李文天，安立堅(jiān)，陰燕華

一、引言

美國(guó)數(shù)學(xué)家.波利亞曾說(shuō)過(guò)，“科學(xué)家處理經(jīng)驗(yàn)的步驟，通常稱(chēng)為類(lèi)比歸納法。類(lèi)比歸納法的例子可以在數(shù)學(xué)研究中找到?！崩绽挂舱f(shuō)過(guò)，“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類(lèi)比。”

類(lèi)比歸納法是數(shù)學(xué)中最基本的方法之一，它有很大的創(chuàng)造性。許許多多有關(guān)數(shù)學(xué)的理論及數(shù)論的結(jié)果都是類(lèi)比歸納的產(chǎn)物，而且有不少數(shù)學(xué)家都是類(lèi)比歸納大師，高斯就曾說(shuō)過(guò)，他的許多定理都是靠類(lèi)比歸納發(fā)現(xiàn)的。通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)大師波利亞的名著《數(shù)學(xué)與猜想》，結(jié)合一些實(shí)例對(duì)類(lèi)比歸納在數(shù)學(xué)各分支及其它領(lǐng)域?qū)σ胄赂拍?、新?guī)律做一個(gè)比較系統(tǒng)而又實(shí)用的分析探討。

二、類(lèi)比歸納的內(nèi)涵

（一）類(lèi)比歸納的概念

“類(lèi)比”，在古希臘語(yǔ)中是比例的意思。起初僅僅表示數(shù)目之間的一定關(guān)系，后來(lái)用在邏輯學(xué)上，作為獲得推出新知識(shí)的一種形式，即類(lèi)比歸納。G.波利亞說(shuō)過(guò)，“相似對(duì)象在某些方面有一致性，如果把它們相似的地方化為明確的概念，那么就把相似的對(duì)象看作是可以類(lèi)比的。如果你把它變?yōu)橐粋€(gè)清楚的概念，那么也就闡明了類(lèi)比關(guān)系?！?/p>

所謂“類(lèi)比”就是將未知事物與已知事物進(jìn)行對(duì)比比較，根據(jù)對(duì)象屬性在某些方面的相似處或相同點(diǎn)，進(jìn)而推出未知事物也有可能顯示已知事物的某些屬性的方法。所謂“歸納”就是對(duì)個(gè)別或特殊事物概括出相同的本質(zhì)或一般原理的邏輯思維方法，邏輯學(xué)上又稱(chēng)歸納原理。在類(lèi)比歸納過(guò)程中，尋求熟知的舊知識(shí)和陌生的新知識(shí)之間的相似原則的原理，可以讓同學(xué)們對(duì)知識(shí)經(jīng)過(guò)正向遷移，做出合理大膽的假設(shè)或推理，進(jìn)行類(lèi)比歸納的探索，從而發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的新思路，這種教學(xué)法叫做類(lèi)比歸納。

（二）如何建立類(lèi)比歸納思想

類(lèi)比歸納的模式是簡(jiǎn)單的，但是具體的類(lèi)比歸納情況是多樣復(fù)雜的。那么我們想象一下事物之間的相似是怎樣建立起來(lái)的，又是如何進(jìn)行歸納的呢？這其中有幾個(gè)關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。

首先，從已知的經(jīng)驗(yàn)引出最正確的信心。經(jīng)驗(yàn)改變?nèi)藗兊男拍?，我們?yīng)該從經(jīng)驗(yàn)里學(xué)習(xí)。能夠充分地利用經(jīng)驗(yàn)是人類(lèi)一項(xiàng)偉大的任務(wù)，為了這個(gè)任務(wù)而努力工作是科學(xué)家們的應(yīng)有使命，科學(xué)家們?yōu)榱私㈥P(guān)于某個(gè)問(wèn)題的正確信念而積累最正確的經(jīng)驗(yàn)。一般處理經(jīng)驗(yàn)的方法，通常稱(chēng)作類(lèi)比歸納法。

