◆閻家斌 宋叔尼 秦宏超 孫艷蕊

(東北大學(xué)理學(xué)院)

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)和經(jīng)濟管理類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，它不但是學(xué)習(xí)數(shù)值分析、最優(yōu)化方法、離散數(shù)學(xué)和微分方程等數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，也廣泛地應(yīng)用于工程學(xué)、計算機科學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、力學(xué)、信號與信號處理、系統(tǒng)控制、通信、航空等學(xué)科和領(lǐng)域。線性代數(shù)包含行列式、矩陣、向量、線性組合、線性相關(guān)、秩、線性方程組、線性空間、線性變換、基、維數(shù)、坐標(biāo)、向量正交、二次型、慣性指數(shù)等大量的抽象數(shù)學(xué)概念，也包含行列式計算、矩陣求逆、矩陣作初等變換、矩陣和向量組求秩、向量組求極大無關(guān)組、線性方程組求解、線性空間求基、維數(shù)和坐標(biāo)、將矩陣相似對角化、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形等大量的具體計算。由于學(xué)生計算能力較差，邏輯思維能力不是很強，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)的過程中不知所措，學(xué)完之后很快忘記。為了適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程，我們制作了“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”，使學(xué)生可以利用網(wǎng)絡(luò)資源在線進(jìn)行學(xué)習(xí)和測試，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，改善了學(xué)習(xí)效果。

一、“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”的建立背景

由于線性代數(shù)課程中存在大量計算問題。例如，行列式的計算、求矩陣的逆矩陣、對矩陣作初等變換、求矩陣和向量組的秩、求向量組的極大無關(guān)組、求線性方程組的解、求線性空間的基、維數(shù)和坐標(biāo)、將矩陣相似對角化、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等。讓學(xué)生掌握這些問題的計算方法無疑是重要的，也是學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的最基本的要求。然而，由于線性代數(shù)課程課時比較少，學(xué)習(xí)周期比較短，課程中又有很多抽象的概念，使得學(xué)生很難在短時間內(nèi)消化所學(xué)的知識，對這些大量的計算問題也很難找到其中的規(guī)律。又由于眾所周知的原因，現(xiàn)在的線性代數(shù)課程都采用大班上課，學(xué)生和教師溝通的機會相對較少，使得線性代數(shù)課程的教學(xué)效果并不是很好。

為了讓學(xué)生學(xué)好這門課程，任課教師采用一系列教學(xué)方法。比如，按時布置并批改作業(yè)，按時安排課程答疑，但由于學(xué)生常年養(yǎng)成的被動式學(xué)習(xí)方法，答疑時很少有學(xué)生提出具體的問題，作業(yè)也是為了應(yīng)付教師的要求，甚至有不少抄作業(yè)現(xiàn)象，而任課教師很難解決這些問題。要想有效解決這些問題就要對教學(xué)方法作進(jìn)一步改革。

我國大學(xué)應(yīng)當(dāng)扭轉(zhuǎn)重理論教育輕實踐教育的風(fēng)氣。加強實訓(xùn)基地建設(shè)，根據(jù)學(xué)科專業(yè)教育特點，努力在校內(nèi)和校外建立持久穩(wěn)定、質(zhì)量有充分保障的實訓(xùn)基地，使學(xué)生能夠有充分的機會將所學(xué)的理論和知識用于實踐中。原教育部副部長周遠(yuǎn)清教授說:“教學(xué)方法偏死在中國是長期存在的難題。我們提出培養(yǎng)創(chuàng)新能力，如果教學(xué)方法不改革，不能有效地開展啟發(fā)式教學(xué)、案例教學(xué)，如何培養(yǎng)創(chuàng)新人才?”隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，人類社會正在進(jìn)入網(wǎng)絡(luò)信息時代，同時，信息技術(shù)本身也正在對教育的改革產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，并且成為教育現(xiàn)代化的核心和成功的關(guān)鍵。為了適應(yīng)時代的發(fā)展，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源是教學(xué)改革的重要手段，也可以有效提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。在此背景下，我們建立了“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”。

