陳媛

（湖北大學數(shù)學與計算機科學學院，湖北 武漢430062）

0 引言及預備知識

2008 年，Ardizzoni等人在非交換幾何的研究中發(fā)現(xiàn)并引入了模-相對Hochschild（上）同調(diào)［1］.這一概念在非交換代數(shù)幾何中扮演著重要角色，它給出了可分雙模以及形式光滑雙模的一種刻劃.在非交換且相對的情形下，可分雙?？煽闯墒屈c叢，即相對上同調(diào)維數(shù)為零的對象；而形式光滑雙模則可看成是曲線叢，即相對上同調(diào)維數(shù)小于或等于1的對象.De La Pe?a等［2］證明了，當φ：C→B是代數(shù)的同調(diào)滿同態(tài)時，B和C的通常的Hochschild上同調(diào)群之間存在一個長正和列.本文中旨在探討代數(shù)滿同態(tài)下，B和C的模-相對Hochschild（上）同調(diào)之間的本質(zhì)聯(lián)系.

首先規(guī)定一些記號.代數(shù)指的都是含單位元的結(jié)合代數(shù).用BR，RA和ARB分別表示左B-模范疇、右A-模范疇以及A-B-雙模范疇，BMA表示M是B-A-雙模.

設(shè)R是交換環(huán)，A和B是R-代數(shù)，Ae＝A?RAop表示A的包絡(luò)代數(shù).給定雙模BMA，考慮伴隨函子：

如下由ΗΒ-相對可裂態(tài)射構(gòu)成的類記為εM，B：＝｛f∈BRB｜HomB（M，f）在ARB中是可裂滿的｝.

由文獻［3］中定理1.4知，εM，B總是投射類.進一步地，若M作為左B-模是生成子，則εM，B是由滿態(tài)射構(gòu)成的投射類（參見文獻［1，命題3.1］）.此時任意的B-B-雙模都存在εM，B-投射分解，且在同倫意義下是唯一的.注意到，BPB是εM，B-投射的當且僅當HomBe（P，-）是εM，B-正合的；另一個等價條件是存在某個X∈ARB使得π：ΤΒ（X）→P是可裂滿的.易見，所有的投射B-B-雙模以及具有形式ΤΒ（X）（X∈ARB）的B-B-雙模都是εM，B-投射的.有關(guān)相對投射對象，投射類以及相對導出函子的概念，詳見文獻［4］中第9章或文獻［5］中第8章.

定義0.1［1］設(shè)M是B-A-雙模且作為左B-模是生成子.B在A上系數(shù)在BYB中的n階BMA-相對Hochschild同調(diào)與上同調(diào)分別定義為：

特別地，取Y＝B，稱（B，B）分別為B在A上的n階BMA-相對Hochschild同調(diào)與上同調(diào).注 若取BMA＝BBR（R為域），則模-相對Hochschild（上）同調(diào)就是通常意義下的Hochschild（上）同調(diào)；進一步地，如果存在代數(shù)同態(tài)μ：A→B，取BMA＝BBA，則模-相對Hochschild（上）同調(diào)就是（關(guān)于代數(shù)同態(tài)μ的）相對 Hochschild（上）同調(diào)［6］.

類似于非相對的情形，BMA-相對Hochschild同調(diào)與上同調(diào)也可以等價于由標準εM，B-投射分解得到的復形的同調(diào)與上同調(diào).設(shè)εB：ΤΒΗΒ→IdBMB是伴隨對（ΤΒ，ΗΒ）的余單位，雙模BMA是BR的生成子.則由文獻［1］中命題3.3知，對任意的BXB，鏈復形和

是BXB的一個εM，B-投射分解，稱為BXB的標準εM，B-投射分解.其中

1 主要引理

設(shè)A，B，C是R-代數(shù)，φ：C→B是R-代數(shù)同態(tài).給定雙模CMA，則B?CM是B-A-雙模.我們有以下伴隨

對：

考慮如下的類：

引理1.1 設(shè)M是C-A-雙模且作為左C-模是生成子，φ：C→B是R-代數(shù)同態(tài).則B?CM作為左B-模也是生成子.且εB?CM，B和εM，C都是由滿態(tài)射構(gòu)成的投射類.

引理1.1的證明M作為左C-模是生成子，從而C作為左C-模是若干個M的直和的直和項.由B?B?CC可知，B作為左B-模是若干個B?CM的直和的直和項，即B?CM作為左B-模也是生成子.即證.

引理1.2的證明 由于滿態(tài)射構(gòu)成的閉的類包含所有的同構(gòu)映射及映射Z→0，我們只需證明g∈εM，C即可.顯然，對任意的BWB，我們有A-C-雙模同構(gòu)HomC（M，W）?HomB（B?CM，W），且

在ARB中可裂滿，即存在A-B-雙模同態(tài)h使得HomB（B?CM，g）h＝ΙdHomB（B?CM，Z）.又h也是A-C-雙模同態(tài)，易見HomC（M，g）在ARC中可裂滿，即g∈εM，C.即證.

是εB?CM，B-正合的.

