楊雨，陸宇平，戴正升

(南京航空航天大學自動化學院，江蘇南京210016)

0 引言

大型運輸機一般擁有非常大的翼展，且機翼有一定的下反角，使得飛機執(zhí)行超低空空投任務時機翼相對于飛機質(zhì)心距離地面更近。由于太陽照射等因素，低空氣流相對于高空更加復雜，飛機易受到強側(cè)風影響［1-3］，一旦控制律不能對飛機的軌跡實施良好的控制，會使飛機偏離空投區(qū)域，錯過空投機會，且姿態(tài)不穩(wěn)定可能導致翼尖直接觸地，致使飛機墜毀。理想飛行情況下，飛機執(zhí)行超低空空投任務時橫側(cè)向應滿足:(1)飛機地速與空投區(qū)域中心線方向一致;(2)飛機相對目標空投區(qū)域的側(cè)向偏移為0;(3)機體軸與目標空投區(qū)域中心線方向一致;(4)飛機的滾轉(zhuǎn)角為0°，以避免大翼展飛機翼尖觸地。但多數(shù)情況下，飛機幾乎不能在理想狀況下飛行，因而在橫側(cè)向上對飛機姿態(tài)的要求也會改變，側(cè)向偏離和航跡偏角應根據(jù)目標空投區(qū)域具體情況適當修改，在飛機進入空投段時可適當放寬偏航角來進行抗側(cè)風控制，此外，考慮到空投區(qū)域地面可能會有起伏，且飛機高度并不穩(wěn)定，所以需在橫側(cè)向留有一定余度，這將進一步減小飛機允許的最大滾轉(zhuǎn)角。

飛機在正常的低空飛行和著陸的抗側(cè)風控制律設計上已比較成熟，主要根據(jù)飛機的橫側(cè)向控制目的設計基于側(cè)滑法和側(cè)航法的橫側(cè)向控制系統(tǒng)，同時，針對可能提供直接側(cè)力的控制面設計的直接側(cè)力法，都取得了較好的控制效果［4-5］。

本文以超低空空投橫側(cè)向非線性模型及紊流模型為基礎(chǔ)設計了PID控制器和橫側(cè)向抗側(cè)風控制器，仿真結(jié)果表明，具有更理想的控制效果。

1 數(shù)學模型

分析飛機的動力學與運動學方程［6］，結(jié)合飛機空投時的受力情況，可建立飛機橫側(cè)向數(shù)學模型如下:

當貨物移動時，式(1)中:

式中，m1為飛機自身質(zhì)量;m2為貨物質(zhì)量;f2為貨物對飛機的作用力在機體坐標系y軸的分量;r1，r3分別為貨物質(zhì)心相對飛機質(zhì)心的位移在機體坐標系x軸和z軸的分量;Tpy為牽引傘拉力在機體坐標系y軸的分量。其它參數(shù)含義見文獻［6］。

2 基于側(cè)航法的PID控制器設計及仿真

2.1 控制器設計

橫側(cè)向飛行模態(tài)控制律設計均以飛機增穩(wěn)系統(tǒng)為內(nèi)回路，內(nèi)回路結(jié)合側(cè)滑法控制律，在副翼通道采用側(cè)滑角反饋，方向舵通道采用側(cè)滑角和偏航角速率的綜合反饋，目的是改善橫側(cè)向飛行品質(zhì)，以滿足飛行品質(zhì)中關(guān)于荷蘭滾阻尼和頻率、滾轉(zhuǎn)模態(tài)時間常數(shù)和螺旋模態(tài)時間常數(shù)的要求，控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 內(nèi)回路控制結(jié)構(gòu)圖

圖中，Gδ(s)為舵機傳遞函數(shù);GT(s)為清洗網(wǎng)絡。此時控制律可以用下式表示:

以圖1為內(nèi)回路，利用滾轉(zhuǎn)角反饋的PID控制，實現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角保持，控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 滾轉(zhuǎn)角保持控制結(jié)構(gòu)圖

最后側(cè)向偏離的控制通過把滾轉(zhuǎn)角保持回路作為內(nèi)回路，通過PD控制來實現(xiàn)，為了保持空投過程的滾轉(zhuǎn)角，在滾轉(zhuǎn)角命令上加入飽和環(huán)節(jié)進行限制，其控制律結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 外回路控制結(jié)構(gòu)圖

在方向舵通道不做任何改變，仍保持增穩(wěn)回路。主要通過副翼通道控制飛機的側(cè)向偏離，同時對滾轉(zhuǎn)角指令進行限制，也限制了飛機的滾轉(zhuǎn)角。

