曾令鋒

（梅縣丙村中學 廣東 梅州 514762）

動量定理與動量守恒定律在高中階段的物理教學中具有重要地位.經(jīng)過高一一年的學習，學生已能夠較好地運用牛頓運動定律和功能關系解決恒力作用下的力學問題，但碰到變力作用的情況，就會束手無策.即使一些思維能力較強的學生，也許能大概判斷出物體在變力作用下的運動狀態(tài)變化情況，也無法進行定量的分析與計算.動量定理和動量守恒定律將成為他們解決這類問題的“利器”.因此，如何上好“動量 動量守恒定律”一課，就顯得尤為重要了.

在本節(jié)課的學習中，學生經(jīng)常會被以下問題困擾，一是到底“動量”是什么？二是動量定理和牛頓第二定律有什么不同？三是動量守恒定律和動量定理之間有怎樣的關聯(lián)？學生的問題引起筆者深深的思考.

1 “動量”到底是什么

“動量”的概念，最早是由伽利略、笛卡兒等人在研究打擊、碰撞的問題中提出來的，后來牛頓的工作使其更為完善.起初，它被稱為“運動量”、“運動的量”，或者干脆簡稱為“運動”.如牛頓在《論物體的運動》一文手稿中寫道，“……動力與加速的力之比等于運動與速度之比……”，文中“加速的力”指的是加速度，“運動”指的是動量.在《教師教學用書物理·選修3-5》［1］中也有這樣一句話，“動量是描寫物體運動量大小的，是描述物體機械運動狀態(tài)的物理量.”如果就這樣向?qū)W生介紹動量的物理意義，學生會產(chǎn)生新的疑問：“運動量”又是什么？是不是像人跑步一樣，消耗的能量多，運動量就大？描述物體機械運動狀態(tài)的物理量有很多，如“速度”描述運動快慢，“加速度”描述速度變化快慢，“動能”描述物體因運動而具有的能量，那“動量”描述什么呢？

其實，牛頓等人所提到的“運動”是一個復合的概念，它既涉及物體的質(zhì)量，又與運動的快慢和方向有關.為了幫助學生更好地理解，我們向?qū)W生提兩個問題：

（1）A，B兩輛車，質(zhì)量相同，A的速度遠大于B，在相同情況下，哪輛車更容易停下來？哪輛車更容易轉(zhuǎn)急彎？

（2）一輛小汽車和一輛裝滿貨物的重型大貨車，以相同的速度行駛，在受力相同的情況下，哪輛車更易停、更易轉(zhuǎn)彎？

答案是很明顯的.由此可以認為，運動物體的質(zhì)量越大、速度越大，則在運動方向上的運動趨勢越難被改變.

這個判斷可由動量定理佐證.假設運動物體質(zhì)量為m，速度為v，動量為p＝mv.要改變物體在運動方向上的運動趨勢，有兩種做法，一是使物體停止；二是在保持物體速率不變的前提下，使其速度方向轉(zhuǎn)過一個極小的角度.如果采用第一種做法，由動量定理可知所需沖量大小為

如果用第二種做法，假設速度方向轉(zhuǎn)過的角度為dθ，如圖1，則所需沖量大小為

圖1

結(jié)果表明，不論采取哪種做法，對于動量較大的運動物體，要改變其在運動方向上的運動趨勢，均需要更大的沖量.

因此，動量的物理意義可以這樣闡述，動量是一個描述運動物體在其運動方向上保持運動趨勢的能力的物理量.

2 牛頓第二定律與動量定理的關系

在高中物理教材中，動量定理是由牛頓第二定律推導出來的，在物理學的發(fā)展史上也確實如此.

牛頓的三大運動定律是他在前人工作的基礎上概括、總結(jié)出來的.1687年出版的《自然哲學的數(shù)學原理》［2］一書中，有關第二定律的正式表述為，“運動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向.”（見書中定律Ⅱ）.根據(jù)這個表述可知其表達式應為

當F，m，v，t取合適的單位時，可使比例系數(shù)k＝1，上式可表示為

可見，牛頓第二定律的正式表述（文中稱之為表述1）是基于動量變化的.這與高中物理教材中基于加速度的表述（本文中稱之為表述2）有很大不同.而在高校的普通物理教材中采用的正是這種表述.那表述2的依據(jù)又是什么呢？這也可以在《自然哲學的數(shù)學原理》一書中找到答案.該書表述為，“……運動力由加速力與物質(zhì)的量的乘積決定.”其中“運動力”指的是合外力，“加速力”指的是加速度，“物質(zhì)的量”指的是質(zhì)量.根據(jù)這個表述，可寫出表達式

在F，m，a選取合適的單位使k＝1后可表示為

現(xiàn)在我們知道，式（1）適用于相對論，而式（2）只在經(jīng)典力學中成立.牛頓選擇表述1作為第二定律的正式表述，在那個力學研究對象只限于宏觀、低速運動物體的年代，充分體現(xiàn)了一個偉大科學家的遠見卓識.

