朱婷婷，李春芳

（中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

1 引言

圖像重建是光學(xué)CT技術(shù)的核心內(nèi)容。在CT應(yīng)用中，先是已知待測(cè)圖像在幾個(gè)方向上的投影，然后由這些投影數(shù)據(jù)重建出該圖像。常用的算法主要有代數(shù)迭代法（ART）、濾波反投影（FBP）、最大熵法等。這些算法在投影數(shù)據(jù)比較多的情況下重建結(jié)果還比較理想，但在投影方向受限（如4～5個(gè)）的情況下，重建精度就很低[1，2]。

針對(duì)稀疏視角不完全投影圖像重建的特點(diǎn)和難點(diǎn)，本文利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有處理高維高度非線性和不確定問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像重建方法。該方法充分利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有強(qiáng)大的自適應(yīng)學(xué)習(xí)和聯(lián)想綜合能力，故而可以實(shí)現(xiàn)所需的由已知投影值的視角區(qū)域到未知視角區(qū)域的彌補(bǔ)[3]，并且選用最簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和有效的學(xué)習(xí)樣本，從而在有限的條件下更有效地重建出高質(zhì)量的圖像。

2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的圖像重建

2.1 BP網(wǎng)絡(luò)模型及權(quán)值初始化

在各類(lèi)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種算法成熟且易于實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)類(lèi)型。本文選用三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即包含輸入層、隱含層和輸出層。

其中，輸入層和輸出層分別對(duì)應(yīng)原始圖像和重建圖像的投影數(shù)據(jù)，神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為投影數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。隱含層代表重建圖像，神經(jīng)元的個(gè)數(shù)為重建圖像像素的個(gè)數(shù)[4]。在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中，輸入層至隱含層的權(quán)值W隨誤差的反向傳播不斷調(diào)整，隱含層至輸出層的權(quán)值M在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練前事先初始化，并保持不變。根據(jù)CT圖像重建理論，隱含層和輸出層神經(jīng)元之間的權(quán)值即為第i條投影射線穿過(guò)第j個(gè)像素的長(zhǎng)度ri，j，故權(quán)值矩陣M即為投影系數(shù)矩陣R。筆者采用文獻(xiàn)[5]新方法求取投影系數(shù)矩陣，從而確定權(quán)值矩陣M。

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的改進(jìn)

2.2.1 改進(jìn)Sigmoid函數(shù)

在確定網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之后，總的誤差函數(shù)E就由傳遞函數(shù)f給定，因此Sigmoid函數(shù)用于梯度學(xué)習(xí)，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)收斂具有十分重要的意義。實(shí)驗(yàn)表明：標(biāo)準(zhǔn)形式的Sigmoid函數(shù)不利于網(wǎng)絡(luò)的收斂。為了解決這個(gè)問(wèn)題，采用以下形式的Sigmoid函數(shù)[6]：

其中，β的作用是調(diào)節(jié)Sigmoid函數(shù)的形狀。較大的β值使Sigmoid函數(shù)逼近線性閾值函數(shù)，而較小的β值將導(dǎo)致一個(gè)變化較為平坦的Sigmoid函數(shù)。在相同的初始條件下，通過(guò)調(diào)整β值，可尋求一個(gè)最佳形狀的Sigmoid函數(shù)，使網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)次數(shù)達(dá)到最小。

經(jīng)過(guò)多次選取不同的β值實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)β取較大值（大于0.1）時(shí)，網(wǎng)絡(luò)趨向于產(chǎn)生輸出的分類(lèi)，收斂效果很不好，重建圖像誤差很大；當(dāng)β取較小值時(shí)，網(wǎng)絡(luò)收斂效果較好，重建圖像誤差大大減小。通過(guò)對(duì)比選取不同β值的重建效果，本文最終選定β＝0.045。

2.2.2 在線調(diào)整學(xué)習(xí)速率

對(duì)于一個(gè)特定的問(wèn)題，要選擇適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)速率不是件容易的事情，通常是憑借經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)獲取。況且，對(duì)訓(xùn)練初期效果好的學(xué)習(xí)速率，并不一定就對(duì)后來(lái)的訓(xùn)練合適，故最佳方法是能根據(jù)訓(xùn)練的需要自動(dòng)調(diào)整學(xué)習(xí)速率的大小。即當(dāng)誤差降低時(shí)，可適當(dāng)增大學(xué)習(xí)速率，加速網(wǎng)絡(luò)收斂，如誤差增大，說(shuō)明產(chǎn)生了過(guò)調(diào)，就應(yīng)當(dāng)減小學(xué)習(xí)速率。下式給出了一種在線自適應(yīng)調(diào)整學(xué)習(xí)速率的經(jīng)驗(yàn)公式，其中，lr為學(xué)習(xí)速率，E為均方誤差：

