姚小虎 陳達(dá) 歐智成 孫玉剛

(華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東廣州510640)

納米技術(shù)是當(dāng)今科研領(lǐng)域的熱門技術(shù)課題之一，而碳納米管的發(fā)現(xiàn)是其最有意義的突破之一．碳納米管具有優(yōu)異而獨(dú)特的機(jī)械、力學(xué)、電學(xué)、化學(xué)和光學(xué)性能．完美的結(jié)構(gòu)、小尺度、低密度、高硬度和高強(qiáng)度等性質(zhì)使碳納米管在材料增強(qiáng)、場發(fā)射平板顯示器、傳感器和納米電子等領(lǐng)域獲得了廣闊的應(yīng)用．

對于碳納米管性能的研究，目前主要有納米實(shí)驗(yàn)方法、原子級模擬方法和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法．由于受到納米尺度的限制，碳納米管力學(xué)行為的實(shí)驗(yàn)研究是非常困難的．當(dāng)原子系統(tǒng)比較大時，原子級模擬所要的計算成本是比較高的，這就在實(shí)際應(yīng)用中受到了很大的限制．因此，基于連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)方法近年來成為研究碳納米管力學(xué)性能的主要方法之一．

盡管連續(xù)體模型在分析較大尺寸的碳納米管力學(xué)問題時起了很重要的作用，但是連續(xù)體模型在求解的過程中并不允許涉及其內(nèi)在尺寸的依賴性．因此不能使用經(jīng)典連續(xù)體模型來研究碳納米管的尺度效應(yīng)問題．

非局部彈性理論主要用來解釋彈性體中的尺度效應(yīng)［1］．Li等［2］運(yùn)用非局部彈性理論對多壁碳納米管的熱屈曲進(jìn)行了研究．Murmu等［3］基于非局部梁模型研究了單壁碳納米管在溫度變化和周圍彈性介質(zhì)影響下的屈曲問題，分別考慮了尺度和溫度的影響．

作為納米復(fù)合材料和納米元器件基本單元的碳納米管，其工作環(huán)境往往是復(fù)雜多變的．許多學(xué)者只對單個物理場作用下碳納米管的屈曲行為進(jìn)行了深入的研究，在熱-電-力多場耦合作用下碳納米管的屈曲行為則極少有人問津．Zhang等［4］用分子動力學(xué)方法研究了溫度場對單壁碳納米管受軸壓、扭轉(zhuǎn)和徑向外壓以及扭壓組合荷載作用條件下的屈曲行為和后屈曲行為的影響，同時考慮了初始軸壓作用下單壁碳納米管的熱屈曲問題．辛浩等［5］采用分子動力學(xué)方法分別對含缺陷扶手型碳納米管和對應(yīng)完善結(jié)構(gòu)的碳納米管進(jìn)行軸向壓縮模擬，通過比較兩者在不同溫度下的承載性能，發(fā)現(xiàn)完善結(jié)構(gòu)的碳納米管承載性能比含缺陷的碳納米管承載性能更依賴溫度．Yao等［6］基于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)板殼理論，對多壁納米管在扭矩作用下屈曲受溫度變化的影響做了深入分析．Zhang等［7］基于熱彈性力學(xué)理論建立了彈性復(fù)合圓柱殼模型，對具有較大長細(xì)比受軸壓作用的多壁碳納米管受溫度變化影響進(jìn)行了探討．Amin等［8］對熱-力-電耦合作用下彈性介質(zhì)中多壁氮化硼納米管的軸壓屈曲進(jìn)行了研究．Ghorbanpour等［9］考慮尺度效應(yīng)，對雙壁碳納米管進(jìn)行了熱屈曲的研究．Ansari等［10］基于非局部彈性理論與多壁彈性殼模型，研究了溫度變化下碳納米管的軸壓屈曲問題．Narendar等［11］基于非局部彈性梁理論對單壁碳納米管進(jìn)行了熱屈曲的研究．結(jié)合非局部彈性理論的熱屈曲問題的研究還有很多［12-14］，但是基于非局部彈性理論研究多物理場耦合作用下的屈曲問題則極少有人涉及．

基于非局部彈性理論，文中采用彈性殼體模型，計及多壁碳納米管層間范德華力的影響，建立了熱-電-力多場耦合作用下考慮碳納米管尺度效應(yīng)的屈曲控制方程，從理論上推導(dǎo)與分析多壁碳納米管在多場作用下的軸壓屈曲條件，并給出雙壁碳納米管軸向屈曲臨界載荷的解析解，對其進(jìn)行參數(shù)研究，以期為碳納管的應(yīng)用與設(shè)計提供有價值的依據(jù)．