引理1.3的證明 僅需證g＊∈εB?CM，B，即證HomB（B?CM，g＊）在ARB中可裂滿.而對任意的CUC，CVC，作為C-C-雙模U?CV?V?CU.因此，由CM是有限相關(guān)的且C作為左C-模是平坦的，利用文獻［7］中引理3.83，我們有如下A-B-雙模同構(gòu)（對CUC是自然的）：

因此，由HomC（M，g）在ARC中可裂滿，可得HomB（B?CM，g＊）在ARB中可裂滿.即證.

引理1.4 若CQC是εM，C-投射的，則B?CQ?CB是εB?CM，B-投射的.

引理1.4的證明 由于B?CQ?CB?Be?CeQ，我們僅需證HomBe（Be?CeQ，-）是εB?CM，B-正合（即將所有的εB?CM，B-正合序列變?yōu)檎闲蛄校?由引理1.2可知，εB?CM，B-正合序列也是εM，C-正合的.又

從而由HomCe（Q，-）是εM，C-正合，可得HomBe（Be?CeQ，-）是εB?CM，B-正合.即證.

2 主要結(jié)果及證明

定理2.1 設(shè)φ：C→B是R-代數(shù)同態(tài)，C是交換R-代數(shù)且C作為左C-模是平坦的.給定雙模CMA，若M作為左C-模是生成子且是有限相關(guān)的，則對任意的CXC，BYB以及n≥0，我們有

定理2.1的證明 設(shè)（ΡX，d＊）是CXC的標準εM，C-投射分解.將B?C-?CB作用在（ΡX，d＊）上，得到復形（B?CΡX?CB，B?Cd＊?CB）.由引理1.3～1.4知，（B?CΡX?CB，B?Cd＊?CB）是B?CX?CB的一個εB?CM，B-投射分解.由于有以下同構(gòu)：

易證，可將復形HomBe（B?CΡX?CB，Y）和HomCe（ΡX，Y）等同，復形（B?CΡX?CB）?BeY和ΡX?CeY等同.從而它們有相同的同調(diào)群.結(jié)論得證.

進一步地，假設(shè)φ：C→B是R-代數(shù)滿同態(tài)，即對任意的R-代數(shù)同態(tài)ψ，χ：B→D，若ψφ＝χφ，必有ψ＝χ.又φ：C→B是R-代數(shù)滿同態(tài)當且僅當乘法映射B?CB→B是雙模同構(gòu).若φ：C→B是R-代數(shù)滿同態(tài)，則對任意的BX，我們有BX?B?CB?BX?B?CX且BXB?B?CX?CB.

推論2.2 設(shè)φ：C→B是R-代數(shù)滿同態(tài)，C是交換R-代數(shù)且C作為左C-模是平坦的.給定雙模CMA，若M作為左C-模是投射生成子，則對任意的BYB以及n≥0，我們有

設(shè)φ：C→B是R-代數(shù)滿同態(tài).進一步地，若M是B-A-雙模，M的C-A-雙模結(jié)構(gòu)由φ誘導，則B?CM?BM且εB?CM，B＝εM，B.由定理2.1有以下推論.

推論2.3 對任意的BXB，BYB以及n≥0，有

特別地，

進一步地，假設(shè)存在R-代數(shù)同態(tài)μ：A→C，取CMA＝CCA，則我們得到B和C的（分別關(guān)于代數(shù)同態(tài)φμ和μ的）相對Hochschild（上）同調(diào)之間關(guān)系.記C的系數(shù)在CYC中的（關(guān)于代數(shù)同態(tài)μ：A→C的）相對Hochschild同調(diào)和上同調(diào)［6］分別為 Hn（C｜A，Y）和 Hn（C｜A，Y）.

定理2.4 設(shè)μ：A→C是R-代數(shù)同態(tài)，φ：C→B是R-代數(shù)滿同態(tài)，C是交換R-代數(shù)且B作為左C-模是平坦的.則對任意的BYB以及n≥0，我們有

定理2.4的證明 顯然，C作為左C-模是投射生成子.利用推論2.2有

注意到，由相對Hochschild同調(diào)和上同調(diào)以及模-相對Hochschild同調(diào)與上同調(diào)的定義，立即有

從而命題得證.

［1］Ardizzoni A，Tomasz Brzezinski，Menini C.Formally smooth bimodules［J］.J Pure Appl Alg，2008，212：1072-1085.

［2］De la Pe?a J A，Xi C C.Hochschild cohomology of algebras with homological ideals［J］.Tsukuba J Math，2006，30：61-80.

［3］Ardizzoni A.Separable functors and formal smoothness［J］.J K-Theory，2008（1）：535-582.

［4］Hilton P J，Stammbach U.A course in homological algebra［M］.New York：Springer，1971.

［5］Weibel C A.An introduction to homological Algebra［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1994.

［6］Gerstenhaber M，Schack S.Algebraic cohomology and deformation theory［M］.Kluwer Academic Publications，1988.

［7］Rotman J J.An introduction to homological algebra［M］.New York：Academic Press，1979.