車輛一、二系懸掛彈簧的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù);mv和Jv分別為車體的質(zhì)量和點(diǎn)頭慣性矩;mt和Jt分別為轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量和點(diǎn)頭慣性矩;l、lvi、lti的意義見圖1。

2.2 橋梁運(yùn)動(dòng)方程

考慮軌道不平順，則橋梁的運(yùn)動(dòng)方程為:

式中:EI、mb和cb分別為橋梁的豎向抗彎剛度、單位長(zhǎng)度質(zhì)量和阻尼系數(shù);ms為列車第i輪對(duì)的簧下質(zhì)量;Pi為列車第i輪對(duì)的靜軸重;ai為列車第i輪對(duì)距第1輪對(duì)的水平距離(列車最前端的輪對(duì)為第1輪對(duì)，依沒向后分別為第2，3，…，N輪對(duì));ui為列車第i輪對(duì)懸掛彈簧的變形(見式(6));v為列車運(yùn)行速度;δ(ξ)為Dirac函數(shù)。

對(duì)于式(3)，考慮前L階振型，用振型分解方法可得橋梁豎向振動(dòng)位移:

其中:Φj(x)=sin(jπx/Lb)為橋梁的第j階振型;Lb為橋梁的跨度。將式(4)代入式(3)并利用振型的正交性，整理后可得橋梁第j階振型的運(yùn)動(dòng)方程:

其中，

式中的ui和的計(jì)算式可表示為:

其中:wi為列車第i輪對(duì)下軌道不平順;zv和θv分別為第i輪對(duì)所對(duì)應(yīng)的車體(車輛)的豎向位移和點(diǎn)頭位移;zik和θik分別為第i輪對(duì)所對(duì)應(yīng)的車體的第k個(gè)轉(zhuǎn)向架的豎向位移和點(diǎn)頭位移。

聯(lián)立式(1)、(2)和(5)可得車-橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。

3 車－橋系統(tǒng)的動(dòng)力分析

本文采用跨度為L(zhǎng)b=32 m的某重載鐵路橋梁，其截面由4個(gè)T字型截面構(gòu)成，其彈性模量E=35.5 GPa，慣性矩Iz=5.38 m4，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量mb=93 000 kg/m。重載列車采用軸重增大軸距不變的計(jì)算荷載圖式，車輛長(zhǎng)度均為lv=12 m，lv1=lv2=4.1 m，lt1=lt2=1.25 m，輪對(duì)的質(zhì)量mw=250 kg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jw=5 400 kg·m2。kv=kb=300 kN/m，cv=cb=60 kN·s/m。

考察變速車輛與軌道不平順橋梁系統(tǒng)，根據(jù)德國(guó)高干擾線路(普通鐵路)軌道不平順時(shí)域樣本，如圖3所示，其幅值為A。

圖3 德國(guó)普通鐵路軌道不平順時(shí)域樣本Fig.3 Time domain samples of track irregularity of German general railway

3.1 列車速度對(duì)車－橋系統(tǒng)的影響

列車以初速度v=25、50、75、100 km/h的速度運(yùn)行，A=2 mm，列車的靜軸重均為Pt=250 kN，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jv=27×105kg·m2，計(jì)算結(jié)果如圖4、5所示。

圖4 列車速度與撓度的關(guān)系曲線Fig.4 Curve of deflection and train speed

圖5 列車速度與豎向加速度的關(guān)系曲線Fig.5 Curve of vertical acceleration and train speed

圖6 列車加速度與撓度的關(guān)系曲線Fig.6 Curve of deflection and train acceleration

圖7 列車加速度與豎向加速度的關(guān)系曲線Fig.7 Curve of vertical acceleration and train acceleration

圖8 列車減速度與撓度的關(guān)系曲線Fig.8 Curve of deflection and train deceleration

圖9 列車減速度與豎向加速度的關(guān)系曲線Fig.9 Curve of vertical acceleration and train deceleration

從圖4、5可知，隨列車速度的增加橋梁的跨中撓度和豎向加速度都有增加，但豎向加速度增幅更大。

3.2 列車加速運(yùn)動(dòng)對(duì)車－橋系統(tǒng)的影響

列車的初速度v=70 km/h，加速度=0、2、4、6 m/s2，A=2 mm。列車的靜軸重為Pt=250 kN，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jv=27×105kg·m2，計(jì)算結(jié)果如圖6、7所示。

從圖6、7可知，隨列車的加速度的增加橋梁跨中的撓度和豎向加速度都有增加，但撓度增加幅度較小，但豎向加速度增幅較大。

3.3 列車減速運(yùn)動(dòng)對(duì)車－橋系統(tǒng)的影響

列車的初速度v=70 km/h，加速度=0、-2、-4、-6 m/s2，A=2 mm。列車的靜軸重為Pt=250 kN，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jv=27×105kg·m2，計(jì)算結(jié)果如圖8、9所示。

從圖8、9可知，橋梁跨中的撓度隨減速度的絕對(duì)值增大而減小，但橋梁跨中的豎向加速度隨列車的減速度的絕對(duì)值增加而增加，且增加幅度越來越大。

3.4 列車軸重對(duì)車－橋系統(tǒng)的影響

列車的初速度v=70 km/h，加速度=0，A=2 mm。列車的靜軸重分別為Pt=250、280、300、330 kN，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Jv=27 ×105、30.24×105、32.4 ×105、35.64 ×105kg·m2，計(jì)算結(jié)果如圖 10、11 所示。