1 非局部理論的本構(gòu)關(guān)系

在經(jīng)典彈性理論模型中，彈性體內(nèi)的一點(diǎn)x的應(yīng)力只取決于該點(diǎn)的應(yīng)變，而在Eringen的非局部彈性模型［15］中，彈性體內(nèi)某一參考點(diǎn)x點(diǎn)的應(yīng)力不僅取決于x點(diǎn)的應(yīng)變，而且與體內(nèi)所有其他點(diǎn)的應(yīng)變相關(guān)．非局部理論［8］與經(jīng)典彈性理論的區(qū)別就在于x點(diǎn)以外的點(diǎn)對x點(diǎn)的影響，經(jīng)典彈性理論的本構(gòu)關(guān)系是忽略了x點(diǎn)以外點(diǎn)的應(yīng)變影響．對于非局部彈性理論來說，最一般的本構(gòu)方程形式包含了一個對整個目標(biāo)區(qū)域的積分．因?yàn)榉蔷植繌椥员緲?gòu)方程涉及到空間積分，該積分體現(xiàn)了體內(nèi)所有點(diǎn)的應(yīng)變張量對給定點(diǎn)應(yīng)力張量貢獻(xiàn)的加權(quán)平均，這導(dǎo)致了求解非局部彈性問題解析解的困難．然而，Eringen［15］指出對于一些核函數(shù)，積分本構(gòu)方程可以完全轉(zhuǎn)化成一個等價的微分形式．因此我們可以得到非局部理論的本構(gòu)關(guān)系為

式中，σij為經(jīng)典應(yīng)力張量，cijkl為經(jīng)典剛度張量，εkl為經(jīng)典應(yīng)變張量，2為拉普拉斯算子，e0為與每種材料相對應(yīng)的常數(shù)，需要通過相關(guān)的實(shí)驗(yàn)或分子模擬獲得，a為內(nèi)部特征長度(例如C—C鍵的長度、晶格長度、顆粒距離等)．

2 屈曲控制方程

下式是熱-電-力多場耦合作用下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系［8］:

式中，{σ}、{ε}、{E}和{}分別表示應(yīng)力、應(yīng)變、電場和溫度應(yīng)力系數(shù)，θ表示溫度變化值，［C］和［e］T分別表示彈性剛度矩陣和壓電系數(shù)．每個系數(shù)的值取決于材料的結(jié)構(gòu)性質(zhì)．

Sai和Mele［16］的研究結(jié)果表明，鋸齒型碳納米管與扶手椅型碳納米管在壓電反應(yīng)上有著不同的性質(zhì)，鋸齒型碳納米管表現(xiàn)出縱向的單軸應(yīng)變(拉伸或者壓縮)的壓電反應(yīng)，而扶手椅型碳納米管則表現(xiàn)出與扭矩耦合的電偶極子力矩，所以兩者在熱-電-力多場耦合作用下的應(yīng)力應(yīng)變具體形式是有所區(qū)別的，但在推導(dǎo)多壁碳納米管屈曲控制方程時可以得到一個統(tǒng)一的形式，文中因?yàn)槭亲鲚S壓載荷的研究，所以將以鋸齒型碳納米管為模型．

以彈性圓柱殼為模型，其殼體厚度為t，半徑為r，u、v和w分別代表殼中面的軸向位移(x軸)、環(huán)向位移(y軸)和徑向位移(z軸)．結(jié)合非局部理論的本構(gòu)方程(1)，可以給出基于非局部彈性理論多場耦合作用下彈性殼的線性屈曲控制方程:

式中:D=Et3/［12(1- ν2)］，為有效彎曲剛度，E 為殼的彈性模量，ν為殼的泊松比;Nx0、Ny0和 Nxy0為相應(yīng)方向的前屈曲臨界載荷，包含著熱、電、力場引起的載荷;w'為屈曲徑向位移增量，p為屈曲徑向力增量．

由于碳納米管層間存在范德華力的作用，最外層碳納米管可能會受到彈性介質(zhì)基體的作用，碳納米管周圍彈性介質(zhì)基體對碳納米管最外層的作用可以看作為彈性常數(shù)為k的“彈簧”作用，這些量都將體現(xiàn)在屈曲控制方程的屈曲徑向力增量p上．假設(shè)研究的多壁碳納米管層數(shù)為n，即有

