郝建忠 楊鎖昌

（軍械工程學(xué)院 石家莊 050003)

1 引言

對(duì)于可靠性、機(jī)動(dòng)性要求較高而又頻繁處于不同儲(chǔ)運(yùn)環(huán)境的導(dǎo)彈裝備，研究導(dǎo)彈儲(chǔ)運(yùn)狀態(tài)監(jiān)測技術(shù)，采取更加完善的狀態(tài)監(jiān)測方式獲取導(dǎo)彈儲(chǔ)運(yùn)過程中溫濕度、姿態(tài)、振動(dòng)沖擊、位置等信息，判斷導(dǎo)彈裝備實(shí)時(shí)狀態(tài)，預(yù)測導(dǎo)彈裝備狀態(tài)變化趨勢，對(duì)降低管理維護(hù)成本，延長服役周期，保障我軍導(dǎo)彈裝備的完好性、可靠性和全壽命周期的出勤率等方面具有重要的研究意義和軍事實(shí)用價(jià)值。

本文對(duì)采集的大量原始狀態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，提出了導(dǎo)彈儲(chǔ)運(yùn)狀態(tài)的新指標(biāo)：預(yù)警率（Missile Predictive Rate，MPR)，用以衡量導(dǎo)彈裝備的全壽命儲(chǔ)運(yùn)狀態(tài)；同時(shí)利用時(shí)間序列分析技術(shù)建立小容量預(yù)警率樣本的短期預(yù)測ARMA模型，實(shí)現(xiàn)預(yù)警率的短期預(yù)測和趨勢分析。

試驗(yàn)結(jié)果表明ARMA模型能夠?qū)︻A(yù)警率的發(fā)展趨勢進(jìn)行快速跟蹤預(yù)測，預(yù)測結(jié)果為導(dǎo)彈裝備管理人員的日常維護(hù)提供參考，有助于實(shí)現(xiàn)對(duì)經(jīng)歷復(fù)雜儲(chǔ)運(yùn)環(huán)境的導(dǎo)彈性能狀況進(jìn)行區(qū)別化質(zhì)量管理。

2 導(dǎo)彈儲(chǔ)運(yùn)狀態(tài)新指標(biāo)

目前我軍導(dǎo)彈裝備的維修方式主要有預(yù)防性維護(hù)、校正性維護(hù)、適應(yīng)性維護(hù)和應(yīng)急維護(hù)（即排除故障)組成（參見國軍標(biāo)GJB368.2－87)。預(yù)防性維護(hù)采用定期檢查保養(yǎng)的方式，校正性維護(hù)主要是對(duì)工作不正常的系統(tǒng)設(shè)備進(jìn)行校正處理，適應(yīng)性維護(hù)根據(jù)環(huán)境變化調(diào)整系統(tǒng)設(shè)備，這三種方式都屬于計(jì)劃性的預(yù)防性維修，而應(yīng)急維護(hù)屬于非計(jì)劃性的事后維修。相鄰兩次預(yù)防性維修的平均時(shí)間間隔稱為預(yù)防性維修周期（MTBMpt)，可分為連續(xù)監(jiān)視型、固定型和更新型。

圖1 典型的超閾值事件

為了更好地利用和分析導(dǎo)彈儲(chǔ)運(yùn)狀態(tài)監(jiān)測系統(tǒng)豐富而詳實(shí)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，必須建立相應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)。以先驗(yàn)知識(shí)及國軍標(biāo)等作為參照，可以對(duì)不同類型導(dǎo)彈裝備在儲(chǔ)運(yùn)過程中的各類監(jiān)測參數(shù)劃分相應(yīng)等級(jí)，當(dāng)參數(shù)超過規(guī)定或正常閾值時(shí)，稱為超閾值事件（Out of Specs，OOS)，如圖1所示為幾種常見的超閾值事件。

