王 平，張玉林

(東南大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇南京 211189)

1 研究背景

關(guān)鍵詞拍賣是近十幾年來搜索引擎發(fā)展起來的一種廣告服務(wù)形式。該模式起源于1998年的GoTo(即后來雅虎的Overture)，Google在2002年改進(jìn)了其中的拍賣機(jī)制，成功地將廣義二階價格拍賣［1］(generalized second price auction，GSP) 轉(zhuǎn)變?yōu)樯虡I(yè)模式，該模式很快成為互聯(lián)網(wǎng)廣告的主要利潤來源［2］。在Google公司30億美元的月廣告收入中，最大的貢獻(xiàn)來自搜索關(guān)鍵詞廣告［3］。中國2011年搜索引擎廣告整體市場規(guī)模達(dá)154.9億元人民幣，占網(wǎng)絡(luò)廣告總體市場規(guī)模的比例超過50%，搜索引擎已超過報紙媒介成為僅次于電視的第二大廣告載體［4］。百度也在其廣告服務(wù)中采用了關(guān)鍵詞拍賣，短短幾年就成為國內(nèi)最大的互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)。關(guān)鍵詞廣告的成功應(yīng)用引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，也為相關(guān)的理論研究賦予了很高的實(shí)際價值。

在關(guān)鍵詞銷售實(shí)踐中，大多數(shù)關(guān)鍵詞廣告是這樣設(shè)計的:廣告主根據(jù)所需要推廣的產(chǎn)品選擇一組關(guān)鍵詞(由搜索引擎發(fā)布)，并為每個關(guān)鍵詞提供一個報價。該報價表示當(dāng)用戶點(diǎn)擊其廣告時，廣告主愿意支付的最高價格。當(dāng)用戶檢索某個關(guān)鍵詞時，搜索引擎會反饋給用戶一個搜索結(jié)果頁面(SERP)，SERP上除了搜索引擎的算法自動檢索生成的內(nèi)容外，還會在特定的位置出現(xiàn)一組有序的廣告，這些廣告就是廣告主選擇該關(guān)鍵詞并提交了報價的廣告，它們的排序也依賴于廣告主的報價。這一過程中，廣告主的報價反映了其對單位點(diǎn)擊的私有估價信息，拍賣機(jī)制決定了廣告位的預(yù)期分配以及廣告主的預(yù)期支付，最后用戶的點(diǎn)擊實(shí)現(xiàn)了廣告資源的分配，從而使搜索引擎獲得收益。

實(shí)踐中，關(guān)鍵詞拍賣機(jī)制大致經(jīng)歷了兩個階段，即廣義第一價格(GFP)和廣義第二價格(GSP)。GFP機(jī)制簡單易行，但不穩(wěn)定，很快被GSP機(jī)制代替。目前，GSP機(jī)制已成為主流搜索引擎服務(wù)商關(guān)鍵詞拍賣的主要機(jī)制，眾多學(xué)者圍繞該機(jī)制展開了研究。GSP機(jī)制是EDELMAN等在總結(jié)Google和Yahoo！關(guān)鍵詞拍賣的基礎(chǔ)上提出的，他們證明該機(jī)制存在局部無嫉妒均衡(locally envy-free equilibrium)，在這種均衡下廣告主沒有動機(jī)改變自己的位置，文獻(xiàn)［5］提出的對稱納什均衡(symmetric Nash equilibrium)與此相同。文獻(xiàn)［6］則給出了不同排序方式下GSP機(jī)制的均衡。文獻(xiàn)［7］分析了在GSP機(jī)制下廣告主的策略性行為，證明了這種策略行為不利于搜索引擎的收益。文獻(xiàn)［8］則在GSP機(jī)制的基礎(chǔ)上提出按廣告主競價或者加權(quán)競價遞減排序的“階梯拍賣”，并證明了這是一個講真話機(jī)制。而文獻(xiàn)［9］認(rèn)為GSP機(jī)制并不是對所有的廣告商都公平。但是這些結(jié)論都是在沒有考慮廣告主預(yù)算約束和關(guān)鍵詞保留價的前提下得到的。當(dāng)廣告主有預(yù)算約束時，上述結(jié)論將發(fā)生改變，如文獻(xiàn)［10］討論了廣告主有預(yù)算約束的拍賣機(jī)制，他們認(rèn)為有預(yù)算約束時不存在非平凡的講真話機(jī)制;而當(dāng)存在保留價時，上述結(jié)論將發(fā)生變化，如文獻(xiàn)［6］給出了廣告主的單階段和多階段競價均衡，并證明了保留價會影響廣告主的均衡競價。因此，廣告位有保留價約束時，已有的多數(shù)關(guān)鍵詞拍賣的研究成果需要修訂和補(bǔ)充。