從圖10、11可知，隨列車軸重的增加橋梁跨中的撓度和豎向加速度都有增加，且撓度和豎向加速度的增幅均較大，且豎向加速度的增幅不是一般線性增加。

3.5 軌道不平順幅值對(duì)車－橋系統(tǒng)的影響

列車的初速度v=70 km/h，加速度=0，A=2、4、6、8 mm。列車的靜軸重均為Pt=250 kN，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jv=27 ×105kg·m2，計(jì)算結(jié)果如圖12、13 所示。

從圖12、13可知，隨軌道不平順的幅值增加橋梁跨中的撓度和豎向加速度都有增加，但橋梁撓度增加幅度不大，但豎向加速度增幅較大。

圖10 列車軸重與撓度的關(guān)系曲線Fig.10 Curve of deflection and axle weight of train

圖11 列車軸重與豎向加速度的關(guān)系曲線Fig.11 Curve between vertical acceleration and axle weight of train

圖12 軌道不平順幅值與撓度的關(guān)系曲線Fig.12 Curve of deflection and amplitude of rail irregularity

圖13 軌道不平順幅值與豎向加速度的關(guān)系曲線Fig.13 Curve of vertical acceleration and amplitude of rail irregularity

4 結(jié)論

建立了重載鐵路車-橋系統(tǒng)的動(dòng)力相互作用模型，推導(dǎo)出其動(dòng)力學(xué)方程，編制程序求解了列車過橋時(shí)橋梁的動(dòng)力響應(yīng)。通過數(shù)值計(jì)算及分析，可以得到如下結(jié)論:

(1)重載鐵路橋梁的跨中撓度和豎向加速度隨列車的軸重增大而增大，且增幅較大，因此，在既有鐵路線上增大營(yíng)運(yùn)列車的軸重時(shí)，必須要對(duì)橋梁重新進(jìn)行檢定;

(2)重載鐵路橋梁的跨中撓度和豎向加速度隨列車的速度、加速度及軌道不平順幅值的增大而增大，它們引起撓度的增幅較小，但加速度增幅均較大，直接影響列車過橋時(shí)的平穩(wěn)性;

(3)重載鐵路橋梁的跨中撓度隨列車的減速度的絕對(duì)值增大而減小。說明列車在橋梁上減速運(yùn)行，一般不影響橋梁的撓度指標(biāo)但同樣會(huì)影響列車過橋時(shí)的平穩(wěn)性。

［1］吳定俊，周建民，余 華.高速鐵路橋梁梁墩基礎(chǔ)體系列車過橋動(dòng)力分析［J］.上海鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，21(10):44-49.

WU Ding-jun，ZHOU Jian-min，YU Hua.Dynamic analysis of vehicle-bridge system including pier and foundation［J］.Journal of Shanghai Tiedao University，2000，21(10):44-49.

［2］王少欽，夏 禾，郭薇薇，等.變速移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)力響應(yīng)及共振分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2010，29(2):26-30.

WANG Shao-qin，XIA He，GUO Wei-wei.et al.Dynamic response and resonance analyses for a simply-supported bridge under speed-varying loads［J］.Journal of Shanghai Tiedao University，2010 ，29(2):26-30.

［3］蘇木標(biāo)，李建中，鄒振祝，等.高速鐵路簡(jiǎn)支梁橋有載動(dòng)力特性分析［J］.工程力學(xué)，2002，19(3):137-142.

SU Mu-biao，LI Jian-zhong，ZOU Zhen-zhu，et al.Analysis of loaded dynamic characteristics of simply supported beam bridges on high speed railway［J］.Engineering Mechanics，2002，19(3):137-142.

［4］王解軍，張 偉，吳衛(wèi)祥.重載汽車荷載作用下簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)力反應(yīng)分析［J］.中南公路工程，2005，30(2):55-67.

WANG Jie-jun，ZHANG Wei，WU Wei-xiang.Analysis of dynamics responses of simply supported girder bridge under heavy moving vehicles［J］. Central South Highway Engineering，2005，30(2):55-67.

［5］彭 獻(xiàn)，殷新鋒，茆秋華.車-橋系統(tǒng)的振動(dòng)分析及控制［J］.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2006，4(3):253-258.

PENG Xian，YIN Xin-feng，MAO Qiu-hua.Vibration analysis and control on vehicle-bridge system［J］.Journal of Dynamics and Control，2006，4(3):253-258.

［6］陳憲麥，王 瀾，陶夏新，等.基于小波分析理論的軌道不平順分析［J］.鐵道工程學(xué)報(bào)，2008，112(1):57-61.

CHEN Xian-mai，WANG Lan，TAO Xia-xin，et al.Analysis of track irregularity with wavelets analysis theory［J］.Journal of Railway Engineering Society，2008，112(1):57-61.

［7］黃俊飛，練松良，宗德明，等.軌道隨機(jī)不平順與車輛動(dòng)力響應(yīng)的相干分析［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，31(1):16-20.

HUANG Jun-fei，LIAN Song-liang ZONG De-ming，et al.Analysis of coherence between track random irregularity and vehicle dynamic response［J］.Journal of Tongji University(Natural Science)，2003，31(1):16-20.

［8］張 昕，蔣 通.考慮軌道不平順的車-橋動(dòng)力分析［J］.力學(xué)季刊，2003，24(1):15-22.

ZHANG Xin，JIANG Tong.Dynamic analysis of train-bridge system considering rail irregularity［J］.Chinese Quarterly of Mechanics，2003，24(1):15-22.

［9］曲 名，許玉德.基于小波的列車加速度和軌道不平順分析［J］.華東交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，25(5):36-41.

QU Ming， XU Yude.An analysis of the relationship of acceleration and track irregularity based on wavelet［J］.Journal of East China Jiaotong University，2008，25(5):36-41.