●韓慶文 (滕州市第一中學(xué) 山東滕州 277500)

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教A版)《數(shù)學(xué)》必修5習(xí)題3.4中的B組第2題如下：

題目如圖1，樹頂 A離地面a m，樹上另一點(diǎn) B離地面b m，在離地面c m的C處看此樹，離此樹多遠(yuǎn)時(shí)看A，B的視角最大?

分析由于在C處看A，B的視角為∠ACB，對(duì)于這一問題我們既可以從幾何的角度審視，也可以從代數(shù)的角度審視.

圖1

從平面幾何的角度考慮，可以借助于圓的有關(guān)性質(zhì).

視角1 如圖2，過點(diǎn)C垂直于AB的直線記為DE(D為垂足).當(dāng)DE與過點(diǎn)A，B的圓相切時(shí)，切點(diǎn)記為C，此時(shí)∠ACB=∠α最大.

事實(shí)上，觀察圖2，易得無論點(diǎn)C是前行還是后退到點(diǎn)C'，過點(diǎn)A，B，C'的圓必與直線DE相交，此時(shí)∠AC'B必小于圓內(nèi)的∠α.當(dāng)DE與過點(diǎn)A，B，C的圓相切且切點(diǎn)為C時(shí)，由切割線定理得

圖2

視角2 (借助于兩角差的正切公式求tan∠ACB的最大值)

圖3

視角3 (借助于正弦定理求sin∠ACB的最大值)

由視角2可得

視角4 (借助于余弦定理求cos∠ACB的最小值)

由視角2可得

又AB=a-b，在△ABC中，由余弦定理得