式中:Pi代表第i層管的法向力增量;wi表示第i層管徑向位移增量，為簡便且在不引起混淆情況下略去增量位移上標(biāo);ri表示為第i層管半徑;c為范德華常數(shù)，采用以下取值［17］

式中，d=1．42×10m．

式中，Δri為第i層管半徑變化量．根據(jù)應(yīng)變的關(guān)系，容易得到:從而得出與NxiM的關(guān)系．

對于多壁碳納米管而言，在屈曲前由于軸向壓縮載荷引起的層間距的變化量為零．換言之，在臨界屈曲發(fā)生前由機(jī)械載荷引起的范德華力為零．同樣地，可以認(rèn)為屈曲前由軸向壓縮載荷引起的最外層和彈性介質(zhì)之間的壓力為零．但是溫度的改變能夠使所有管在法線方向膨脹或者收縮，則屈曲前由熱載荷引起的每層管的范德華力和最外層管與彈性介質(zhì)之間的壓力不能忽略．

假定各層碳納米管所受軸壓荷載相等，設(shè)各層單位長度軸向載荷為Fx，溫度均勻改變量為T，軸向電場強(qiáng)度為Ex，則有:

綜上所述，可以建立基于非局部彈性理論的熱-電-力耦合作用下n層碳納米管的屈曲控制方程:

以雙壁碳納米管為例，從理論上可以給出雙壁碳納米管臨界軸壓屈曲載荷的解析表達(dá)式．

取n=2，則基于非局部理論多場耦合作用下雙壁碳納米管的屈曲控制方程為式中，N0x1、N0xy1、N0y1、N0x2、N0xy2、N0y2是由熱、電和力場耦合作用產(chǎn)生的前屈曲載荷．

由于圓柱殼的臨界屈曲載荷對其邊界條件是不敏感的，在文中假定考慮簡支邊界條件，其位移模式如下:

式中，r1、r2為雙壁碳納米管內(nèi)、外管半徑，L為碳納米管的管長，f1、f2為實(shí)常數(shù)，m、q分別為碳納米管的軸向波數(shù)和周向波數(shù)．

根據(jù)f1、f2取到非零解的條件，可以得出臨界軸壓屈曲載荷Fx的解析表達(dá)式．

3 結(jié)果分析

數(shù)值計算選取的共同參數(shù)具體如下:

低溫和室溫時取:

高溫時取:

當(dāng)圖中所用數(shù)據(jù)與上述數(shù)據(jù)不同時將會在對應(yīng)的圖中給出．

圖1 不同e0a時φ與r1的關(guān)系曲線Fig．1 Relation curves between φ and r1with different e0a

圖2 不同e0時與r1的關(guān)系曲線Fig．2 Relation curves betweenand r1with different e0

圖1與圖2分別是無量綱參數(shù)φ和臨界軸壓屈曲載荷Fx與雙壁碳納米管內(nèi)半徑r1的關(guān)系曲線，其中r2=r1+0．34nm．從圖1可以看出，當(dāng)以e0a為一組合的參數(shù)時，取不同的e0a值，φ始終小于1，且φ會隨著r1的增大而越來越接近1，說明經(jīng)典理論下的臨界軸壓屈曲載荷是偏大的．從曲線的前部分來看，也就是r1很小的時候，φ比1小得多或比較小，說明此時采用非局部理論得到的臨界軸壓屈曲載荷比利用經(jīng)典彈性理論得到的臨界軸壓屈曲載荷要小很多，表明小尺度效應(yīng)顯著．在該尺度范圍內(nèi)，經(jīng)典理論下的臨界軸壓屈曲載荷是偏大很多的，經(jīng)典理論已經(jīng)不適合運(yùn)用在該尺度范圍．從曲線的后半部分來看，也就是r1比較大的時候，φ幾乎接近1，說明此時非局部理論下的臨界軸壓屈曲載荷與經(jīng)典理論下臨界軸壓屈曲載荷是相近的，表明尺度效應(yīng)已經(jīng)不再顯著，在該尺度范圍，經(jīng)典理論分析不會產(chǎn)生太大的誤差．圖2中，僅考慮e0單獨(dú)變化的影響，對比不同曲線，e0越大，小尺度效應(yīng)越大，可以看到e0越大，其對應(yīng)的臨界軸壓屈曲載荷F1x越小;當(dāng)雙壁碳納米管內(nèi)半徑r1增大時，其小尺度效應(yīng)相對會變小，所以會逐漸接近經(jīng)典理論下的臨界軸壓屈曲載荷，因而各曲線會越來越接近，從而趨向一個相同的值．文獻(xiàn)［10］中對多壁碳納米管軸壓屈曲問題進(jìn)行數(shù)值分析，得到的結(jié)論是屈曲載荷比會隨著非局部參數(shù)e0a的增大而減小，屈曲載荷比小于1，并且當(dāng)e0a很大時，屈曲載荷比是遠(yuǎn)小于1的，這說明小尺度效應(yīng)會使多壁碳納米管更容易屈曲．這與圖1和圖2得到的結(jié)論一致．

