王桂臻，李必文，宣天賜，吳雪瑩

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北 黃石 435002)

傳染病對人類影響重大，每年都有成千上萬人死于各種傳染病.近年來，控制傳染病已日益成為一個復(fù)雜問題，接種是根除傳染病的一個重要策略.而脈沖接種傳染病模型已經(jīng)成為理論分析的主題.帶有時滯的連續(xù)傳染病模型已被廣泛研究，最著名的時滯SIR傳染病模型如下：

(1)

其中，S(t)，I(t)，R(t) 分別表示易感人群，染病人群，具有永久免疫的恢復(fù)人群在時間t的值，常數(shù)λ>0 表示移民率，假定所有的新生兒為易感人群.常數(shù)μi>0，i=1，2，3 分別表示易感人群，染病人群，恢復(fù)人群的死亡率.從生物學(xué)角度，很自然地假設(shè)μ1≤min{μ2，μ3}.常數(shù)β>0是接觸率，常數(shù)γ>0是恢復(fù)率.非負(fù)常數(shù)h是離散時滯，表示個體成為染病者所需要的時間.

根據(jù)傳統(tǒng)的接種疫苗策略，新生兒也應(yīng)該接種疫苗，θ/T(0<θ< 1)是接種成功的比例.那么，上面的系統(tǒng)變?yōu)閭鹘y(tǒng)的實施連續(xù)接種策略的傳染病模型

(2)

在原來的系統(tǒng)中考慮脈沖接種，我們可以建立下面的脈沖差分微分系統(tǒng)：

(3)

這里，參數(shù)0<θ<1 是接種成功的比例，脈沖接種每T年一次，n=0，1，2， ….

下面我們將分別對系統(tǒng)(2) 和(3) 的平衡點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行研究，并得到脈沖系統(tǒng)持久性的條件，最后得到我們的主要結(jié)論.

1 連續(xù)接種的SIR模型

這一部分，我們將分別分析系統(tǒng)(2)的局部漸近穩(wěn)定性.假定總?cè)藬?shù)N(t) 的變化由N*(t)=λ-μ1S(t)-μ2I(t)-μ3R(t) 決定，當(dāng)t→∞ 時，N(t)→1 ，由于系統(tǒng)(2)的前兩個方程不依賴于第三個方程，因此第三個方程可以省略.那么，系統(tǒng)(2)可以寫成

(4)

定義

(5)

定理1 若R0<1，則對于h≥0，系統(tǒng)(4)的無病平衡點(diǎn)E0=(λ/(μ1+(θ/T))，0) 是局部漸近穩(wěn)定的.

定理3 對于所有的ξ∈[-h，0) ，令系統(tǒng)(2)的初始條件S(ξ)=S(0)>0，I(ξ)=I(0)>0，R(0)>0，假設(shè)R0>1，那么如果滿足

(6)

以上定理的證明與[1]類似，此處不再綴余.

2 帶脈沖接種的SIR模型

在這部分，我們考慮每T年一次的脈沖接種的情形，其中，T是間隔脈沖時間，即兩次連貫脈沖接種之間的時間.易感個體在脈沖接種以后將恢復(fù)，并得到疾病是否成為地方病的充分條件.顯然，在系統(tǒng)(3)中，總?cè)藬?shù)接近1.為了方便起見，我們可以假設(shè)S(t)+I(t)+R(t)=1 .系統(tǒng)(3)的前兩個方程不依賴于第三個方程.因此，我們只考慮下面的簡化系統(tǒng)：

(7)

出于生物學(xué)意義，我們在閉集Ω上考慮系統(tǒng)(7).可以證明Ω關(guān)于系統(tǒng)(7)是正不變的.

2.1 無病周期解的全局吸引性

為了證明我們的主要結(jié)論，先給出下面的幾個引理.

引理1[2]考慮下面的脈沖微分系統(tǒng):

其中，a>0，b>0，0<θ<1. 則系統(tǒng)存在惟一的全局漸近穩(wěn)定的正周期解

引理2[3](脈沖比較定理) 假設(shè)m∈PC[+，]在t=τk處間斷， 且在t=τk滿足左連續(xù)，k∈且

其中g(shù)∈C[+*+，] ，ψk∈C[，]，且Ψk(u) 對每個k∈關(guān)于u是非遞減的.令ρ(t)是下面脈沖微分系統(tǒng)在[t0，∞]的最小解：

引理3[4]考慮下面的脈沖微分方程:

其中，a，b，ω都是正數(shù)，且x(t)>0，t∈[-ω，0) .則

現(xiàn)在我們將證明無病平衡點(diǎn)(S*(t)，0) 是全局吸引的.首先，我們來說明無病平衡周期解的存在性，此時傳染病個體為零，即I(t)=0，t>0.在這個假設(shè)下，易感人群的增長率必須滿足

(8)

根據(jù)引理1，我們知道系統(tǒng)(8)的周期解

是全局漸近穩(wěn)定的.因此，系統(tǒng)(7)有一個無病周期解 (S*(t)，0).

定理4 若R*<1 ，那么系統(tǒng)(7)的無病周期解(S*(t)，0) 是全局吸引的.

證明 由于R*<1，我們可以選取足夠小的ε>0，滿足

(9)

由(7)的第一個方程，我們有S′(t)<λ-μ1S(t) ，下面我們考慮脈沖比較系統(tǒng)：

(10)

由引理1，得到系統(tǒng)(10)的周期解，即

根據(jù)脈沖比較定理，存在m1∈+，使得S(t)≤x(t)

(11)

進(jìn)一步地，由第二個方程，我們有

考慮下面的脈沖比較系統(tǒng)：

(12)

由引理1，得到系統(tǒng)(12)的周期解

根據(jù)比較定理，存在一個整數(shù)m3>m2， 使得

S(t)≥z(t)>z*(t)-ε1，nTm3

(13)

由于ε和ε1都是充分小的，由(11)和(13)知

S*(t)-ε

因此，系統(tǒng)(7)的無病周期解(S*(t)，0) 是全局吸引的.證畢.

3 連續(xù)和脈沖接種的比較

[1]Pei Yong-zhen，Li Shu-ping，Li Chang-guo，et al.The effect of constant and pulse vaccination on an SIR epidemic model with infectious period[J].Applied Mathematical Modelling， 2011，35:3866～3878.

[2]Gao S， Chen L， Teng Z. Impulsive vaccination of an SEIRS model with time delay and varying total population size[J].Bull Math Biol，2007，69(1):731～745.

[3]Zang Shu-wen， Wang Fen-yan， Chen Lan-sun. A food chain system with density-dependent birth rate and impulsive perturbations[J]. Advances in Com-plex Systems， 2006， 9(3): 1～14.

[4]Yang Kuang.Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics[M].San Diego:Academic Press( INC)，1993.

[5]Masaki Sekiguchi，Emiko Ishiwata.Dynamics of a discretized SIR epidemic model with pulse vaccination and time delay[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，236(6):997～1008.

[6]Li Biwen，Xiong Xinsheng.Existence and global attractivity of periodic solution for a discrete pry-predator model with sex structure[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications，2010，11:1986～2000.

[7] 李必文，杜 漫，萬素梅.一個病毒傳染模型的穩(wěn)定性[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005，25(4): 8～10.

[8]章培軍，李維德，朱凌峰.SIRS傳染病模型的連續(xù)接種和脈沖接種的比較[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011，47(1):82～86.