學(xué)習(xí)速率對(duì)收斂速度的影響很大，通過(guò)對(duì)它的在線調(diào)整，可以大大提高收斂速度。

2.3 網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過(guò)程

令ai為輸入層第i個(gè)神經(jīng)元的輸出，Wji為神經(jīng)元i與神經(jīng)元j之間的連接權(quán)值，則隱含層神經(jīng)元j的輸出yj為：

uj為隱含層第j個(gè)神經(jīng)元的輸入。則輸出層第k個(gè)神經(jīng)元的輸出為：

BP算法的基本原理是采用梯度下降法使權(quán)值的改變總是朝著誤差減小的方向，最終達(dá)到最小誤差。則輸入層與隱含層之間的權(quán)值修正公式為[7]：

2.4 BP網(wǎng)絡(luò)重建圖像步驟

（1）初始化網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值。計(jì)算投影系數(shù)矩陣R，確定隱含層和輸出層之間的連接權(quán)值，并將輸入層和隱含層之間的權(quán)值初始化為（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)。

（2）確定網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出。將原始圖像在確定角度下的投影數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)輸入，網(wǎng)絡(luò)輸出數(shù)據(jù)和輸入數(shù)據(jù)相同。

（3）計(jì)算隱含層輸出。根據(jù)Sigmoid傳遞函數(shù)計(jì)算隱含層每個(gè)神經(jīng)元的輸出。

（4）計(jì)算輸出層實(shí)際輸出。根據(jù)已確定的權(quán)值計(jì)算輸出層的實(shí)際輸出。

（5）計(jì)算誤差，調(diào)整權(quán)值。利用式（8）調(diào)整權(quán)值的大小。

（6）判斷網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練終止條件。當(dāng)誤差小于預(yù)設(shè)精度或?qū)W習(xí)次數(shù)達(dá)到設(shè)定的最大次數(shù)時(shí)，算法終止，否則返回第3步，進(jìn)入下一輪學(xué)習(xí)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文選擇Sheep－Logan模型并使用 Matlab7.8.0編程進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬重建。待重建圖像大小為20×20，采用5個(gè)角度方向上的投影（9°，45°，81°，117°，153°），分別利用改進(jìn)前后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)模型進(jìn)行重建，重建結(jié)果如圖1所示。

通過(guò)仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，傳遞函數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的收斂有很大的影響，通過(guò)在線調(diào)整學(xué)習(xí)速率雖然增加了網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算量，但仍能有效地加快網(wǎng)絡(luò)收斂，提高收斂精度。如表1所示，其中，和eave和emax分別表示重建圖像的平均誤差和最大誤差，t表示網(wǎng)絡(luò)收斂時(shí)間。由圖1可以看出，網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)后，圖像的重建精度有了很大提高。

表1 不同情況下圖像重建結(jié)果

圖1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)語(yǔ)

圖像重建是光學(xué)CT技術(shù)的核心內(nèi)容，重建圖像質(zhì)量和重建時(shí)間是圖像重建的關(guān)鍵要素。本文利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了對(duì)不完全投影數(shù)據(jù)的圖像重建，并通過(guò)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行改進(jìn)，顯著縮短了重建時(shí)間，提高了重建精度。因此，本文提出的方法對(duì)于不完全投影數(shù)據(jù)重建提供了一個(gè)有效的解決方案。后續(xù)可以繼續(xù)對(duì)重建圖像做進(jìn)一步處理，如進(jìn)行分塊重建、重建后加中值濾波等。另外，對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的改進(jìn)可以從不同的角度出發(fā)，本文只做了部分改進(jìn)，今后的研究可以朝著進(jìn)一步改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方向進(jìn)行。

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[7]Nakao Z，Ali F E A F，Chen Yenwei.CT image reconstruction byback propagation[C].First International Conference on Knowledge－Based Intelligent Electronic Systems.Adelaide，Australia，1997.