定義 單發(fā)導(dǎo)彈包裝箱/桶內(nèi)的監(jiān)測微系統(tǒng)在一個(gè)固定型的預(yù)防性維修周期內(nèi)（通常在檢修的同時(shí)全面調(diào)閱監(jiān)測數(shù)據(jù))監(jiān)測到的某類參數(shù)發(fā)生超閾值事件持續(xù)時(shí)間（或次數(shù))稱為預(yù)警率（MPR)，其表達(dá)式為

對(duì)預(yù)警率的預(yù)測可以有效地分析其變化規(guī)律及相關(guān)趨勢，為下一預(yù)防性維修周期甚至是全壽命的預(yù)防性維修工作安排提供參考。但是預(yù)警率與預(yù)防性維修周期長度，維修周期內(nèi)存儲(chǔ)、運(yùn)輸時(shí)間比，不同任務(wù)導(dǎo)彈裝備所經(jīng)歷的作戰(zhàn)、訓(xùn)練強(qiáng)度，突發(fā)情況等很多因素有關(guān)，由于影響因素多，各因子所占權(quán)值復(fù)雜，直接對(duì)預(yù)警率進(jìn)行基于影響因子的預(yù)測十分困難。而基于歷史數(shù)據(jù)，利用時(shí)序分析方法，對(duì)預(yù)警率進(jìn)行預(yù)測是一種更為直接有效的手段。

3 時(shí)間序列分析與ARMA模型

3.1 時(shí)間序列分析

時(shí)間序列分析主要是指采用參數(shù)模型對(duì)所觀測到的有序的隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與處理的一種數(shù)據(jù)處理方法。時(shí)間序列分析的目的是為了提取序列內(nèi)包含的信息，即為了揭示時(shí)間序列本身的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，了解系統(tǒng)的特性，掌握系統(tǒng)同外界的關(guān)系，推斷系統(tǒng)及其行為的未來情況，從而能為認(rèn)識(shí)客觀世界、適應(yīng)、預(yù)測或改造客觀世界提供條件。

時(shí)序分析起源于預(yù)測，特別是市場經(jīng)濟(jì)的預(yù)測。隨著對(duì)時(shí)序分析理論與應(yīng)用的深入研究，時(shí)序分析在自然學(xué)科、工程技術(shù)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域已取得不少重大成果。目前時(shí)序的工程應(yīng)用可分為六個(gè)方面：1)系統(tǒng)辨別［1］；2)系統(tǒng)分析［2］；3)譜分析［3］；4)模式識(shí)別，尤其是工況監(jiān)測、故障診斷等［4］；5)模態(tài)參數(shù)分析［5］；6)預(yù)測與控制［6］。

3.2 ARMA模型原理

為分析ARMA模型原理，先從簡單的AR模型入手。AR模型描述的是時(shí)間序列｛xt｝自身某一時(shí)刻和前p個(gè)時(shí)刻之間的相關(guān)性，可表示為

at～NID（0，)表示：當(dāng)t固定時(shí)，at為正態(tài)分布N（0，)；當(dāng)t變動(dòng)時(shí)，各at之間彼此獨(dú)立。式（2)中當(dāng)模型滿足一定條件時(shí)稱為p階自回歸模型，記作AR（p)。

AR（p)模型對(duì)于at有兩個(gè)假設(shè)：對(duì)于不同的t值at是獨(dú)立的，at和前時(shí)刻的序列觀測值xt－1、xt－2、……等不相關(guān)。即｛at｝是白噪聲序列。

當(dāng)殘量序列｛at｝本身的相關(guān)性很強(qiáng)，且at與xt之間也有較強(qiáng)的相關(guān)性時(shí)，AR（p)模型不再適用，此時(shí)可用如下線性模型來描述：

即t時(shí)刻的數(shù)值可表示為以前p個(gè)時(shí)刻的數(shù)值xt－1，和現(xiàn)時(shí)及以前q個(gè)時(shí)刻的白噪聲的線性組合。假設(shè)｛xt｝是平穩(wěn)、正態(tài)、零均值序列。

