吳振東，王 青，董朝陽，李 瑋

(1.北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，100191北京;2.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，100191北京)

由于高超聲速飛行器的飛行包線跨度大，在工作包線內(nèi)呈現(xiàn)出復(fù)雜的時變非線性特點，給其控制系統(tǒng)設(shè)計帶來很大的挑戰(zhàn).針對飛行器的大包線控制問題，工程上常采用增益調(diào)度方法設(shè)計控制器［1］，設(shè)計過程簡單，簡化了控制器的設(shè)計與實現(xiàn)，在高超聲速飛行器X-43A的試飛過程中采用了此方法［2］.但是該設(shè)計方法控制器參數(shù)按開環(huán)方式改變，閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性難以從理論上獲得保證.

為了彌補(bǔ)增益調(diào)度設(shè)計方法的不足，近年來學(xué)者將切換系統(tǒng)理論應(yīng)用于高超聲速飛行器大包線飛行的控制器設(shè)計中［3-5］.文獻(xiàn)［3］設(shè)計了大包線自適應(yīng)切換控制器，分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，解決了高超聲速飛行器巡航段大包線飛行控制問題;文獻(xiàn)［4］給出了基于間隙度量的大包線切換LPV控制方法，設(shè)計了各子區(qū)域的LPV控制器，分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.以上文獻(xiàn)均保證了大包線飛行控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且優(yōu)化了控制器切換的過渡過程，一定程度實現(xiàn)平滑切換，卻難以從根本上消除控制切換帶來的輸出跳躍.Hou以切換多胞系統(tǒng)描述大包線飛行動態(tài)，給出了確保飛行包線范圍漸近穩(wěn)定的控制器插值方法，從根本上克服了傳統(tǒng)切換控制的跳躍問題［5］.此外，現(xiàn)有的切換多胞系統(tǒng)大多依賴于公共Lyapunov函數(shù)方法實現(xiàn)對控制系統(tǒng)的分析與綜合［4-5］，要求多胞的每個頂點和整個多胞區(qū)域內(nèi)都存在一個公共的Lyapunov矩陣函數(shù)，具有較大的保守性.本文針對上述問題，將高超聲速飛行器包線范圍內(nèi)的飛行動態(tài)建模為切換多胞系統(tǒng)，采用基于參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)與平均駐留時間方法給出包線范圍漸近穩(wěn)定的條件，設(shè)計了確保多胞系統(tǒng)在參數(shù)任意快變下穩(wěn)定的反饋控制器，所得控制器能夠在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，克服切換控制器的輸出跳躍現(xiàn)象，并降低了系統(tǒng)分析與設(shè)計的保守性.

1 高超聲速飛行器切換多胞系統(tǒng)建模

以高超聲速飛行器［6］的縱向飛行動態(tài)為例，不失一般性，僅考慮飛行器的縱向短周期運動，假定每一個工作點處的縱向短周期線性模型可以表征工作點附近的飛行動態(tài).設(shè)飛行包線內(nèi)N個工作點所對應(yīng)的動力學(xué)系統(tǒng)描述為

其中:x(t)=［αq］T為系統(tǒng)狀態(tài)，α，q分別為迎角和俯仰角速率，u(t)=[ξeη]T為控制輸入，ξe為升降舵偏轉(zhuǎn)角，η為節(jié)流閥調(diào)定指令，Ai、Bi分別為飛行包線內(nèi)第i個工作點的系統(tǒng)矩陣和控制輸入矩陣，i為工作點標(biāo)號.