二、“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”的內(nèi)容和功能

由于線性代數(shù)課程中存在大量計算問題，而很多問題都有著內(nèi)在的規(guī)律性。我們將各類具有相同規(guī)律的問題歸納到一起，構(gòu)造成具體的線性代數(shù)問題，其中大量參數(shù)可以隨機生成。這樣，每一個問題又有著大量的隨機性，而求解思路和過程都是固定的，對每個問題都可以給出一個具體的、系統(tǒng)的解題方法，使得每一類問題有一個統(tǒng)一的解題方法，而每一類問題又都有著大量的變化。例如，系統(tǒng)可以隨機生成一個向量組，利用矩陣秩的計算方法求出向量組的秩，再利用向量組的秩判定向量組的線性相關(guān)性，進(jìn)一步求出向量組的一個極大線性無關(guān)組，并把不屬于極大無關(guān)組的向量用極大無關(guān)組線性表示，系統(tǒng)會給出每一步的具體計算過程。由于向量組生成的隨機性，向量組的秩和其它結(jié)果都是變化的，這就解決了線性代數(shù)習(xí)題的單一性，相當(dāng)于給出一個大題庫。通過大量細(xì)致的工作，我們把線性代數(shù)各章內(nèi)容都?xì)w納出一些常見的、典型的、具有一定代表性的問題，組成100分值的計算題，形成了“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”，通過和網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行鏈接，學(xué)生在任何環(huán)境下，只要登錄到校園網(wǎng)進(jìn)入系統(tǒng)就可以進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。

“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”分為在線學(xué)習(xí)和測試兩個功能。進(jìn)入在線學(xué)習(xí)系統(tǒng)，學(xué)生可以按章節(jié)自由生成相應(yīng)題目練習(xí)，系統(tǒng)可以隨時對每個題目給出詳細(xì)的解答方法，學(xué)生可以根據(jù)解題方法分步檢驗自己對相應(yīng)內(nèi)容的掌握情況，系統(tǒng)可以重復(fù)生成同種類型但結(jié)果可能完全不同的其它題目，供學(xué)生練習(xí)。而且可以一直進(jìn)行下去，直到完全掌握題目的解答方法為止。從而達(dá)到學(xué)習(xí)的目的。進(jìn)入測試系統(tǒng)，系統(tǒng)對應(yīng)教材按章分類，每一章對應(yīng)100分值的題目，學(xué)生解答完畢后，只要提交，系統(tǒng)就會自動打分。學(xué)生可以通過打分了解自己對該部分內(nèi)容的掌握情況。系統(tǒng)會自動對所有學(xué)生提交的題目打分并保留結(jié)果，系統(tǒng)也會對所有提交的題目按錯誤進(jìn)行分類保存，教師就可以容易地了解全班學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，教師可以通過查詢結(jié)果，了解學(xué)生對每一類題目的掌握情況，并及時反饋到教學(xué)中，從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

三、“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”在教學(xué)中的應(yīng)用

我們將“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”應(yīng)用到線性代數(shù)課程的教學(xué)中，要求學(xué)生以測試系統(tǒng)題目作為作業(yè)，必需按時提交，而且按系統(tǒng)給出的分?jǐn)?shù)作為平時成績，否則沒有平時成績。這樣就促使學(xué)生必需要作。而由于系統(tǒng)中任何一道題都是隨機生成的，在一段時間內(nèi)生成完全相同的題幾乎是不可能的，這就避免了抄襲作業(yè)的現(xiàn)象。而學(xué)生為了取得較好的平時成績，就要先按學(xué)習(xí)系統(tǒng)題目進(jìn)行練習(xí)，把內(nèi)容掌握以后再進(jìn)入測試系統(tǒng)測試提交，這就增加了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動力。

