李深旺，張國(guó)慶，郭志忠，于文斌，宋 平，黃華煒

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，150001哈爾濱;2.國(guó)網(wǎng)上海市電力公司，200122上海)

光學(xué)電流互感器(optical current transducer，OCT)基于法拉第磁光效應(yīng)測(cè)量電流，其實(shí)質(zhì)是沿傳感光路的磁場(chǎng)積分［1-2］.按照傳感光路結(jié)構(gòu)的不同，光學(xué)電流互感器可分為閉合光路型光學(xué)電流互感器和直通光路型光學(xué)電流互感器.直通光路型光學(xué)電流互感器采用磁光玻璃作為光學(xué)傳感材料，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可以有效解決光學(xué)電流互感器存在的測(cè)量精度的溫度漂移和長(zhǎng)期運(yùn)行穩(wěn)定性差的問(wèn)題，極具實(shí)用前景［3-7］.

直通光路型光學(xué)電流互感器面臨著抗外磁場(chǎng)干擾能力差的問(wèn)題.安培環(huán)路定律的要點(diǎn)是閉合環(huán)路，而直通光路型光學(xué)電流互感器的光路被分割為若干分離的直線段，變成離散環(huán)路，失去了連續(xù)閉合性，屬于離散環(huán)路磁場(chǎng)積分范疇，不滿足安培環(huán)路定律［8］，因此，其抗外磁場(chǎng)干擾能力較差.抗外磁場(chǎng)干擾能力差成為阻礙直通光路型光學(xué)電流互感器實(shí)用化的關(guān)鍵技術(shù)障礙.目前解決這一問(wèn)題的主要方法有:磁屏蔽技術(shù)、集磁環(huán)聚磁技術(shù)、傳感頭結(jié)構(gòu)優(yōu)化、差分式傳感技術(shù)等［3，9-14］.這些方法可以取得一定的抑制外磁場(chǎng)干擾的效果，但效果有限，不能從根本上解決直通光路型光學(xué)電流互感器抗外磁場(chǎng)干擾能力差的問(wèn)題.

文獻(xiàn)［12-13］研究了安培環(huán)路定律的等價(jià)解環(huán)條件:特定條件下離散環(huán)路的磁場(chǎng)積分仍滿足安培環(huán)路定律.本文在文獻(xiàn)［12-13］的基礎(chǔ)上研究正多邊離散環(huán)路磁場(chǎng)積分問(wèn)題，對(duì)離散安培環(huán)路定律進(jìn)行了初探，并定義了離散環(huán)路磁場(chǎng)積分的兩個(gè)模型:正多邊離散環(huán)路Sm模型和Sm正分布的mSm模型，通過(guò)對(duì)兩種模型零和P點(diǎn)特性的研究，提出了Sm模型的零和定理、mSm模型的互易定理，形成了以零和P點(diǎn)為基點(diǎn)的、仍然遵守安培環(huán)路定律的正多邊離散環(huán)路磁場(chǎng)積分理論體系，為光學(xué)電流互感器的零和御磁技術(shù)奠定了重要的理論基礎(chǔ).本文的研究為解決直通光路型光學(xué)電流互感器的抗外磁場(chǎng)干擾技術(shù)難題提供新的方法.

1 離散安培環(huán)路定律

離散環(huán)路磁場(chǎng)積分問(wèn)題來(lái)自光學(xué)電流互感器抵御外磁場(chǎng)干擾的零和御磁技術(shù)［12-13］.與磁屏蔽技術(shù)不同，零和御磁技術(shù)不是阻止外磁場(chǎng)的進(jìn)入，而是讓其進(jìn)入但失去干擾作用，簡(jiǎn)捷有效，如圖1所示.

圖1 零和御磁技術(shù)與磁屏蔽技術(shù)的不同

安培環(huán)路定律表明，磁場(chǎng)環(huán)路積分與環(huán)路外的電流無(wú)關(guān)，即

式中:B為磁感應(yīng)強(qiáng)度;P為載流導(dǎo)體置放點(diǎn);L為閉合環(huán)路;μ0為真空磁導(dǎo)率;Ⅰ為環(huán)內(nèi)電流.

1.1 約定

約定1:離散環(huán)路.保留了若干相互分離有向線段(直線或者曲線)lk(k=1，2，…，m)的環(huán)路，記作L.

約定2:參考方向.相對(duì)離散環(huán)路L內(nèi)的任意點(diǎn)，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)橛邢蚓€段正方向，如圖2(a)所示.