此時(shí)數(shù)學(xué)模型式（3)稱為p階自回歸q階滑動(dòng)平均混合模型，記作ARMA（p，q)。也可用B算子簡記為如下形式：

當(dāng)q＝0時(shí)的特例記作AR（p)模型，簡記為

當(dāng)p＝0時(shí)的特例記作MA（q)模型，簡記為

以上各式中p稱為自回歸階數(shù)，q稱為滑動(dòng)平均階數(shù)，都可以在正整數(shù)范圍內(nèi)任??；φj稱為自回歸系數(shù)，是AR部分的特征根；θi稱為滑動(dòng)平均系數(shù)，是MA部分的特征根，兩者均為實(shí)參數(shù)。

3.3 ARMA模型建模方法

采用ARMA模型進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)包括以下步驟：數(shù)據(jù)的采集、檢驗(yàn)與預(yù)處理、模型形式、階數(shù)確定、模型參數(shù)φj和θi的估計(jì)、模型的適用性檢驗(yàn)、模型參數(shù)的實(shí)時(shí)遞推估計(jì)、預(yù)測與控制等。

3.3.1 數(shù)據(jù)的采集、檢驗(yàn)與預(yù)處理

該過程主要采集系統(tǒng)的輸出信號(hào)，得到觀測時(shí)間序列｛xt｝，按照 ARMA模型對(duì)｛xt｝的要求進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)、正態(tài)性檢驗(yàn)和零均值檢驗(yàn)。數(shù)據(jù)預(yù)處理是為了得到平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時(shí)序，通常包括提取趨勢項(xiàng)、零化處理和標(biāo)準(zhǔn)化處理。

3.3.2 模型形式階數(shù)確定

參數(shù)估計(jì)總是在某一階次下進(jìn)行的，故需要先對(duì)模型形式、階數(shù)進(jìn)行預(yù)估或確定。常見的識(shí)別方法如BoxJenkins法，即根據(jù)樣本自相關(guān)、偏相關(guān)函數(shù)的截尾、拖尾性初步判斷系列所適合的模型類型，這種方法可以對(duì)AR、MA、以及低階ARMA模型進(jìn)行初步識(shí)別，如表1所示。

表1 ARMA模型形式判定與ACF、PACF關(guān)系

模型形式選定后，需要對(duì)模型階數(shù)進(jìn)行確定。常用的模型階數(shù)選擇準(zhǔn)則有F檢驗(yàn)法、白噪聲檢驗(yàn)準(zhǔn)則、殘余平方和檢驗(yàn)準(zhǔn)則、延伸自相關(guān)函數(shù)定階法、Akaike信息檢驗(yàn)準(zhǔn)則的FPE（Final Prediction Error)、AIC（Akaike Information Criterion)、BIC（Bayesian Information Criterion)。通過給定的一系列（p，q)值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的殘差方差、FPE、AIC及BIC值，其最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的（p，q)即為模型最佳階次。

AIC最小信息準(zhǔn)則適用于樣本數(shù)據(jù)量較少的AR、MA、ARMA模型的定階。設(shè)｛xt：1≤t≤N｝為一隨機(jī)時(shí)間序列，AIC準(zhǔn)則利用似然函數(shù)估計(jì)值最大的原則來確定模型的階數(shù)，其階數(shù)上限 Max（N)一般取為（N/3)～（2 N/3)之間的整數(shù)、N/10、ln（N)或 N（1/2)，視具體序列而定。

3.3.3 模型參數(shù)φj和θi的估計(jì)

ARMA模型參數(shù)估計(jì)方法大致可分為三類：時(shí)序理論估計(jì)方法，優(yōu)化理論估計(jì)方法，控制理論估計(jì)方法［7］。根據(jù)時(shí)間序列特點(diǎn)進(jìn)行選擇。ARMA模型參數(shù)估計(jì)中最為困難的是MA部分θi的估計(jì)，相關(guān)研究可參考文獻(xiàn)［8～9］。

3.3.4 模型適用性檢驗(yàn)