其次，對(duì)事物間的相似從一般化到特殊化到類(lèi)比再到歸納的啟發(fā)性聯(lián)想。在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特所做的著名演講《數(shù)學(xué)問(wèn)題》中講了一般化與特殊化方法。一般化、特殊化是類(lèi)比思維的左膀右臂。每當(dāng)我們遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，你會(huì)試圖想起一個(gè)與此有關(guān)的類(lèi)似的比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題嗎？雖然這是一句簡(jiǎn)單的話，卻還是一句特殊的提示語(yǔ)，“與此有關(guān)”和“類(lèi)似”，這就牽涉類(lèi)比，只有正確有成效的類(lèi)比才有可能引導(dǎo)我們解決適當(dāng)?shù)奶厥鈫?wèn)題。例如，我們從三角形考慮到任意多邊性，從多邊形轉(zhuǎn)化為考慮正多邊形，還可以從正多邊形轉(zhuǎn)化為考慮等邊三角形，而且通過(guò)類(lèi)比考慮到不同的立體圖形。

再次，檢驗(yàn)一下類(lèi)比歸納出的結(jié)論，即支持性聯(lián)想。對(duì)于歸納得出的結(jié)論，要驗(yàn)證它是正確的還是錯(cuò)誤的。只要對(duì)于一個(gè)一般命題在新的特例中仍得以證實(shí)，那么此時(shí)它就會(huì)變得更可信了。

由此可見(jiàn)類(lèi)比歸納的過(guò)程：對(duì)于某個(gè)問(wèn)題，抽取同類(lèi)事物的特征，于是激起某一相似事物的另外一個(gè)問(wèn)題，從不同角度、層次、背景建立類(lèi)比關(guān)系，對(duì)照問(wèn)題是否發(fā)現(xiàn)類(lèi)比關(guān)系。如果有，然后進(jìn)行知識(shí)的遷移、類(lèi)比、歸納、總結(jié)。最后，檢驗(yàn)疑問(wèn)是否解決。

三、類(lèi)比歸納引入數(shù)學(xué)新知識(shí)

類(lèi)比歸納可以使學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)有很好的對(duì)比理解，很容易記憶一些相似的知識(shí)并得到快速的應(yīng)用，常常可以解決一些無(wú)從下手的問(wèn)題。對(duì)于老師，可以在實(shí)際的教學(xué)中突破一些教學(xué)難點(diǎn)，深入淺出地引入一些新概念和新規(guī)律，在教學(xué)中起到事半功倍的效果，是值得運(yùn)用的一種教學(xué)方案。

（一）初等數(shù)學(xué)中互逆運(yùn)算的類(lèi)比歸納

初等數(shù)學(xué)中余弦與反余弦運(yùn)算，余切與反余切運(yùn)算，正切與反正切運(yùn)算有相應(yīng)的恒等式，并二者分別互為逆運(yùn)算。

根據(jù)上面三組互逆運(yùn)算的性質(zhì)，可以把關(guān)于逆運(yùn)算的思想合理地類(lèi)比歸納在微積分上，微分與（不定）積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算，但不同的是在先微分，后積分的運(yùn)算時(shí)，所得結(jié)果要在函數(shù)上再加一個(gè)積分常數(shù)，這是不定積分的性質(zhì)所決定的。

逆運(yùn)算廣泛地存在于數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容之中，上面的互逆運(yùn)算有一定的類(lèi)似之處，但由于各自的性質(zhì)又略有不同。在實(shí)際教學(xué)中，善于運(yùn)用類(lèi)比歸納可以讓同學(xué)們很快了解它們的性質(zhì)，并形象直觀地掌握新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，便于深入理解知識(shí)，不易忘記。對(duì)于上面的逆運(yùn)算可以簡(jiǎn)單地歸納為：如果對(duì)某一事物進(jìn)行某種運(yùn)算后，再做逆運(yùn)算，則得到該事物的回歸，也就是這兩種運(yùn)算的抵消。這種抵消可以運(yùn)用到數(shù)學(xué)中互逆的各種運(yùn)算，也可以用在其它領(lǐng)域中，比如物理學(xué)中的作用力與反作用力的相互抵消。