圖3與圖4分別給出了在高溫與低溫環(huán)境下，臨界軸壓屈曲載荷F1x與溫度變化量T的關(guān)系曲線，其中 r1=0．35nm，r2=0．70 nm．從圖3 與圖 4可以看出，在高溫與低溫環(huán)境下，以e0a為一組合參數(shù)，取不同的e0a，非局部理論下的臨界軸壓屈曲載荷與溫度變化量T的關(guān)系是線性的，而且在高溫環(huán)

境下是負(fù)線性的，在低溫環(huán)境下是正線性的．這說明高溫或低溫環(huán)境下，溫度上升會導(dǎo)致臨界軸壓屈曲載荷的減少或增加．該結(jié)果與前面的研究［18］是吻合的，碳納米管熱膨脹系數(shù)在低溫或室溫下是負(fù)值，而在高溫下是正值．從不同的e0a的曲線來看，不同e0a代表不同程度的小尺度效應(yīng)，而e0a的不同，并沒有改變臨界軸壓屈曲載荷與相應(yīng)溫度環(huán)境下溫度變化量的線性關(guān)系，只是小尺度效應(yīng)越大，其對應(yīng)的臨界軸壓屈曲載荷越小或越大．

圖5是在低溫環(huán)境下，臨界軸壓屈曲載荷F1x與電壓U的關(guān)系曲線，其中r1=0．35nm，r2=0．70nm．從圖5可知，以e0a為一組合參數(shù)，取不同的e0a，非局部理論下的臨界軸壓屈曲載荷F1x與電壓U的關(guān)系是線性的，而且是負(fù)線性的．說明低溫環(huán)境下，電壓的上升會導(dǎo)致臨界軸壓屈曲載荷的下降．從不同的e0a的曲線來看，不同e0a代表不同程度的小尺度效應(yīng)，而e0a的不同并沒有改變臨界軸壓屈曲載荷與高溫環(huán)境下溫度變化量的負(fù)線性關(guān)系，只是小尺度效應(yīng)越大的，其對應(yīng)的臨界軸壓屈曲載荷就越?。?/p>

圖3 不同e0a時F1x與T(高溫)的關(guān)系曲線Fig．3 Relation curves betweenand T with different e0a(at high temperature)

圖4 不同e0a時與T(低溫)的關(guān)系曲線Fig．4 Relation curves between and T with different e0a(at low temperature)

圖5 不同e0a時與U的關(guān)系曲線Fig．5 Relation curves betweenand U with different e0a

4 結(jié)論

通過前面數(shù)值分析，可以得出以下結(jié)論:

(1)在小尺度范圍內(nèi)，經(jīng)典理論對臨界軸壓屈曲載荷的分析是高估的，是不適用的，應(yīng)當(dāng)用非局部理論來分析;而在比較大的尺度范圍內(nèi)，經(jīng)典理論對臨界軸壓屈曲載荷的分析是可以接受的．

(2)溫度場的變化和臨界軸壓屈曲載荷的關(guān)系是線性的，高溫情況下是負(fù)線性關(guān)系，低溫情況下是正線性關(guān)系．

(3)電場的變化和臨界軸壓屈曲載荷的關(guān)系是負(fù)線性關(guān)系．

(4)通過單獨(dú)變化e0和e0a，能夠看出在較小半徑時臨界軸壓屈曲載荷在不同小尺度效應(yīng)下的值是不同的，說明小尺度效應(yīng)在此時影響很大;而在較大半徑時，臨界軸壓屈曲載荷在不同尺度效應(yīng)下的值是很接近的，說明小尺度效應(yīng)的影響可以忽略不計．

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