岳 洋

(吉林化工學(xué)院理學(xué)院，吉林吉林132022)

一幅圖像從攝取到編碼傳輸都不可避免地會混入噪聲信號，而這又使得對圖像邊緣的精準(zhǔn)檢測［1］、特征的準(zhǔn)確提?。?］以及壓縮等一系列的后期操作都會受到很大的影響，這就意味著去噪是圖像處理中十分重要的一個環(huán)節(jié).近年來由純粹數(shù)學(xué)里發(fā)展而來的小波變換，因?yàn)榫哂卸喾直媛室约白杂蛇x擇基函數(shù)等特點(diǎn)，使得它在圖像去噪領(lǐng)域發(fā)揮了前所未有的重要作用.

Donoho等人于1995年提出了基于小波變換的軟、硬閾值函數(shù)去噪方法［3］.效果顯著應(yīng)用廣泛.但此方法存在一個明顯的不足:在存在間斷點(diǎn)的范圍內(nèi)出現(xiàn)了Gibbs現(xiàn)象.后來，Coifman與Donoho聯(lián)合提出了平移不變法［4］，即對信號的循環(huán)位移用以消除人造偽影.平移不變法又被Bui和Chen應(yīng)用到多小波［5］，仿真效果表明多小波平移不變法比單小波平移不變法能有更好的去噪效果.之后，基于鄰域系數(shù)的閾值方案被Cai和Silverman［6］提出，比起傳統(tǒng)的逐個小波去噪方法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明此種方法具有一定優(yōu)勢.小波鄰域閾值法后來被Chen和Bui［7］推廣到了多小波，把其應(yīng)用到標(biāo)準(zhǔn)測試圖像中發(fā)現(xiàn)，鄰域多小波法的去噪效果優(yōu)于鄰域單小波去噪法.基于小波系數(shù)在同一子帶的相關(guān)性這一事實(shí)基礎(chǔ)上，Sendui和 Selesnick［8-9］又提出了雙元閾值去噪法.

1 小波閾值去噪的原理

Donoho于1995年所提出的軟、硬閾值函數(shù)法，其算法簡單，去噪效果較好，在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用.正交小波變換能使信號中的能量主要集中在一些大的小波系數(shù)中;但是，噪聲的能量卻在整個小波域內(nèi)分布，所以，信號經(jīng)小波分解后，它的小波系數(shù)值要大于噪聲的小波系數(shù)值.那么就可以理解為，信號的主要信息包含在幅值比較大的小波系數(shù)中，而噪聲的信息則包含在幅值比較小的系數(shù)中.那么，可以通過設(shè)定閾值就可以把包含信號信息的系數(shù)保留，而把大部分的噪聲的小波系數(shù)變?yōu)榱?也就是說，對于那些大于閾值的小波系數(shù)，可以被認(rèn)為是包含有用信息的信號的分量，這是就要把這種小波系數(shù)維持原有的值不變，反之，對于那些小于閾值的小波系數(shù)，則可以被認(rèn)為是由含有噪聲的信號分量變換得到，此時把此種信號去除.此法存在著缺點(diǎn)，軟、硬閾值函數(shù)的光滑性很差，這會使得經(jīng)小波系數(shù)重構(gòu)后的圖像信號產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象［9］，軟閾值函數(shù)中總是有固定的偏差存在于原始信號的小波系數(shù)和經(jīng)閾值函數(shù)作用后的小波系數(shù)，這就使得原始圖像的特征不能很好的得到保留.

在做具體的小波變換之前，要先選擇合適的小波基函數(shù)對圖像進(jìn)行小波分解，獲得其小波系數(shù).設(shè):φ(t)∈L2(R)其傅立葉變換為Ψ(w).當(dāng)滿足條件時，則稱φ(t)為一個基

本小波，將此基本函數(shù)φ(t)做伸縮和平移變換后，就可以得到一個函數(shù)序列:

a，b∈R，a?0，且a為伸縮系數(shù)，b為平移系數(shù).一幅圖像可以看成是一個二維函數(shù)，則它的小波變換為:

和式(2)對應(yīng)的f(x，y)重構(gòu)公式是:

二維離散小波變換的分解與重建都采用Mallat快速算法［10］.

2 閾值函數(shù)的選取

閾值函數(shù)的構(gòu)造是去噪問題的關(guān)鍵所在，還有如何選擇小波基函數(shù)用以分解圖像也十分重要.只有綜合考量這兩方面因素，理想的去噪效果才能實(shí)現(xiàn).