約定3:P點(diǎn)、P點(diǎn)張角.P點(diǎn)是置放載流導(dǎo)體的幾何點(diǎn);P點(diǎn)張角是P點(diǎn)向有向線段兩個(gè)端點(diǎn)張開(kāi)的角度，記為αk(k=1，2，…，m)，簡(jiǎn)稱張角.如圖2(b)所示.

約定4:張角符號(hào).張角αk(k=1，2，…，m)的符號(hào)為沿有向線段lk的磁場(chǎng)積分符號(hào)，即

在式(2)約束條件下，對(duì)于環(huán)內(nèi)P點(diǎn)，有

圖2 離散環(huán)路

約定5:零和P點(diǎn).滿足下式的P點(diǎn)為零和P點(diǎn)，零和P點(diǎn)是對(duì)離散環(huán)路磁場(chǎng)積分不起作用的幾何點(diǎn).顯然，在上述約定下零和P點(diǎn)存在且只存在于離散環(huán)路之外.

1.2 離散安培環(huán)路定律

在1.1節(jié)的約定下，容易理解如下的離散安培環(huán)路定律.

離散安培環(huán)路定律:若環(huán)外電流置放在零和P點(diǎn)上，離散環(huán)路磁場(chǎng)積分可表達(dá)為

其中:μ0為磁導(dǎo)率，Ⅰ為環(huán)內(nèi)電流.

2 Sm模型及零和定理

2.1 定義

定義1正多邊離散環(huán)路模型.Sm(m≥2)表示m條有向線段組成的離散環(huán)路，并滿足以下條件:1)有向線段lk(k=1，2，…，m)，隔邊相望，取正2m邊形的m條邊;2)有向線段方向遵守1.1節(jié)的約定2.

2.2 約定

約定6:Sm坐標(biāo)系.Sm坐標(biāo)系原點(diǎn)取其中心點(diǎn)O，橫軸為原點(diǎn)O與某一有向線段li中點(diǎn)的連線.

約定7:P線、P線角.P線是Sm原點(diǎn)O指向環(huán)外P點(diǎn)的矢量;P線與Sm橫軸x的夾角θ叫P線角.

約定8:零和P線、無(wú)向零和P線.零和P線是零和P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的P線;不考慮方向的零和P線為無(wú)向零和P線.

約定9:線段角.Sm原點(diǎn)0向有向線段兩個(gè)端點(diǎn)張開(kāi)的角度，記為φ，顯然有

2.3 張角向量

如圖3所示的Sm模型，對(duì)于環(huán)外任意P點(diǎn)，有

其中:R為Sm外接圓半徑，P為P線幅值.

圖3 Sm模型

由于

因此

將式(8)展開(kāi)

考慮到

可得到張角向量

令

顯然有

由式(12)可得

對(duì)式(13)證明如下:對(duì)于以下的復(fù)因子序列

設(shè)式(14)的C積和是復(fù)因子以Ckm方式相乘后的累加，記作Ckm{e±jδ}，上標(biāo)k叫C積和的階，k是復(fù)因子序列{e±jδ}的維數(shù)，也是C積和的最大階數(shù)，δk是角度，約定C0m{e±jδ}=1.若復(fù)因子序列{e±jδ}的角度序列為

等分圓周，即滿足條件

則C積和的取值為

若復(fù)因子序列{e±jδ}的元素對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

且序列{δ}等分圓周，即滿足式(15)，根據(jù)Euler公式有

得到

因此

注意到

如此可得

即為

再根據(jù)Euler公式，得到

證明完畢.

2.4 零和定理

定理1零和定理.對(duì)Sm模型，滿足如下P線角關(guān)系的2m條P線為零和P線.

證明容易理解如下等價(jià)關(guān)系:

結(jié)合式(13)，可得

考慮M的取值，上式等價(jià)為

就是

于是

將上式展開(kāi)，并劃分為如下兩個(gè)集合:

考察發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)集合可統(tǒng)一記作式(26)的形式.證明完畢.

推論Sm模型有m條無(wú)向零和P線.

證明根據(jù)式(26)，有即第m+k條和第k條零和P線的方向相反.因此Sm有m條無(wú)向零和P線.根據(jù)零和定理知道，Sm模型的零和P線具有如下基本性質(zhì):1)零和P線由且僅由P線角決定;2)有向線段端點(diǎn)與Sm原點(diǎn)的連線是零和P線的一部分;3)零和P線在離散環(huán)路外的任意點(diǎn)都是零和P點(diǎn).

2.5 零和定理應(yīng)用舉例

本節(jié)以m=6為例，討論Sm模型及零和定理在零和御磁技術(shù)中的應(yīng)用.圖4為S6模型的示意圖.取6塊相同的磁光玻璃材料按照S6模型布置，即6塊磁光玻璃的傳感光路分別與S6模型的有向線段l1、l2、l3、l4、l5、l6重合，磁光玻璃的通光方向與約定2的方向相同，從而構(gòu)成S6結(jié)構(gòu)OCT.下面分析S6模型的零和御磁問(wèn)題.