由于線性代數(shù)課程采用大班教學(xué)，使得教師難于對每個學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，也就很難對每個學(xué)生的學(xué)習(xí)作全面了解。應(yīng)用“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”后，由于系統(tǒng)對提交的內(nèi)容有嚴(yán)格的審核、給分標(biāo)準(zhǔn)，這就代替了教師批改作業(yè)的工作。教師可以隨時進(jìn)入系統(tǒng)查看每個班學(xué)生提交的題目，由于系統(tǒng)會對提交的題目按錯誤進(jìn)行分類保存，教師就可以容易地了解全班學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，減輕了工作強度，也就提高了工作效率。

線性代數(shù)課程涉及學(xué)生專業(yè)很廣，結(jié)合這個特點我們編制了相應(yīng)的教材，教師也根據(jù)不同專業(yè)學(xué)生的特點，引入大量相應(yīng)的應(yīng)用例題，編制了相應(yīng)的多媒體教學(xué)課件。注重引導(dǎo)學(xué)生如何探索和發(fā)現(xiàn)知識，以具體的應(yīng)用實例出發(fā)引入相應(yīng)的概念及解決方法。增加了學(xué)生對課程的興趣和對知識的渴望。

為了更好地體現(xiàn)線性代數(shù)課程與計算機等現(xiàn)代教學(xué)設(shè)備的聯(lián)系，我們還開發(fā)了線性代數(shù)計算機考試系統(tǒng)，系統(tǒng)可以隨機生成不同考題，而試題覆蓋了線性代數(shù)課程的各章節(jié)的內(nèi)容，包含了線性代數(shù)的各類計算方法，完全由學(xué)生自我考核，即提高了學(xué)生的動手能力，也提高了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的興趣，也提高了學(xué)生應(yīng)用計算機解決實際問題的能力。而且試題完全由計算機自動打分，學(xué)生提交試題就能看到自己的成績，并可以看到哪些試題出現(xiàn)了什么樣的錯誤，便于學(xué)生學(xué)習(xí)。

現(xiàn)在，我們有了“線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)”，與教材、多媒體課件以及線性代數(shù)計算機考試系統(tǒng)有機地結(jié)合到一起，形成了完整的教學(xué)、考試體系，而學(xué)生只要登錄到計算機網(wǎng)絡(luò)平臺，就可以同時查看課程的多媒體教學(xué)課件、線性代數(shù)在線智能學(xué)習(xí)系統(tǒng)、線性代數(shù)教學(xué)大綱、線性代數(shù)各年考試試題、線性代數(shù)各年研究生入學(xué)考試試題等學(xué)習(xí)資源。學(xué)生還可以通過提問、留言等形式與教師進(jìn)行溝通，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的興趣。實踐證明，這一套教學(xué)體系得到學(xué)生的歡迎與認(rèn)可，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

從線性代數(shù)課程的角度來看，學(xué)生的創(chuàng)新精神、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)主要通過應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決具體實例來體現(xiàn)。李大潛院士指出:“數(shù)學(xué)的教學(xué)不能和其它科學(xué)和外部世界隔離開來，只是一個勁地在數(shù)學(xué)內(nèi)部的概念、方法和理論中打圈子，這不利于了解數(shù)學(xué)的概念、方法和理論的來龍去脈，不利于啟發(fā)學(xué)生自覺運用數(shù)學(xué)工具來解決各種各樣的現(xiàn)實問題，不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”。在高等學(xué)校，線性代數(shù)教學(xué)涉及專業(yè)廣，涉及學(xué)生人數(shù)眾多，加強課程與計算機的結(jié)合，加強課程的實際應(yīng)用，讓學(xué)生通過具體實踐去認(rèn)識、掌握所學(xué)的知識，并運用所學(xué)的知識去解決實際問題，無疑是重要的，也需要我們?nèi)ミM(jìn)一步探索、實踐。

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