采用切換多胞系統(tǒng)建立高超聲速飛行器包線內(nèi)的飛行動力學(xué)模型過程是將整個包線內(nèi)的工作點根據(jù)調(diào)度變量(如馬赫數(shù)和高度等)劃分為不同的組，每組對應(yīng)包線內(nèi)的一個區(qū)域，以每一區(qū)域建模為一個多胞系統(tǒng)，系統(tǒng)的頂點即為該區(qū)域內(nèi)的工作點，頂點的動態(tài)特性由工作點處的線性小擾動方程表征，多胞系統(tǒng)內(nèi)部的飛行動態(tài)通過頂點系統(tǒng)動態(tài)的線性加權(quán)獲得，則該區(qū)域內(nèi)的飛行動力學(xué)特性由該多胞系統(tǒng)近似描述;然后將各飛行區(qū)域視為一個獨立的多胞子系統(tǒng)，將飛行軌跡在相鄰多胞子系統(tǒng)間的穿越視為子系統(tǒng)間的切換，則整個飛行包線內(nèi)的飛行動力學(xué)可用一個切換多胞系統(tǒng)描述.其中，每個多胞子系統(tǒng)的工作點選取原則是使多胞系統(tǒng)的工作點狀態(tài)空間模型相差盡量小，這樣有利于性能品質(zhì)的提高，因為若將多個模型相差較大的工作點劃分在同一區(qū)域，設(shè)計控制系統(tǒng)會因為魯棒性的要求而犧牲指標(biāo)性能，常用的工作點選取方法可采用奇異值判定方法和間隙度量方法［4］.

需要注意的是，為保證得到的多胞子系統(tǒng)可完整地覆蓋整個飛行包線，相鄰的多胞子系統(tǒng)需要滿足局部重疊的特性［7］，即相鄰的多胞子系統(tǒng)需包含公共的工作點.

基于切換多胞系統(tǒng)建立飛行器包線內(nèi)的飛行動力學(xué)模型過程可以圖1為例簡單說明.考慮高超聲速飛行器的再入高度變化從25 km到40 km，馬赫數(shù)變化從16到14，此包線飛行動態(tài)可以由18個工作點處的模型包絡(luò)，根據(jù)馬赫數(shù)的變化劃分成3組，得到3個飛行區(qū)域，建立相應(yīng)3個多胞子系統(tǒng);工作點5～8為多胞子系統(tǒng)1和2包含的公共工作點，工作點12～14為多胞子系統(tǒng)2和3包含的公共工作點，保證此3個多胞子系統(tǒng)可覆蓋整個飛行包線，且當(dāng)飛行軌跡穿越相鄰多胞子系統(tǒng)間的邊界時，將其視作飛行動力學(xué)多胞系統(tǒng)模型的切換，則整個飛行包線的飛行動力學(xué)可采用切換多胞系統(tǒng)描述.

圖1 高超聲速飛行器的切換多胞系統(tǒng)建模示意圖

根據(jù)上述的切換多胞系統(tǒng)建模方法，將整個工作點模型集劃分為k個子集，相應(yīng)地，工作點標(biāo)號全集Ω被劃分為子集Ω1，Ω2，…，Ωk.飛行包線內(nèi)的高超聲速飛行器的飛行動態(tài)采用不確定性切換多胞系統(tǒng)描述為

式中:σ(t)∈［0，+∞)→Ω={1，2，…，k}為切換律，表征飛行器工作區(qū)域隨時間變化規(guī)律;j∈S，S={1，2，…，k}為切換律的索引集;k為飛行包線內(nèi)多胞子系統(tǒng)的個數(shù);j為工作點所在工作區(qū)域的標(biāo)號，子系統(tǒng)Ωj要滿足多胞系統(tǒng)模型對飛行器所有工作點完全覆蓋的條件Ωj=Ω，且要保證相鄰的多胞子系統(tǒng)間的公共子系統(tǒng)滿足=Ωj∩Ωj+1≠?.

由于鄰近的兩個多胞子系統(tǒng)公共邊界上的飛行動力學(xué)僅由多胞子系統(tǒng)公共設(shè)計點的飛行動力學(xué)得到，因此，切換多胞系統(tǒng)的切換不會引起系統(tǒng)矩陣參數(shù)不連續(xù)的變化，即對于整個飛行包線來說，F(xiàn)σ(t)和Gσ(t)是連續(xù)變化的.

飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計任務(wù)是實現(xiàn)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和對給定指令信號的跟蹤控制，針對高超聲速飛行器的切換多胞系統(tǒng)(2)，設(shè)計控制器為

式中:Kj(t)、Kri(t)分別為控制器中的反饋控制律和前饋控制律，r(t)為給定的指令信號.