有了牛頓第二定律，動量定理的提出就水到渠成了.在高中物理教材中，動量定理是基于傳感器實驗，由牛頓第二定律（表述2）導出的，過程如下.

這種推導過程易被高中生接受，但無疑是不嚴謹?shù)?因為該推導仍囿于恒力作用的思路，也難免會讓善于思考的學生感到疑惑.而由表述1導出的過程則很好地解決了變力作用的問題，過程如下.

由式（1）得

兩邊積分，得

定義

式（3）表示為

若質(zhì)量m不變，式（4）又可寫為

由此可見，牛頓第二定律是動量定理的基礎，動量定理是根據(jù)牛頓第二定律推導出來的.但能否據(jù)此認為，動量定理與牛頓第二定律本質(zhì)上是相同的，動量定理只是牛頓第二定律的另一種表達呢？

答案當然是否定的.從以上動量定理的推導過程中可以很清楚地知道，動量定理研究的是，物體在一段時間的受力與運動變化的關系，關注的是始末狀態(tài)的變化.而在牛頓第二定律的表達式（1）中，出現(xiàn)了“dt”，代表時間t→0，說明牛頓第二定律研究的是物體受力瞬間的運動狀態(tài)變化，具有瞬時性.這是兩者最大的區(qū)別所在.

在高中物理階段，兩者的不同還體現(xiàn)在適用條件方面.高中階段的牛頓第二定律為表述2，表達式為式（2），這種表述只適用于低速運動、宏觀的物體.而動量定理除適用于宏觀、低速的物體外，還適用于微觀、高速的物體.另外，用牛頓第二定律的這種表述分析變力作用的情況，會碰到極大的困難，而動量定理則不存在這個問題.

可見，牛頓第二定律與動量定理，既有密切聯(lián)系，又有明顯區(qū)別，不可相互替代.

3 動量守恒定律與動量定理之間的關聯(lián)

其實在科學史上，動量守恒思想的提出是遠遠早于牛頓第二定律的.早在古希臘時代，以德謨克利特為代表的原子論者就提出，運動只能由一個物體向另一個物體轉(zhuǎn)移，但絕不會完全消滅.而笛卡兒則在《哲學原理》第二章中，第一次明確提出了動量守恒即物質(zhì)和運動的總量永遠保持不變.先賢們的思想是在觀察、研究物體運動的過程中產(chǎn)生的，起初只是模糊的經(jīng)驗，后來被實驗所證實.所以，動量守恒定律是實驗性規(guī)律.因此，在高中物理教材中，動量守恒定律在學生實驗的基礎上被總結(jié)出來，是符合認知規(guī)律的.

另一方面，動量守恒定律也是動量定理必然導致的結(jié)果.講清楚動量定理和動量守恒定律之間的邏輯推理關系，對于學生構(gòu)建系統(tǒng)的知識體系，還是非常必要的.

教材中并未明確表明動量定理適用于兩個或多個物體構(gòu)成的系統(tǒng)，因此，有必要先對教材內(nèi)容作適當?shù)难a充.舉下面的例子.

【例題】如圖2，光滑水平面上有兩個帶正電的小球A和B，小球A，B在水平向右的推力F作用下均向右運動.不考慮其他影響.求經(jīng)時間t后，A，B的動量變化量之和.

圖2

圖3

解析：分析A，B球受力如圖3，圖中FAB，F(xiàn)BA為A，B球之間的平均作用力.據(jù)動量定理，對A有

對B有

據(jù)牛頓第三定律

由以上各式得

由此可知，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)各物體動量變化量之和，也就是等于系統(tǒng)總動量的變化量.當系統(tǒng)所受合外力為零時，系統(tǒng)總動量的變化量亦為零，即系統(tǒng)的總動量守恒.這就是動量守恒定律.

總之，牛頓第二定律、動量定理、動量守恒定律之間存在著密切的關系.對于它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，作為中學物理教師，只有清楚地知道其來龍去脈，才能更好地為學生答疑解惑.

1 廣東基礎教育課程資源研究開發(fā)中心物理教材編寫組.教師教學用書物理·選修3-5.廣州：廣東教育出版社，2005.14～20

2 （英）伊薩克·牛頓著.自然哲學之數(shù)學原理.王克迪譯.西安：陜西人民出版社，2001.9～19

3 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學.北京：高等教育出版社，1995.42～57