（二）立體幾何中多面體的類(lèi)比歸納

數(shù)學(xué)上，立體幾何是三維歐氏空間幾何的傳統(tǒng)名稱(chēng)，因?yàn)閷?shí)踐上這大致上就是我們生活的空間。立體幾何是研究空間幾何圖形性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科,它主要是借助圖形（如棱柱、棱錐、圓柱、圓錐及球等等）的各種變換來(lái)研究空間圖形的性質(zhì)。

初學(xué)立體幾何，首先知道每一個(gè)多面體都有面、棱、角，這種模糊的說(shuō)法幾乎每一個(gè)人都有所了解，但大多數(shù)人沒(méi)有認(rèn)真地去深入研究這句話的意義，也沒(méi)有在此基礎(chǔ)上去探究更精確的知識(shí)。從不同角度熟悉一個(gè)多面體的面、棱、角及性質(zhì)后，我們?cè)诮鉀Q復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)才可得心應(yīng)手。

現(xiàn)在我們提出一個(gè)問(wèn)題：人們潛意識(shí)里認(rèn)為一個(gè)多面體的面數(shù)目是隨頂點(diǎn)數(shù)目的增大而增大，是否正確呢？

認(rèn)真地觀察我們熟知的幾個(gè)多面體，例如三棱柱的面數(shù)是五、頂點(diǎn)數(shù)是六、棱的數(shù)目是九；立方體的面數(shù)是六、頂點(diǎn)數(shù)是八、棱的數(shù)目是十二；五棱柱的面數(shù)是七、頂點(diǎn)數(shù)是十、棱的數(shù)目是十五；三棱錐的面數(shù)是四、頂點(diǎn)數(shù)是四、棱的數(shù)目是六；四棱錐的數(shù)面是五、頂點(diǎn)數(shù)是五、棱的數(shù)目是八；五棱錐的面數(shù)是六、頂點(diǎn)數(shù)是六、棱的數(shù)目是十；八面體的面數(shù)是八、頂點(diǎn)數(shù)是六、棱的數(shù)目是十二等等。觀察上面數(shù)據(jù)，是否多面體的面數(shù)隨頂點(diǎn)數(shù)目的增大而增大呢？比較一下，上述問(wèn)題是不成立的，即對(duì)于多面體建立的面數(shù)隨頂點(diǎn)數(shù)增大而增大的規(guī)律是不成立的。它們之間到底有什么樣的關(guān)系呢？通過(guò)觀察，面、頂點(diǎn)和棱都不會(huì)單獨(dú)隨其中任何一個(gè)增大而增大，但是否會(huì)有二者的聯(lián)合增大而增大呢？再次觀察，發(fā)現(xiàn)上面的多面體都符合這樣的規(guī)律，即面數(shù)加頂點(diǎn)數(shù)等于棱數(shù)加二。通過(guò)一般到特殊到類(lèi)比得出一個(gè)關(guān)系，對(duì)于任何多面體來(lái)說(shuō)，面數(shù)加頂點(diǎn)數(shù)等于棱數(shù)加二。對(duì)于歸納出的結(jié)論是否成立，我們得去檢驗(yàn)。