圖4 S6模型

由式(26)可知，S6模型有12條零和P線，這些零和P線將圓周均勻分割為12等份，如圖4所示.將待測(cè)電流ic布置于OCT的中心、干擾電流ig布置于OCT的零和P線上，則OCT對(duì)待測(cè)電流ic產(chǎn)生磁場(chǎng)Bc的積分結(jié)果為

OCT對(duì)干擾電流ig產(chǎn)生磁場(chǎng)Bg的積分結(jié)果為

由式(27)、(28)可見(jiàn)，干擾電流ig產(chǎn)生的磁場(chǎng)Bg對(duì)OCT的測(cè)量結(jié)果沒(méi)有貢獻(xiàn)，這意味著干擾電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)雖然可以通過(guò)OCT的內(nèi)部但完全失去了干擾作用，采用零和御磁技術(shù)設(shè)計(jì)的OCT可以實(shí)現(xiàn)對(duì)待測(cè)電流ic的無(wú)干擾測(cè)量.

Sm模型適用于存在一個(gè)或多個(gè)干擾電流情況下對(duì)待測(cè)電流的抗干擾測(cè)量.

3 mSm模型及互易定理

3.1 定義

定義2Sm正對(duì)稱分布模型mSm.mSm是m個(gè)相同Sm組成的幾何圖形，每個(gè)mSm的原點(diǎn)為正m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，且滿足不重疊條件

其中:D為相鄰Smk中心點(diǎn)的距離.mSm模型描述m個(gè)Sm同時(shí)存在的正對(duì)稱分布情況.

3.2 互易定理

mSm每個(gè)頂點(diǎn)有m-1條頂點(diǎn)連接線，它們將內(nèi)角分割為m-2個(gè)相等的角，取值為

顯然，此角度恰好等于式(6)的線段角φ，完全吻合地放置頂點(diǎn)為原點(diǎn)的Sm.一個(gè)Sm有m條無(wú)向零和P線，其中的m-1條線為mSm頂點(diǎn)間的連接線，剩余1條是mSm外接圓在頂點(diǎn)的切線.如此，任意Sm原點(diǎn)都處在所有其他Smk(k=1，2，…，m;k≠i)零和P線的交點(diǎn)上.這樣，如果mSm中任意兩個(gè)Sm互換位置，必然是原點(diǎn)與零和P點(diǎn)的互換.

定理2互易定理.如果mSm中任意兩個(gè)Sm位置互換，則原點(diǎn)與零和P點(diǎn)互換:其中一個(gè)Sm的原點(diǎn)成為另一個(gè)Sm的零和P點(diǎn)，反之亦然.

3.3 互易定理應(yīng)用舉例

本節(jié)以m=6為例，討論mSm模型及互易定理在零和御磁技術(shù)中的應(yīng)用，6S6模型的示意圖如圖5所示.

將6個(gè)S6結(jié)構(gòu)的OCT按照6S6模型布置，即:將6個(gè)S6結(jié)構(gòu)的OCT布置于正六角形的6個(gè)頂點(diǎn)，各個(gè)頂點(diǎn)與S6模型OCT的中心重合，調(diào)整各個(gè)OCT的安裝角度使其滿足定理2，從而構(gòu)成6S6結(jié)構(gòu)的OCT組合.下面分析6S6模型的零和御磁問(wèn)題.

圖5 6S6模型

將6個(gè)待測(cè)電流ij(j=1，2，…，6)分別布置于6個(gè)S6結(jié)構(gòu)OCT的中心，則對(duì)于任意一個(gè)S6結(jié)構(gòu)OCT而言，其他5個(gè)電流都是干擾電流，但是這5個(gè)干擾電流都位于它的零和P線上.以S61為例，i1為待測(cè)電流，其他電流為干擾電流，則S61對(duì)待測(cè)電流i1產(chǎn)生磁場(chǎng)B1的積分結(jié)果為

對(duì)干擾電流ij(j=2，3，4，5，6)產(chǎn)生磁場(chǎng)Bj的積分結(jié)果為

由式(31)、(32)可見(jiàn)，干擾電流ij產(chǎn)生的磁場(chǎng)Bj對(duì)S61的測(cè)量結(jié)果沒(méi)有貢獻(xiàn)，這意味著干擾電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)雖然可以通過(guò)OCT的內(nèi)部但完全失去了干擾作用，采用零和御磁技術(shù)設(shè)計(jì)的OCT可以實(shí)現(xiàn)對(duì)待測(cè)電流i1的無(wú)干擾測(cè)量.同理可知，該結(jié)論對(duì)于S6j(j=2，3，4，5，6)同樣成立，此處不再贅述.

mSm模型適用于對(duì)多個(gè)電流進(jìn)行測(cè)量且各個(gè)待測(cè)電流互為干擾電流的情況.

