周 均

（長江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，中國 重慶408100）

0 引言

不定積分的計(jì)算是微積分教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，讓學(xué)生掌握不定積分的計(jì)算方法，由于分部積分法具有復(fù)雜性和靈活性，因此讓學(xué)生更透徹地掌握這種方法的實(shí)質(zhì)、思路，形成解題策略，對提高學(xué)生的觀察問題、分析問題的能力極其重要。筆者在近幾年的教學(xué)中，對分部積分法的規(guī)律作了一些比較簡單的總結(jié)，形成本文。

1 方法的分析

無論分部積分法有多么復(fù)雜和靈活，通過分析發(fā)現(xiàn)也有其獨(dú)特的規(guī)律，即從大的方面來說，分部積分法的中心問題是解決兩類函數(shù)的乘積的積分，其基本的思路是把一個(gè)積分分為兩個(gè)部分（函數(shù)）的積分，其一是由V′求V，這是一個(gè)理論意義上的積分（無積分符號），其二是我們面對積分的關(guān)鍵是如何確定′確定的標(biāo)準(zhǔn)是前面提到的兩個(gè)積分容易求得，即把求積分轉(zhuǎn)化為求易求的積分根據(jù)這一要求很容易觀察出被積函數(shù)的形式（或結(jié)構(gòu)），根據(jù)觀察在教學(xué)中將分部積分法用較簡潔的語言概括為“三多選多”、“指多選多”、“代反選反”、“代對選對”、“指弦任選” 等五種方法。

1.1 “三多選多”，“指多選多”

這里的“三”指三角函數(shù)的正余弦，“指”指指數(shù)函數(shù)，“多”指的是多項(xiàng)式函數(shù)，即正整指數(shù)冪函數(shù)，“三多選多”、“指多選多”指正余弦、指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式在一起的積分選多項(xiàng)式函數(shù)為U（以后指的“選”就是指選擇為U），正余弦、指數(shù)函數(shù)為V′的計(jì)算方法。如應(yīng)用一次分部積分法選擇為 V′時(shí)，由求 V 就比較簡單，同時(shí)在使用分部積分法后的積分多項(xiàng)式的次數(shù)降低了一次，這樣反復(fù)應(yīng)用同一選擇方法的分部積分法，最后，使多項(xiàng)式降低為零次，使積分變?yōu)橹挥幸活惡瘮?shù)積分顯然積分簡單容易了。

解：根據(jù)上面的分析原積分

類似地，“指多選多”有如下例子

1.2 “代對選對”， “代反選反”

這里的“代”指代數(shù)函數(shù)（如冪函數(shù)、根式函數(shù)、有理函數(shù)），“對”對數(shù)函數(shù)的簡稱，“反”指反三角函數(shù)。即代數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積的積分，選擇對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)為U，因?yàn)槭褂靡淮畏植糠e分法后，對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為代數(shù)函數(shù)，即積分 ∫U′Vdx只為一類函數(shù)（代數(shù)函數(shù)）的積分如：這個(gè)積分是有理函數(shù)積分，顯然易于計(jì)算。

1.3 “指弦任選”

“指”同1.2是指數(shù)函數(shù)的簡稱。這兩個(gè)函數(shù)都是超越函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)和積分都不會改變函數(shù)的類型，因此使用分部積分法時(shí)可以任選其中其一為U，兩次使用分部積分循環(huán)后計(jì)算得到結(jié)果。如：

顯然①中兩次使用分部積分法時(shí)都選的U=ex,②中兩次使用分部積分法時(shí)都選的U為正、余弦，即指弦任選都能殊途同歸，使積分回到積分這里值得注意的是兩次使用分部積分法及兩次選擇的U都必須是同一類函數(shù)，否則如下：

第一次選擇U=ex，第二次選擇U=sin x，會產(chǎn)生循環(huán)計(jì)算，不能求出積分（事實(shí)上，前面的四種積分多次使用分部積分法時(shí)也應(yīng)用注意這一點(diǎn)）。

2 人文價(jià)值和認(rèn)知心理學(xué)價(jià)值分析

通過以上分析，不難發(fā)現(xiàn)，一方面，我們用如詩歌一般的語句對每一種具體方法進(jìn)行了歸納表述，使得方法簡潔明了，并將各語句賦予了特定的涵義，將深抽象的數(shù)學(xué)思想和方法用簡潔的語言進(jìn)行了表征，而且進(jìn)行了分類，只要學(xué)生理解其涵義后，形成有意義的知識組塊，既有利于知識的理解，又有利于方法的掌握。這既是符合認(rèn)知心理學(xué)的有意義學(xué)習(xí)，又是數(shù)學(xué)教學(xué)中的人文價(jià)值之所在，同時(shí)還容易形成認(rèn)知心理學(xué)所倡導(dǎo)的解題策略。另一方面，通過對照前面1.1與1.2發(fā)現(xiàn)，好象這兩組方法選擇U的方法好象相反，似乎是相矛盾的，同時(shí)又統(tǒng)一于整體的分部積分法之中，從分部積分法的總的思路中可看出有潛在的積分V′求V，同時(shí)有導(dǎo)數(shù)如這樣將不能求的積分轉(zhuǎn)化為易求的積分，這正與《周易》的“相生相克，宏微顯生”“易，窮則變，變則通，通則久”等觀點(diǎn)有異曲同工之妙。事實(shí)上，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中有很多地方就有數(shù)學(xué)文化或數(shù)學(xué)人文精神，要對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化或數(shù)學(xué)人文精神的教育關(guān)鍵是在數(shù)學(xué)教師如何深刻理解數(shù)學(xué)文化，如何充分挖掘教材的潛力，創(chuàng)造性地進(jìn)行數(shù)學(xué)人文教育。

［1］陳傳璋,等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,1983,7.

［2］四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社,1994,4.

［3］文衛(wèi)星,等.數(shù)學(xué)人文精神之我見[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2002(4).

［4］張奠寅.中學(xué)教材中的“數(shù)學(xué)文化”內(nèi)容舉例[J]數(shù)學(xué)教學(xué),2002（4）.

［5］張慶林.當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)在教學(xué)中的應(yīng)用[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社,1995,12.

［6］張慶林.高效率教學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2002,3.

［7］鄭萬耕,等.周易與現(xiàn)代文化[M].中國廣播電視出版社，1997,8.