2.1 Donoho的閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù):

2.2 構(gòu)造新的閾值函數(shù)

只是被軟閾值函數(shù)處理過的小波系數(shù)，它與原始信號的小波系數(shù)總存在一個恒定的差值，為了最大限度的保存圖像的原有信息，必須把這個差值變小，但卻不能把其變?yōu)榱?，否則便是硬閾值函數(shù)了，所以，本文構(gòu)造新閾值函數(shù)的出發(fā)點(diǎn)就是讓處理后的小波系數(shù)介于(|wj，k|-λ)與|wj，k|之間.基于上面的分析，用加權(quán)方法來構(gòu)造閾值函數(shù)，其表達(dá)式如下:

其中，wj，k為小波系數(shù)，λ 為閾值

其中，t為任意大于零的常數(shù).

2.3 新閾值函數(shù)與軟、硬閾值函數(shù)的關(guān)系

從圖1可以看出，新的閾值函數(shù)繼承了軟閾值函數(shù)的連續(xù)性，同時光滑性得以改善.考察新閾值函數(shù)的原型:

顯然，

式(10)和(11)說明隨著t→∞，式(6)為軟閾值函數(shù);而隨著t→0，式(6)為硬閾值函數(shù).可見，新閾值函數(shù)是在軟硬閾值函數(shù)之間的一個折中，可以通過t的取值的變化，找到去噪效果好的閾值函數(shù).

圖1 三種閥值函數(shù)的示意圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

為了說明新構(gòu)造的閾值函數(shù)比原來的軟、硬閾值函數(shù)在去噪過程中表現(xiàn)優(yōu)越，本文在MATLAB R2009a中，對一幅通用的圖像分別用新構(gòu)造的閾值函數(shù)與軟、硬閾值函數(shù)進(jìn)行了測試，圖像的原始尺寸為，位灰度圖像，對其加入均值為零，方差為0.02的高斯白噪聲.設(shè)原始圖像為

重構(gòu)圖像為:

通過峰值信噪比(PSNR)、均方誤差(MSE)這兩個指標(biāo)來比較，其表達(dá)式［11，12］為

三種閾值函數(shù)的測試結(jié)果見表1，仿真結(jié)果見圖2.

圖2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

表1 三種去噪方法的比較

4 結(jié) 論

可以看到，相對于軟、硬閾值函數(shù)法，本文構(gòu)造的新型閾值函數(shù)不僅有效地去除了高斯噪聲，而且比較好地保留了圖像的細(xì)節(jié)信息，改善了圖像的峰值信噪比.

［1］張秀蘭.基于MATLAB的數(shù)字圖像的邊緣檢測［J］.吉林化工學(xué)院學(xué)報，2010，27(2):59-61.

［2］甘樹坤，呂穎，呂雪飛，等.人臉檢測中的圖像光照處理研究［J］.吉林化工學(xué)院學(xué)報，2011，28(9):52-55.

［3］D.L.Donoho De-noising by Soft thresholding［J］.IEEE.Trans Inform Theory，1995，41(3):613-627.

［4］R.R.Coifman，D.L.Donoho，Translation invariant denoising，in:Wavelets and Statistics，SpringerLectureNotesinStatistics，vol.103，Springer，New York，1995，pp.125-150.

［5］T.D.Bui，G.Y.Chen，Translation invariant denoising using multiwavelets，IEEE Trans.Signal Process.1998，46(12):3414-3420.

［6］T.T.Cai，B.W.Silverman，Incorporating information on neighbouring coefficients intowavelet estimation，Sankhya:Indian J.Stat.Ser.2001，63(2):127-148.

［7］G.Y.Chen，T.D.Bui，Multiwavelet denoising using neighbouring coefficients，IEEE Signal Process.Lett.2003，10(7):211-214.

［8］L.Sendur，I.W.Selesnick，Bivariate shrinkage functions for wavelet based denoising exploiting interscale dependency，IEEE Trans.Signal Process.2002，50(11):2744-2756.

［9］L.Sendur，I.W.Selesnick，Bivariate shrinkage with local varianceestimation，IEEE Signal Process.Lett.2002，9(12):438-441.

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［11］關(guān)履泰.小波方法與應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［12］潘泉，張磊.小波濾波方法及應(yīng)用［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2005.