2 控制器設(shè)計和穩(wěn)定性分析

定義1 對切換多胞系統(tǒng)(2)的切換信號σ(t)，令 ΔT＞0為公共子系統(tǒng)工作總時間，Nσ(ΔT)為ΔT內(nèi)的切換次數(shù).若存在N0≥0，τa＞0，使得成立，則稱 τa為平均駐留時間，下文中以 T［τa，N0］表示滿足平均駐留時間的切換律集合.

針對切換多胞系統(tǒng)(2)中的單個多胞子系統(tǒng)，給出如下穩(wěn)定性引理.

引理1［8］多胞線性系統(tǒng)(2)的自治多胞子系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充分條件為存在正定矩陣Pi(i∈Ωj)及適維矩陣Yi滿足矩陣不等式

引理1通過引入松弛變量Yi，使得矩陣不等式中不再出現(xiàn)正定矩陣與系統(tǒng)矩陣的乘積項，降低了反饋控制綜合問題的求解難度［9］.式(5)矩陣不等式中的*表示矩陣中元素所在位置對稱塊的轉(zhuǎn)置，下文中與此表示的意義一致.

定理1 對于切換多胞系統(tǒng)(2)，若多胞子系統(tǒng)的頂點，存在矩陣Pi(i∈Ωj)，適維矩陣Ui及Vi滿足

且切換多胞系統(tǒng)切換律σ(t)∈T［τa，N0］滿足平均駐留時間τa約束

式中:ρmax(·)，ρmin(·)分別為矩陣的最大奇異值和最小奇異值，λmin(·)為最小特征根，Qij由公共子系統(tǒng)工作點求取.則控制器(4)中鎮(zhèn)定反饋控制器Kj(t)的參數(shù)選取為

可保證對任意切換律σ'(t)∈T［τa，N0］，閉環(huán)切換多胞系統(tǒng)在零輸入情況下漸近穩(wěn)定.其中，(t)是(t)的M-P偽逆.

證明 設(shè)存在正定矩陣(i∈Ωj)，適維矩陣Ui及Vi滿足線性矩陣不等式組(6)，下面首先證明式(9)給出的控制器增益矩陣使得切換多胞系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定.

由式Ui+UTi＞0，可知Ui可逆，則式(9)中矩陣Ki的存在性顯然.用diag{Ui-1，Ui-1，Ui-1}對式(6)進(jìn)行全等變換可得

假設(shè)第p和q個多胞子系統(tǒng)間的公共子系統(tǒng)工作時長為t*，則有

其中:

將式(14)代入式(13)，有

結(jié)合式(15)和式(16)，可得

以t1，t2，…，tNσ(ΔT)分別表示各公共子系統(tǒng)相繼激活時刻，且各子系統(tǒng)工作時間分別為Δt1，Δt2，…，ΔtNσ(ΔT)，顯然，ΔT=Δt1+Δt2+…+ΔtNσ(ΔT).將多胞公共子系統(tǒng)從1到Nσ(ΔT)重復(fù)，如式(13)的推導(dǎo)方式，并結(jié)合式(17)，有

由式(7)可知

也即當(dāng)ΔT→+∞時，必然存在ΔT*＞0使得下式成立.

由上式可知多胞子系統(tǒng)之間切換時Lyapunov函數(shù)值單調(diào)遞減，同時，考慮到任意多胞系統(tǒng)在子切換律作用下Lyapunov函數(shù)值遞減，因此，切換多胞系統(tǒng)(2)在切換律σ(t)∈T［τa，N0］作用下全局漸近穩(wěn)定.

文獻(xiàn)［5］中對P作了較為苛刻的限制，要求多胞子系統(tǒng)的每個頂點(即整個多胞系統(tǒng))都存在一個共同的Lyapunov函數(shù)矩陣P，因而具有較大的保守性，而定理1要求對于切換多胞子系統(tǒng)的頂點i，可以存在不同的正定矩陣Pi滿足式(6)，即相對而言，定理1具備更低的保守性.

