彭崇梅 張啟偉 李元兵

(同濟大學橋梁工程系，上海200092)

拉索是中承式、下承式拱橋與索支承橋梁的重要受力構件，由于施工和使用過程中的磨損、老化、腐蝕、斷絲等原因，相當一部分拉索在成橋后不久便出現(xiàn)嚴重損傷，甚至導致橋梁坍塌．半平行鋼絲索是實際工程中拉索的主要應用形式，索體鋼絲按同心同向作輕度扭絞，并用纏包帶反向緊密纏繞索體，最外層熱擠HDPE護套而成．目前，工程實踐中采用的基于平行鋼絲假定的并聯(lián)模型，忽略了鋼絲間拉力不均勻分布和接觸摩擦的影響，且不能進一步用于拉索的腐蝕、斷絲等病害的研究，而半平行鋼絲索的其他研究很少．

Matteo等［1］基于平行鋼絲假定的延性模型和延-脆性模型，采用Monte-Carlo方法研究了Williamsburg橋主纜的安全系數(shù)．Faber等［2］基于并聯(lián)模型，采用概率方法研究了半平行鋼絲索的靜力拉伸強度和疲勞壽命．上述研究是基于平行鋼絲假定的并聯(lián)模型，未考慮鋼絲間拉力的不均勻分布、接觸、摩擦等因素，且研究文獻較少，而與半平行鋼絲索幾何相近的鋼絞線(鋼絲繩)或多股螺旋彈簧的研究則取得了一定的進展．Raoof等提出了半連續(xù)模型，用來研究鋼絲繩的靜力、彎曲和疲勞特性［3-5］，該模型假定“繩股中的每層上具有足夠的鋼絲來使其特性取平均值，各鋼絲層可被視作連續(xù)的正交各向同性薄層”;Blouin和 Cardou［6］將鋼絲繩視作厚壁圓筒，基于連續(xù)介質(zhì)力學建立了半連續(xù)模型;半連續(xù)模型不能準確計算各層鋼絲間的接觸力和軸向拉力，且不能計算非圓形鋼絲層構造(如半平行鋼絲索)的索體受力性能．因此，一些學者基于Love［7］曲桿理論，建立了由單根鋼絲集成的離散模型．Costello等［8-9］、LeClair等［10］根據(jù)單根鋼絲的基本方程，對鋼絞線和鋼絲繩進行了研究，但均忽略了摩擦滑移的影響;Jiang等［11］學者則通過建立不同股和絲的有限元模型對多層鋼絲繩進行了研究;王桂蘭等［12］建立了鋼絲繩類金屬捻線成形過程中的有限元模型．馬軍等［13］通過有限元模擬了鋼絲繩在拉伸變形過程中股內(nèi)鋼絲間的載荷分布情況;蕭紅［14］則在螺旋彈簧的研究方面作了一定的工作．

鑒于半平行鋼絲索具有螺旋外形的特點及本身構造的特殊性，內(nèi)部鋼絲接觸復雜，既不能采用并聯(lián)模型，也不能直接應用鋼絞線研究中的現(xiàn)象和規(guī)律，且用以描述鋼絲間接觸、摩擦和滑移的物理量也很難通過試驗方法獲得，從而難以準確描述多層半平行鋼絲索的受力行為．文中基于Love［7］曲桿理論，考慮鋼絲彎矩、扭矩、剪力和泊松效應的影響，推導了靜力拉伸荷載作用下的半平行鋼絲索非線性控制方程，通過數(shù)值計算和參數(shù)分析重點討論了螺旋角對半平行鋼絲索軸力、扭矩、軸向剛度和鋼絲間拉力分布的影響．

1 基本方程

考慮一n層半平行鋼絲索橫截面，索體鋼絲根據(jù)螺旋半徑進行分層，拉索鋼絲分層如圖1所示，中心鋼絲為0層，半徑為R1，其余各層依次由里向外進行編號，半徑均為R，各層鋼絲螺旋半徑為各外層鋼絲中心相對螺旋中心的距離，以ri表示，圖1中數(shù)字表示各層鋼絲的編號，如編號5對應鋼絲層螺旋半徑為r5．