上述已經(jīng)驗(yàn)證了立方體和八面體，用上面類(lèi)比歸納所得的關(guān)系去驗(yàn)證一下十二面體和二十面體。十二面體，有十二個(gè)面，每個(gè)面都是五角形，每個(gè)頂點(diǎn)處有三個(gè)面。十二個(gè)五角形共有六十個(gè)邊，但每個(gè)邊都有兩個(gè)邊重疊，故有三十個(gè)棱。同理，十二面體每個(gè)頂點(diǎn)處有三個(gè)面，十二個(gè)五角形共有六十個(gè)角，但每個(gè)頂點(diǎn)處都有三個(gè)五角形的頂點(diǎn)，故有二十個(gè)頂點(diǎn)。即面數(shù)是十二，頂點(diǎn)數(shù)是二十，棱數(shù)是三十。同理，二十面體有二十個(gè)面，每個(gè)面都是三角形，每個(gè)頂點(diǎn)處有五個(gè)面，故面數(shù)是二十，頂點(diǎn)數(shù)是十二，棱數(shù)是三十。這兩種情形也滿足我們類(lèi)比歸納出的關(guān)系，即面數(shù)加頂點(diǎn)數(shù)等于棱數(shù)加二。

以上只是舉了一些特殊的棱柱和棱錐，那么對(duì)于所有的棱柱和棱錐成立嗎？對(duì)于無(wú)限數(shù)目的多面體也同樣成立，即對(duì)于我們初高中學(xué)習(xí)的各種多面體都成立。

通過(guò)類(lèi)比歸納，我們對(duì)多面體有了一個(gè)更深層次的了解，學(xué)生可以用同樣的方法去研究直線分割平面或平面分割空間等問(wèn)題，對(duì)于以后學(xué)習(xí)立體幾何、直線與平面及直線與圓錐曲線那部分知識(shí)有很大的用處，解決問(wèn)題時(shí)能夠深入了解并熟練運(yùn)用。

（三）數(shù)學(xué)疑難問(wèn)題中的類(lèi)比歸納

數(shù)列問(wèn)題以其多變的形式和靈活的解題方法備受高考、會(huì)考和模擬考試命題者的青睞，歷年來(lái)都是高考命題的“熱點(diǎn)”。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)列既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，常常用到的就是數(shù)學(xué)類(lèi)比歸納思想。

直到今天，對(duì)于數(shù)論中最著名的哥德巴赫猜想，即“每一個(gè)大于四的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)的和”，仍是一個(gè)我們所不能證明也不能推翻的關(guān)于數(shù)的一個(gè)問(wèn)題。對(duì)于它的證明，許多科學(xué)家都是經(jīng)過(guò)類(lèi)比歸納推理的。雖然它導(dǎo)致一些錯(cuò)誤，但是只有在前人的教訓(xùn)及經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上才導(dǎo)致了后來(lái)人對(duì)其更精確的推理，這才是它格外值得珍視的地方。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在此問(wèn)題的研究上取得了國(guó)際最先的研究成果，于1966年證明：“任何充分大的偶數(shù)都是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積。”通常簡(jiǎn)稱(chēng)這個(gè)結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式，稱(chēng)為陳氏定理。他作為數(shù)學(xué)家運(yùn)用類(lèi)比歸納法探究所研究的問(wèn)題，我們也應(yīng)該運(yùn)用到我們的學(xué)習(xí)中，盡量學(xué)會(huì)知識(shí)的類(lèi)比、遷移、歸納總結(jié)，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解及應(yīng)用，起到溫故而知新的作用。

四、小結(jié)

重視加強(qiáng)類(lèi)比歸納思維的訓(xùn)練可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知，并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，做知識(shí)的類(lèi)比、遷移、歸納總結(jié)，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解及應(yīng)用，起到溫故而知新的作用。還可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)性和研究興趣，培養(yǎng)勇于探索精神，形成嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度。在以后的學(xué)習(xí)生活中我們應(yīng)培養(yǎng)類(lèi)比歸納的思想,融會(huì)貫通各個(gè)學(xué)科間的聯(lián)系，如運(yùn)籌學(xué)、化學(xué)、管理、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域，類(lèi)比歸納極大程度上推動(dòng)了這些學(xué)科的發(fā)展，并值得我們?nèi)ミM(jìn)一步研究及應(yīng)用。

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