定理1中式(8)所示控制器Kj(t)的形式可視為對區(qū)域內(nèi)邊界工作點的狀態(tài)反饋增益陣插值，需要實時獲得σ(t)和α(t).這在實際飛行中很容易實現(xiàn)，將所有工作點處的高度和馬赫數(shù)以數(shù)據(jù)表的形式裝訂至控制器，傳感器實時測量高度和馬赫數(shù)，控制器通過查表和插值方式獲得權(quán)值向量σ(t)和α(t)，由于飛行器動態(tài)在飛行區(qū)域內(nèi)部及飛行區(qū)域間變化的連續(xù)性，即α(t)的連續(xù)性，保證了控制器插值的連續(xù)性，進(jìn)而確保了控制器輸出不會發(fā)生跳變.

為了使系統(tǒng)的輸出y(t)跟蹤有界分段連續(xù)的參考指令信號r(t)，控制器(4)中前饋控制律Krj(t)參數(shù)選取為

式中:C為系統(tǒng)輸出矩陣.在系統(tǒng)鎮(zhèn)定的情況下，按式(21)設(shè)計的前饋控制律Krj(t)可以實現(xiàn)對給定指令信號r(t)的無差跟蹤［10］.

3 仿真驗證

為驗證本文方法的有效性，采用文獻(xiàn)［6］的高超聲速飛行器模型，大包線內(nèi)控制器的綜合以包線內(nèi)18個工作點為基礎(chǔ)，如圖1所示，所選擇的工作點以馬赫數(shù)和高度為調(diào)度變量，各工作點的平衡條件見表1.

表1 高超聲速飛行器飛行包線范圍內(nèi)的工作點

根據(jù)前述的切換多胞系統(tǒng)建模方法，飛行包線內(nèi)所選擇的18個工作點可根據(jù)馬赫數(shù)分成3組，即建模為3個多胞子系統(tǒng)，各多胞子系統(tǒng)包含的工作點為

由定理1獲得切換多胞系統(tǒng)的各工作點控制器增益Ki如表2所示，對于每一個多胞子系統(tǒng)，子狀態(tài)反饋控制器Kj(t)采用式(8)進(jìn)行插值，前饋控制律Krj(t)依據(jù)式(21)進(jìn)行計算，給定C為單位陣.以包線內(nèi)Ma∈［14.5，15)，H∈［29，36.5)的飛行區(qū)域說明狀態(tài)反饋控制器Kj(t)的插值過程:在此飛行區(qū)域內(nèi)，子控制器的鎮(zhèn)定反饋控制增益通過設(shè)計點5、8、9和11上的4個反饋控制增益K5，K8，K9，K11進(jìn)行插值得到，對于該飛行域內(nèi)的某一特定的高度hx和馬赫數(shù)Max，插值得到的鎮(zhèn)定反饋控制增益K為

表2 工作點處的控制器增益

不失一般性，考慮高超聲速飛行器的工作點變化軌跡17—14—10—6—2，可見在工作點14、6處發(fā)生多胞切換，仿真結(jié)果如圖2、3所示.

由仿真結(jié)果可知，本文方法可以很好跟蹤參考信號，升降舵偏角處于安全工作范圍，體現(xiàn)了控制器良好的性能，與未考慮平滑切換相比，在工作點切換時刻無控制器輸出跳躍現(xiàn)象.在控制器設(shè)計保守性方面，采用文獻(xiàn)［5］的模型，在飛行器工作點區(qū)域劃分等初始條件相同的情況下，依定理1計算可得切換多胞系統(tǒng)平均駐留時間下限為2.332 7 s，低于文獻(xiàn)［5］的6.937 8 s，該結(jié)果表明定理1具有較低的設(shè)計保守性.

4 結(jié)論

1)提出一種基于切換多胞系統(tǒng)的高超聲速飛行器魯棒鎮(zhèn)定控制方法.針對飛行器大包線飛行參數(shù)時變的鎮(zhèn)定與穩(wěn)定性分析問題，將高超聲速飛行器包線范圍內(nèi)的飛行動態(tài)建模為切換多胞系統(tǒng)，采用基于參數(shù)依賴Lyapunov函數(shù)與平均駐留時間方法給出包線范圍漸近穩(wěn)定的條件，設(shè)計了確保多胞系統(tǒng)在參數(shù)任意快變下穩(wěn)定的控制器.

2)仿真結(jié)果表明，提出的控制器既能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定，又克服了切換控制器的控制量跳躍現(xiàn)象，并降低了系統(tǒng)分析與設(shè)計的保守性.

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