保留價的思想起源于RILEY等1981年的研究單物品拍賣工作［11-12］，其在私有估價假設(shè)與競價者風(fēng)險中性假設(shè)下，得到了最優(yōu)保留價的經(jīng)典公式。文獻(xiàn)［13］則對二階和一階價格拍賣中的最優(yōu)保留價進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)保留價受參加拍賣人數(shù)影響，并且設(shè)置保留價的效果比吸引更多的競拍者的效果要好。關(guān)鍵詞拍賣出現(xiàn)后，上述經(jīng)典結(jié)果被推廣應(yīng)用于關(guān)鍵詞拍賣，如文獻(xiàn)［14］為每一個廣告位設(shè)置保留價，提出“雙階梯拍賣”，推廣了文獻(xiàn)［8］的結(jié)論。文獻(xiàn)［15］認(rèn)為廣告位可變成本的作用相當(dāng)于保留價的作用，并可利用廣告位可變成本實(shí)現(xiàn)最優(yōu)關(guān)鍵詞拍賣。文獻(xiàn)［16］提出了在廣義英式拍賣中關(guān)鍵詞最優(yōu)保留價應(yīng)滿足的關(guān)系式。在處理方法上，有學(xué)者將關(guān)鍵詞拍賣看作可分物品拍賣，比較重要的有文獻(xiàn)［17］，文獻(xiàn)［18］則沿用這一方法，在廣告主獨(dú)立且同質(zhì)對稱下，以搜索引擎收益最大化為目標(biāo)，推導(dǎo)出關(guān)鍵詞的最優(yōu)保留價。但是，實(shí)際中廣告主之間相互獨(dú)立卻不對稱的情況是普遍存在的。對搜索引擎來說，不同的廣告商有不同的競價策略，從而產(chǎn)生不同的支付，進(jìn)而影響預(yù)期收益［19］。因此，在廣告商異質(zhì)性的一般假設(shè)下研究關(guān)鍵詞的最優(yōu)保留價，顯然具有重大的理論和實(shí)際意義，該問題也是筆者研究的重點(diǎn)，是與已有研究的區(qū)別之所在。

2 機(jī)制描述

現(xiàn)實(shí)中的關(guān)鍵詞拍賣十分復(fù)雜，各大搜索引擎的拍賣規(guī)則也不盡相同，如Yahoo！的直接排名機(jī)制和Google的綜合排名機(jī)制。但物品的出售機(jī)制總是包括以下要素:買者的可能信息或者報價的集合，這里表現(xiàn)為對關(guān)鍵詞的估價;一套分配規(guī)則;以及一套支付規(guī)則。

首先假設(shè)有關(guān)鍵詞A，搜索引擎在其下設(shè)置了 k 個廣告位，用 j表示，j∈K(K=1，2，…，k)，有n 個潛在廣告主，令 i∈N(N=1，2，…，n)為廣告主i的標(biāo)記，對廣告主和搜索引擎作如下假設(shè):

(1)假設(shè)廣告主人數(shù)多于廣告位數(shù)，即n≥k，且拍賣的所有參與者都是個體理性的;

(2)廣告主的估價υi為私有信息，但假設(shè)其服從的分布是公共知識;

(3)廣告主獨(dú)立非對稱。如果廣告主i的估價υi服從概率分布 Fi(·)，概率密度函數(shù)為fi(·)，那么當(dāng) i≠j時，F(xiàn)i(·)≠Fj(·);

任意廣告主在搜索結(jié)果頁面上的位置由自己的報價和其他廣告主的報價共同確定，記廣告主i的報價為bi，其預(yù)期點(diǎn)擊率Pi和預(yù)期付費(fèi)Mi為:

其中:h為分配規(guī)則;g為支付規(guī)則;b-i=(b1，b2，…，bi-1，bi+1，…，bn)。

廣告主根據(jù)自己對關(guān)鍵詞的估價進(jìn)行報價，有:

βi(·)稱為廣告主i的策略。在非合作博弈中，重要的是要找到它的均衡策略，因為均衡策略是所有廣告主的最優(yōu)選擇。所謂均衡策略見定義1。

定義1 均衡策略β(·)滿足:

(1)所有的廣告主都按照策略β(·)出價，即對任意廣告主i，都有βi=β;

(2)如果其他廣告主都按照b-i=β(υ-i)出價，即其他廣告主都選擇在出價策略中顯示自己的真實(shí)估價，那么對于真實(shí)估價為υi的廣告主來說，其最優(yōu)反應(yīng)也是顯示自己的真實(shí)估價，即bi=β(υi)，定義 β(υi)=υi。

這樣，獨(dú)立但不同分布的私有估價υi，均衡策略β(υi)以及式(1)共同構(gòu)成了關(guān)鍵詞廣告的出售機(jī)制。下面將在這一機(jī)制中考慮保留價，研究關(guān)鍵詞最優(yōu)保留價設(shè)置。

3 搜索引擎的收益

考慮廣告主i，記λij為其在位置j時所獲得的點(diǎn)擊率，如果其想通過隱瞞自己的真實(shí)估價來獲得更多收益，那么其將報價bi而非真實(shí)估價υi。此時，他的預(yù)期點(diǎn)擊率和付費(fèi)分別為:

式中:pij(bi，υ-i)和 mij(bi，υ-i)分別為廣告主i報價bi，而其他廣告主按真實(shí)估價報價時得到位置j的概率和付費(fèi)。

假設(shè)除廣告主i外其他廣告主都按真實(shí)估價報價，即b-i=υ-i時，廣告主i的預(yù)期利潤為:

進(jìn)而，廣告主i的期望利潤為:

其中:Eυ-i(·)表示對i外的其他n-1個廣告主的估價分布取期望，pi(bi)=Eυ-i·［pi(bi，υ-i)］，mi(bi)=Eυ-i［mi(bi，υ-i)］分別表示廣告主i報價bi時的期望點(diǎn)擊率和期望支付。

個體理性的廣告主i會保證收益非負(fù)，找到保證期望利潤至少為0的估價下限，那么:

同時，希望找到一個合適的bi使自己的期望收益最大，目標(biāo)函數(shù)為:

為了獲得最大的收益，廣告主i需要確定最優(yōu)的bi。由定義1知bi=vi是一個均衡策略，即當(dāng)其他廣告主均按真實(shí)估價報價時，廣告主i的最優(yōu)反應(yīng)是顯示真實(shí)估價，因此bi=vi是最優(yōu)化式(3)的解，從而如下的一階條件成立:

當(dāng)vi大于時，上述微分方程成立。結(jié)合個體理性條件式(2)可得廣告主i的期望支付為:

從搜索引擎的角度來看，由式(4)得到的期望支付mi(vi)仍然是一個隨機(jī)變量，因為搜索引擎僅知道vi的分布，所以搜索引擎從廣告主i處得到的期望收益為:

通過簡單的積分變換可得:

搜索引擎的總收益是從各廣告主處得到的收益之和，即:

4 最低保留價

由(6)式可知，搜索引擎的最優(yōu)化問題為:

根據(jù)基本假設(shè)可知hi(vi)單調(diào)遞增，結(jié)合式(8)和式(9)可知，對于任意，有:

結(jié)論1 假設(shè)關(guān)鍵詞拍賣的所有參與者都是風(fēng)險中性的，競價者的估價是獨(dú)立非對稱的，則搜索引擎應(yīng)設(shè)定的最優(yōu)保留價為:

如果廣告主獨(dú)立對稱，即當(dāng)F1=F2=…=Fn=F，f1=f2=…=fn=f時，可以得到=…==v*，從而結(jié)論1可以寫為:r*=v*，其中v*滿足式(10)。這與文獻(xiàn)［18］中獨(dú)立同分布的廣告主私人價值假設(shè)下，搜索引擎對關(guān)鍵詞的持有價值為零時的最優(yōu)保留價一致。根據(jù)文獻(xiàn)［1］，廣告位對于搜索引擎來說是一種易逝品，持有廣告位而不出售是不會有收益的，其持有價值為0。在這一假設(shè)前提下，文獻(xiàn)［18］中的結(jié)論就是筆者結(jié)論的一個特例。