模型適用性檢驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是正確地確定出模型階次p、q，最根本的檢驗(yàn)準(zhǔn)則是檢驗(yàn)｛at｝是否為白噪聲?？衫幂^為便捷的頻譜分析法對(duì)時(shí)間序列ARMA模型進(jìn)行檢驗(yàn)，比較實(shí)際樣本的譜密度與ARMA模型生成的譜密度的一致性，所以用頻譜分析法驗(yàn)證模型需要首先估計(jì)時(shí)間序列樣本的功率譜和模型生成的功率譜，然后根據(jù)兩者功率譜的異同來判斷模型設(shè)定是否正確。

3.3.5 模型參數(shù)的實(shí)時(shí)遞推估計(jì)

指在采集數(shù)據(jù)后，根據(jù)新數(shù)據(jù)所提供的信息修改原來估計(jì)的模型參數(shù)，而不是再重新進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，常用于工況監(jiān)測、故障診斷、追蹤時(shí)變系統(tǒng)等場合。實(shí)時(shí)估計(jì)不斷地引入系統(tǒng)輸出的新數(shù)據(jù)，修改上一步建模得到的模型參數(shù)，使得參數(shù)的估計(jì)值不斷接近真值，提高模型的準(zhǔn)確度。

3.3.6 預(yù)測與控制

與控制理論結(jié)合，用于工程系統(tǒng)的預(yù)測與控制是建模的實(shí)用價(jià)值體現(xiàn)，而對(duì)于ARMA模型的最佳預(yù)測與最佳控制常作為時(shí)序方法在工程應(yīng)用中的主要目的［10］。

記t＋l時(shí)刻的實(shí)際值為xt＋l，又由于一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列總可以由一系列白噪聲｛at｝的線性組合表示，即：

式中，Gj是ARMA模型的Green函數(shù)。

改寫xt為xt＋l并展開可知：

式（8)中，et（l)不可計(jì)算，為向前第l步的預(yù)測誤差（l)可計(jì)算，為向前第l步的預(yù)測值，也稱為最佳預(yù)測，取值等于在t時(shí)刻對(duì)xt＋l的數(shù)學(xué)期望。

圖2 ARMA模型建模流程

在基于ARMA模型的預(yù)測方法中，l步預(yù)測表示根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻t及以前各時(shí)刻序列預(yù)測未來t＋l時(shí)刻的序列取值估計(jì)。由于l步預(yù)測即為l次一步預(yù)測值的遞推計(jì)算結(jié)果，雖預(yù)測步數(shù)l越大預(yù)測長度越長，但如果預(yù)測的步數(shù)越大，預(yù)測值與實(shí)際值誤差越大。較為常用的一步預(yù)測的預(yù)測誤差即為模型的殘差at，其方差即為模型殘差的方差，故一步預(yù)測時(shí)間序列未來取值的預(yù)測值與ARMA模型對(duì)已知時(shí)間序列的擬合值在計(jì)算方法上來說是等效的。多步預(yù)測可由一步預(yù)測遞推計(jì)算，在Matlab系統(tǒng)識(shí)別工具箱內(nèi)主要有predict.m和compare.m函數(shù)等可實(shí)現(xiàn)對(duì)序列未來取值的預(yù)測。

綜上，ARMA模型建模方法可總結(jié)為如圖2所示流程。

4 基于ARMA模型的小容量預(yù)警率樣本的短期預(yù)測

針對(duì)現(xiàn)有預(yù)警率數(shù)據(jù)量較少的數(shù)據(jù)特征，根據(jù)預(yù)警率時(shí)間序列數(shù)據(jù)（超閾值事件次數(shù))，基于ARMA預(yù)測模型對(duì)導(dǎo)彈預(yù)警率數(shù)據(jù)特征進(jìn)行分析預(yù)測，結(jié)合后續(xù)實(shí)際預(yù)警率數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的可靠性和準(zhǔn)確度。