4 拓展模型

定義3拓展Sm模型.若端點(diǎn)位置不變，無(wú)論有向線段lk(k=1，2，…，m)形狀如何，都屬Sm模型，也稱為拓展Sm模型.

本定義意味著Sm模型的有向線段可以是直線、圓弧和任意曲線，如圖6所示.

定義4拓展mSm模型.拓展Sm對(duì)應(yīng)的mSm為拓展mSm模型.

磁場(chǎng)積分只依賴線段兩端向P點(diǎn)張開(kāi)的角度，因此拓展Sm模型和拓展mSm模型完全遵守零和定理以及互易定理.

圖6 拓展Sm模型

5 結(jié)論

1)分析了直通光路型光學(xué)電流互感器抗外磁場(chǎng)干擾能力差的根本原因，提出了一種零和御磁技術(shù)解決方法.若離散環(huán)路外P點(diǎn)的張角之和為零，則離散環(huán)路的磁場(chǎng)積分與安培環(huán)路定律具有類(lèi)似形式，這就是離散安培環(huán)路定律.

2)研究了正多邊離散環(huán)路Sm模型和Sm正對(duì)稱分布的mSm模型，提出了關(guān)于離散環(huán)路磁場(chǎng)積分的兩個(gè)重要定理:零和定理和互易定理.零和定理的實(shí)質(zhì)是Sm模型下的離散安培環(huán)路定律;互易定理表達(dá)mSm模型中所有Sm共同遵守離散安培環(huán)路定律之條件.分析結(jié)果表明，光學(xué)電流互感器按照兩個(gè)定理設(shè)計(jì)時(shí)，干擾電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)可以進(jìn)入光學(xué)電流互感器內(nèi)部但失去干擾作用.

3)零和定理和互易定理形成了正多邊離散環(huán)路磁場(chǎng)積分理論體系，是光學(xué)電流互感器的零和御磁技術(shù)的重要理論基礎(chǔ)，為解決直通光路型光學(xué)電流互感器的抗外磁場(chǎng)干擾技術(shù)難題提供了有益的思路.

［1］Emerging Technologies Working Group.Optic current transducer for power systems:a review［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，1994，9(4):1778-1788.

［2］KUCUKSARI S，KARADY G G.Experimental comparison of conventional and optical current transformers［J］.IEEE Transactions on Power Delivery，2010，25(4):2455-2463.

［3］張國(guó)慶.光學(xué)電流互感器的理論與實(shí)用化研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2005.

［4］于文斌.光學(xué)電流互感器光強(qiáng)的溫度特性研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2005.

［5］陳金玲，李紅斌，劉延冰，等.一種提高光學(xué)電流互感器溫度穩(wěn)定性的新方法［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，24(4):97-101.

［6］王佳穎，郭志忠，張國(guó)慶，等.光學(xué)電流互感器長(zhǎng)期運(yùn)行穩(wěn)定性的試驗(yàn)研究［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2012，36(6):37-41.

［7］孫如京，王紅星，于文斌，等.自愈光學(xué)電流互感器技術(shù)及其工程應(yīng)用［J］.廣東電力，2012，25(1):100-104.

［8］馮慈璋.電磁場(chǎng)［M］.北京:高等教育出版社，2011.

［9］NIEWCZAS P，MADDEN W I，MICHIE W C，et al.Magnetic crosstalk compensation for an optical current transducer［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2001，50(5):1071-1075.

［10］李紅斌，陳慶，劉延冰，等.相間磁干擾對(duì)點(diǎn)式光學(xué)電流互感器影響的研究［J］.傳感器技術(shù)，2004，23(4):16-18.

［11］PERCIANTE C D，F(xiàn)ERRARI J A.Magnetic crosstalk minimization in optical current sensors［J］.IEEE Transaction son Instrumentation and Measurement，2008，57(10):2304-2308.

［12］路忠峰.御磁技術(shù)及其在光學(xué)電流傳感器中的應(yīng)用研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2008.

［13］路忠峰，郭志忠.磁場(chǎng)環(huán)路積分的等價(jià)解環(huán)［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，40(11):1781-1784.

［14］于文斌，張國(guó)慶，路忠峰，等.光學(xué)電流互感器的抗干擾分析［J］.電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2012，40(12):8-12.