綜合上述廣告主的估價是獨(dú)立同分布時的保留價及其滿足的性質(zhì)，可得到結(jié)論2。

結(jié)論2 如果關(guān)鍵詞拍賣的所有參與者均為風(fēng)險中性，競價者的估價是獨(dú)立同分布的，那么隨著最優(yōu)保留價的提高，廣告主得到廣告位的概率降低。

證明 由上述分析可知，當(dāng)廣告主的估價獨(dú)立同分布時，根據(jù)式(10)可得:

對上式兩邊同時求不定積分可以得到:

其中，C為不定積分產(chǎn)生的任意常數(shù)。

已知F(v*)為累計概率，因此F(v*)≤1，從而C≤1，則式(12)右邊是大于等于0的。式(12)表示廣告主估價大于最優(yōu)保留價的概率隨著最優(yōu)保留價的增加而降低，廣告主得到廣告位的概率與最優(yōu)保留價之間也滿足該關(guān)系，這是符合實(shí)際情況的。隨著保留價的提高，廣告主真實(shí)估價大于保留價的概率就會減小。因此，搜索引擎應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)谋Ａ魞r，保證參與拍賣的廣告主人數(shù)以及自己的收益。

分析上述廣告主獨(dú)立對稱和非對稱情況下保留價所滿足的性質(zhì)，可得到結(jié)論3。

結(jié)論3 如果關(guān)鍵詞拍賣的所有參與者均為風(fēng)險中性，在廣告主的估價是獨(dú)立對稱的私人價值假設(shè)下，搜索引擎對關(guān)鍵詞的最優(yōu)保留價與廣告主人數(shù)以及參與拍賣的廣告主沒有關(guān)系;當(dāng)廣告主的估價獨(dú)立非對稱時，搜索引擎的最低保留價格受到參與拍賣的競價者的影響，但兩者仍沒有直接聯(lián)系。

5 算例分析

假設(shè)搜索引擎在某關(guān)鍵詞下設(shè)置5個位置，且廣告主的期望點(diǎn)擊率為:P=(0.10F1(v1)，0.08F2(v2)，0.06F3(v3)，0.04F4(v4)，0.07F5(v5)，0.09F6(v6)，0.03F7(v7)，0.05F8(v8)，0.02F9(v9)，0.20F10(v10))，并保持固定不變。

表1給出了競價人數(shù)從5到10時關(guān)鍵詞保留價和搜索引擎總預(yù)期收益變化結(jié)果。

表1 不同競價者情形下的最低保留價與搜索引擎總收益

從表1可以看出，在考慮廣告主異質(zhì)性時，當(dāng)廣告主人數(shù)從5增加到8時，關(guān)鍵詞最低保留價不變，當(dāng)廣告主9加入時，關(guān)鍵詞保留價減小，而廣告主10加入時，關(guān)鍵詞保留價不變，由此初步推斷，關(guān)鍵詞最低保留價與廣告主人數(shù)無關(guān)，但與新加入的廣告主的估價所服從的具體分布相關(guān)。同時，隨著廣告主人數(shù)的增加，搜索引擎的總預(yù)期收益也增加，這是符合實(shí)際的。直觀地說，廣告主人數(shù)越多，搜索引擎分配廣告位時的選擇范圍越大，從而有可能獲得更多收益。

6 結(jié)論

筆者將關(guān)鍵詞拍賣看成可分單物品拍賣，在考慮廣告主異質(zhì)性的情況下，設(shè)計了一個搜索引擎關(guān)鍵詞拍賣機(jī)制，得到了關(guān)鍵詞最優(yōu)保留價所滿足的理論表達(dá)式。與文獻(xiàn)［18］相比，筆者的結(jié)論更為一般化。該研究對點(diǎn)擊率的假設(shè)也更加符合實(shí)際，點(diǎn)擊率既與位置有關(guān)，又與廣告主有關(guān)，且無論其是否符合可分離假設(shè)對筆者的結(jié)論都沒有影響。還討論了在廣告主的估價獨(dú)立且同分布時保留價對廣告主的影響，發(fā)現(xiàn)保留價提高時廣告主得到廣告位的概率就降低。這意味著，搜索引擎應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)谋Ａ魞r來保證廣告主的參與以及自己的收益。實(shí)際情形下，保留價的影響因素有很多，更多影響因素下的關(guān)鍵詞最優(yōu)保留價研究是值得進(jìn)一步討論的問題。

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