圖3 預(yù)警率樣本序列（a)及其相關(guān)函數(shù)（b)

以圖3某類預(yù)警率樣本序列為例，由于樣本預(yù)警率數(shù)據(jù)較少并且現(xiàn)有數(shù)據(jù)尚未形成曲線特征等原因，對(duì)樣本序列尚無法應(yīng)用分解分析法或回歸分析法進(jìn)行預(yù)測，這正是ARMA模型的優(yōu)勢所在。觀察預(yù)警率樣本及其相關(guān)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)沒有明顯的周期性變化趨勢，因此僅需進(jìn)行零均值化處理；并且序列所有自相關(guān)函數(shù)都落入了置信區(qū)間，且逐漸趨向于0，可見該序列具有隨機(jī)性和平穩(wěn)性的結(jié)論，并得知該序列的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，可以建立AR（p)模型。

利用樣本前20個(gè)MTBMpt數(shù)據(jù)作為建模樣本，采用Levison算法和AIC準(zhǔn)則進(jìn)行AR建模和模型的適用性檢驗(yàn)，估計(jì) AR（1)、AR（2)、AR（3)、AR（4)模型參數(shù)如表2所示。

表2 樣本容量20時(shí)AR（p)模型參數(shù)估計(jì)

由表2可知AR（1)模型是AIC準(zhǔn)則下的最佳模型。在樣本容量20不變的條件下使用該模型進(jìn)行多步預(yù)測，測試其平均相對(duì)誤差如表3所示。

表3 預(yù)測步數(shù)與平均相對(duì)誤差的關(guān)系

由表3可知，由于預(yù)警率樣本容量較小，在進(jìn)行多步預(yù)測時(shí)，預(yù)測的平均相對(duì)誤差隨著步數(shù)增加而增大。這是由于若對(duì)前一步預(yù)測值進(jìn)行校正則已建立的模型的適用性降低，若不校正則前一步預(yù)測誤差會(huì)積累，兩種情況下預(yù)測誤差都會(huì)變大。步數(shù)較大時(shí)誤差過大，對(duì)小容量序列的預(yù)測結(jié)果沒有實(shí)際意義。

下面討論該模型在樣本容量變化過程中一步預(yù)測，即小容量預(yù)警率的短期預(yù)測。此時(shí)由于引入的新樣本相對(duì)于較小容量的原序列其對(duì)于模型參數(shù)估計(jì)的影響不可忽略，應(yīng)進(jìn)行重新建模。

表4 樣本容量與預(yù)測誤差的關(guān)系

由表4可知，隨著預(yù)警率樣本的積累，AR模型參數(shù)逐漸增大，說明序列數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性逐漸顯現(xiàn)；同時(shí)一步預(yù)測精度逐步提高，預(yù)測結(jié)果的參考價(jià)值也隨著增大。上述結(jié)果表明AR（1)模型能夠?qū)︻A(yù)警率數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的發(fā)展趨勢，在保證較高預(yù)測精度的同時(shí)能夠快速跟蹤預(yù)測。

5 結(jié)語

本文以大量導(dǎo)彈儲(chǔ)運(yùn)狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，提出了導(dǎo)彈儲(chǔ)運(yùn)狀態(tài)的預(yù)警率指標(biāo)，利用ARMA模型建立該指標(biāo)的預(yù)測模型，論述了AR（p)模型的階數(shù)判斷和參數(shù)估計(jì)方法，分析了模型一步預(yù)測及多步預(yù)測的預(yù)測精度，試驗(yàn)結(jié)果表明AR（1)模型能夠?qū)︻A(yù)警率的發(fā)展趨勢進(jìn)行快速跟蹤預(yù)測，并保證12%左右的較高預(yù)測精度。預(yù)測結(jié)果有助于部隊(duì)預(yù)先對(duì)導(dǎo)彈裝備的檢修保養(yǎng)工作進(jìn)行更加及時(shí)、合理地安排計(jì)劃，有助于實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈裝備的區(qū)別化質(zhì)量管理。

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