圖1 半平行鋼絲索截面分層示意圖Fig．1 Layered schemes of cross section for semi parallel wire cable

推導方程之前，假定:①鋼絲間無相對滑移，鋼絲間接觸變形忽略不計;②荷載作用下，考慮泊松效應引起的螺旋半徑變化．

［9］，單根鋼絲的受力如圖2所示，其中G、G'和H為彎矩分量和扭矩分量，K、K'和Θ為單位長度外部彎矩和扭矩分量，N、N'為剪力分量，T為軸向拉力分量，X、Y、Z為單位長度外部荷載分量．

圖2 單根螺旋鋼絲受力圖Fig．2 Free-body diagram of a helical wire

第i層每根鋼絲對應的曲率分量(ki和ki')和扭率分量(i)可表示為

式中，αi表示第i層鋼絲螺旋角度．

軸向荷載作用下，螺旋角和螺旋半徑的變分為δαi和δri，則相應的曲率和扭率分量的變分為

假定弧長為si的螺旋線在中心線上的投影為li，相應的圓心角變化為φi，則存在如下幾何關系:

相應的圓心角和螺旋投影的變分δφi和δli為

半平行鋼絲索的軸向應變?yōu)棣?δli/li，螺旋鋼絲應變?yōu)棣蝘=δsi/si，螺旋鋼絲扭率又可表示為i=δφi/li，則方程(4)和(5)可表示為

忽略鋼絲間的接觸變形，考慮泊松效應對螺旋半徑變化的影響，則螺旋半徑的變分可表示為式中，νj為第j層鋼絲的泊松比．由于半平行鋼絲排列的特殊性，式(8)中內(nèi)層鋼絲對外層鋼絲螺旋半徑的影響取內(nèi)層半徑變化的平均值進行簡化．

參考文獻［9］，第i層單根鋼絲對應的彎矩分量Gi、和扭矩分量 Hi可表示為

式中:E為鋼絲彈性模量;Iyi為鋼絲截面抗彎慣性矩，Ci為鋼絲扭轉剛度，對圓形截面鋼絲為鋼絲半徑．

剪力分量Ni、N'i，單絲軸向拉力分量Ti和單位長度外部荷載分量 Xi、Yi、Zi可表示為

式中，Ai表示單根鋼絲截面積，對于圓形截面鋼絲，Ai=．

總軸力和總扭矩可表示為

式中，mi表示第i層鋼絲總數(shù)．

2 方程的求解

半平行鋼絲索中鋼絲按同心同向作輕度扭絞，各層鋼絲的扭轉角度相同，扭率相等，即1=2=…=i=…= ．對于給定的中心鋼絲軸向應變ε和扭率分量 ，先假定螺旋鋼絲半徑變化量δri為某一量值，代入方程(6)和(7)，可得 δαi和 ξi，將新的 ξi代入δri表達式，得到新一輪的 δri值，再代入方程(6)和(7)，如此循環(huán)迭代，直到相鄰兩次循環(huán)的δri變化值小于給定誤差為止．將上述計算得到的δαi和δri代入式(2)，得到曲率和扭率分量的變分;代入式(9)-(12)，即可得到索體內(nèi)各層鋼絲的內(nèi)力分量和總軸力、總扭矩．整個過程可通過編程實現(xiàn)．

3 模型驗證與參數(shù)分析

為驗證模型和程序的正確性，參考文獻［9］，以單層鋼絞線算例，鋼絲層數(shù)n為1層，R1為2．616mm，R 為2．565mm，則螺旋半徑 r1=R1+R=5．181 mm，螺旋角 αi為82．51°，泊松比 ν為 0．25，鋼絲彈模 E為196．5GPa，鋼絞線軸向應變 ε 為 0．003，扭率分量 為0．將上述參數(shù)代入式(1)-(12)，可得F=83．17kN，參考文獻［9］中結果為 83．65 kN，誤差為0．57%．計算結果驗證了模型和程序的正確性．

為討論各參數(shù)取值對半平行鋼絲索的影響，參考橋梁工程中半平行鋼絲索的技術參數(shù)，取Ф5-127的半平行鋼絲索進行討論，鋼絲直徑取5mm，鋼絲彈性模量E 為197．9GPa，泊松比 ν為0．3，總層數(shù)n為15．

為討論螺旋角對索內(nèi)鋼絲受力的影響，假定索體不產(chǎn)生扭轉，即 =0，鋼絲應變?nèi)ˇ?0．001，變化螺旋角(45°～90°)，可得拉索總軸力、總扭矩和單根螺旋鋼絲軸力隨螺旋角變化的關系曲線，如圖3、4所示．

圖3 總軸力、總扭矩與螺旋角的關系曲線Fig．3 Variation curves of total axial force and total torque with he-lical angle change

圖4 單根螺旋鋼絲軸力與螺旋角的關系曲線Fig．4 Variation curves of axial force with helical angle for a wire

由圖3和4可以看出，隨著螺旋角的增大，拉索總軸力和螺旋鋼絲軸向力均隨之增大，增長速度隨著螺旋角的增大而逐漸變緩;圖3(b)中總扭矩的變化則經(jīng)歷了一個先增加后降低的過程，螺旋角為60°附近時，總扭矩達到峰值;而螺旋角為90°時，軸向荷載作用下總扭矩為0．

假定鋼絲索軸力不變時，取總軸力F為1000kN，拉索軸向應變ε隨螺旋角變化的關系曲線如圖5所示．為研究拉伸過程中彎扭變形能對拉索的影響，取單位長度拉索，拉索拉伸變形能和彎扭變形能可表示為

對比拉伸變形能和彎扭變形能所占的百分比，可以量化彎扭變形能的影響．圖6為拉索能量百分比η隨螺旋角的變化曲線．

圖5 軸向應變隨螺旋角的變化曲線Fig．5 Variation curves of axial strain with helical angle

圖6 能量百分比隨螺旋角的變化曲線Fig．6 Variation curves of energy ratio with helical angle

由圖5可以看出，當總軸力一定時，拉索軸向應變隨螺旋角的增大而減小，且減小的速度逐漸趨緩，其下限值為對應的平行鋼絲索應變．由圖6可以看出，當螺旋角較小時，鋼絲的彎扭變形占主導地位，隨著螺旋角的增大，拉伸應變能所占比例逐漸增加，而彎扭應變能逐漸減小，在55°附近，兩者所占比例相等，當螺旋角為85°時，彎扭應變能僅占0．07%，可以忽略鋼絲彎扭變形的影響．

為討論不同螺旋角變化，對應半平行鋼絲索內(nèi)螺旋鋼絲的軸力不均勻分布，定義鋼絲軸力增長幅度 i如下:

不同螺旋角對應的鋼絲軸力增長幅度如圖7所示．

圖7 不同螺旋角下鋼絲軸力的不均勻分布曲線Fig．7 Nonuniform distribution curves of tensile force for different helical angle

由圖7可以看出，當螺旋角度較小(對應重度扭絞)時，拉索中鋼絲不均勻分布較明顯，相對于并聯(lián)模型，鋼絲拉力變化幅度為(-6%，1．54%)，但隨著螺旋角的增大，拉索中鋼絲分布逐漸趨于均勻．對于橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍(螺旋角86°～88°)，分布基本均勻，鋼絲拉力變化幅度為(-0．07%，0．02%)．

軸向荷載作用下，拉索的軸向剛度會降低，為討論拉索軸向剛度隨螺旋角的變化，將總軸力除以拉索橫截面積，可得到拉索截面平均軸向應力，平均軸向應力與中心鋼絲軸向應變關系曲線對應斜率，可反映拉索軸向剛度，用拉索彈性模量Ec表示如下:

拉索平均軸向應力ˉF-軸向應變ε曲線如圖8所示．對于給定的螺旋角，索內(nèi)平均軸向應力與軸向應變關系曲線為線性關系，直線斜率即為拉索彈性模量，隨著平行鋼絲索螺旋角變小，軸向剛度逐漸降低，且降低的速度逐漸加快．當螺旋角為90°時，拉索彈性模量為197．9GPa，當螺旋角為45°時，拉索彈性模量為68．1GPa，相對于鋼絲的彈性模量降幅達65．5%;在橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍(螺旋角86°～88°)內(nèi)，由圖8內(nèi)插可得螺旋角為86°時，拉索彈性模量為195．2 GPa，拉索彈性模量最大降低 1．4%．

圖8 拉索平均軸向應力-應變曲線Fig．8 The mean stress-strain curves of cable

4 結論

推導了多層半平行鋼絲索的靜力拉伸模型，通過數(shù)值計算和參數(shù)分析研究了索體軸力、扭矩、軸向剛度等變化規(guī)律，文中模型不僅適用于半平行鋼絲索，也適用于單層鋼絞線的情況，主要結論如下:

(1)隨著螺旋角的增大，拉索總軸力和螺旋鋼絲軸向力均隨之增大，增長速度隨著螺旋角的增大而逐漸變緩;總扭矩的變化則經(jīng)歷了一個先增加后降低的過程，當螺旋角大于85°時，彎扭應變能僅占0．07%，可以忽略鋼絲彎扭變形的影響．

(2)當螺旋角度較小(對應重度扭絞)時，拉索中鋼絲拉力的不均勻分布較明顯，鋼絲拉力變化幅度為(-6%，1．54%)，但隨著螺旋角的增大，拉索中鋼絲分布逐漸趨于均勻．

(3)隨著平行鋼絲索螺旋角的減小，軸向剛度逐漸降低，且降低的速度逐漸加快，當螺線角為45°時，最多可降低65．5%，對于橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍，軸向剛度最大降低1．4%．

實際工程中，拉索鋼絲間接觸變形、由腐蝕、磨損等因素引起的斷絲、滑移等均會改變索內(nèi)鋼絲的拉力分布，這些因素的影響值得進一步研究．

參考文獻:

［1］Matteo J，Deodatis G，Billington D P．Safety analysis of suspension-bridge cables:Williamsburg bridge［J］．Journal of Structural Engineering，1994，120(11):3197-3211．

［2］Faber M H，Engelund S，Rackwitz R．Aspects of parallel wire cable reliability ［J］．Structural Safety，2003，25:201-225．

［3］Raoof M，Hobbs R E．Analysis of multilayered structural strands［J］．Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1988，114(7):1166-1182．

［4］Raoof M，Davies T J．Determination of the bending stiffness for a spiral strand ［J］．Journal of Strain Analysis，2004，39(1):1-13．

［5］Raoof M，Davies T J．Axial fatigue design of sheathed spiral strands in deep water applications［J］．International Journal of Fatigue，2008，30(2):2220-2238．

［6］Blouin F，Cardou A．A study of helically reinforced cylinders under axially symmetric loads and application to strand mathematical modeling［J］．International Journal Solids and Structure，1989，25:189-200．

［7］Love A E H．A treatise on the mathematical theory of elasticity［M］．New York:Dover Publications，1944．

［8］Costello G A，Philips J W．A more exact theory for twisted wire cables［J］．Journal of Engineering Mechanics，Division，ASCE，1974，100(5):1096-1098．

［9］Costello G A．Theory of wire rope［M］．New York:Springer-Verlag，1991．

［10］LeClair R A．Axial response of multilayered strands with compliant layers［J］．Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1991，117(12):2884-2903．

［11］Jiang W G，Henshall J L，Walton J M．A concise finite element model for three-layered straight wire rope strand［J］．International Journal of Mechanical Sciences，2000，42(1):63-86．

［12］王桂蘭，孫建芳，張海鷗．鋼絲繩捻制成形殘余應力的理論與實驗研究［J］．華中科技大學學報:自然科學版，2002，30(6):25-27．Wang Gui-lan，Sun Jian-fang，Zhang Hai-ou．Theoretical and experimental research on the laying residual stress of metal wire rope［J］．Journal of Huazhong University of Science and Technology:Nature Science，2002，30(6):25-27．

［13］馬軍，葛世榮，張德坤．鋼絲繩股內(nèi)鋼絲的載荷分布［J］．機械工程學報，2009，45(4):259-264．Ma Jun，Ge Shi-rong，Zhang De-kun．Load distribution on the unit of the wire rope strand［J］．Journal of Mechanical Engineering，2009，45(4):259-264．

［14］蕭紅．多股螺旋彈簧繞制成形的若干關鍵問題研究［D］．重慶:重慶大學機械工程學院，2010．