2.2 數(shù)值仿真

假設飛機重120 t，貨物重20 t，飛行速度Ma=0.23。根據(jù)飛行品質(zhì)設置橫側(cè)向增穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)，令Gδ(s)=1/(10s+1)，GT(s)=s/(s+1)，Kaβ=1.117，。滾轉(zhuǎn)角保持回路的PID控制參數(shù)設置為:Kpφ=15.7，Kiφ=0.35，Kdφ=16。在滾轉(zhuǎn)角保持回路基礎(chǔ)上設計側(cè)向偏離回路，PD控制器參數(shù)選取為:Kpy=1.1，Kdy=4.2。

在模型中加入大氣擾動來對橫側(cè)向控制系統(tǒng)抗側(cè)風進行仿真。令側(cè)向偏離指令為零，滾轉(zhuǎn)角限制在±5°。飛機側(cè)向偏離、滾轉(zhuǎn)角、偏航角、側(cè)滑角仿真曲線如圖4所示。

圖4 仿真曲線

從圖4中可以看出，飛機機頭偏轉(zhuǎn)了一個偏航角來抵抗側(cè)風，滾轉(zhuǎn)角和側(cè)滑角都穩(wěn)定到0°，滾轉(zhuǎn)角最大偏轉(zhuǎn)已經(jīng)接近3°，側(cè)向偏離也穩(wěn)定到0 m。對比C-130對于超低空空投側(cè)風的要求，6 m/s的側(cè)風在超低空空投中屬于較強的側(cè)風，所以滾轉(zhuǎn)角已經(jīng)偏大。

系統(tǒng)的副翼和方向舵的輸入曲線如圖5所示。

圖5 舵面的輸入曲線

由以上仿真結(jié)果可知，基于側(cè)航法設計的控制律使飛機在橫側(cè)向紊流和常值風擾動下偏轉(zhuǎn)一定的偏航角來對抗側(cè)風，飛機的側(cè)向位移和滾轉(zhuǎn)角都能回到初值0，使飛機對準目標空投區(qū)域并保持飛機水平。需說明的是，以上仿真中飛機帶貨物并進行空投，所以完全可反映空投時飛機的真實飛行狀態(tài)。從仿真曲線可以看出，基于側(cè)航法對抗側(cè)風時，副翼是主要的控制舵面，方向舵只是予以輔助，轉(zhuǎn)動幅度很小。

3 基于動態(tài)逆的抗側(cè)風控制器設計及仿真

基于側(cè)航法對抗側(cè)風時，主要利用了副翼通道，舵面偏轉(zhuǎn)很大，且滾轉(zhuǎn)角瞬時值偏大，下面設計一種基于最優(yōu)調(diào)節(jié)器的動態(tài)逆控制器，在利用副翼的基礎(chǔ)上，同時利用方向舵通道以減小滾轉(zhuǎn)角的瞬時值。

3.1 橫側(cè)向模型的精確線性化

由于非線性系統(tǒng)不能像線性系統(tǒng)那樣得到狀態(tài)的解析表達式，在一定條件下通過狀態(tài)和輸入變量的適當變化實現(xiàn)所有或部分狀態(tài)的線性化，從而將復雜的非線性控制系統(tǒng)設計問題轉(zhuǎn)化為簡單的線性系統(tǒng)設計問題。

為實現(xiàn)模型精確線性化，需利用非線性系統(tǒng)分析中的重要概念和運算符號:李導數(shù)和李括號，這將在后續(xù)的分析中大量應用，詳細定義見文獻［7］。

考慮輸入輸出維數(shù)相等的系統(tǒng)如下式:

式中，x∈Rn，u∈Rm及y∈Rm分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、輸入向量和輸出向量;f(x)為n維充分光滑的向量場;G(x)=(g1(x)，…，gm(x))，gi(i=1，…，m)為n維充分光滑的向量場;H(x)=(h1(x)，…，hm(x))，hi(i=1，…，m)為充分光滑的標量函數(shù)。

對于非線性系統(tǒng)式(4)，系統(tǒng)中第j個輸出yj對時間的導數(shù)為:

在上式中，如果所有Lgihj≡0，則導數(shù)與控制無關(guān)。若γj使導數(shù) y(γj)j至少依賴一個輸入的最小正數(shù)，即:

若如上定義的相對階向量有定義，則式(5)可表示為:

由于矩陣A(x)可逆，可取狀態(tài)反饋控制律為:

可以得到輸入/輸出的動態(tài)方程為:

那么，通過輸入/輸出之間的精確線性化后所得的反饋表達式(9)就是原非線性系統(tǒng)式(4)的逆系統(tǒng)，如果將式(8)的輸出看成式(7)的輸入，可得到式(9)，從而實現(xiàn)對非線性系統(tǒng)式(4)的動態(tài)逆控制［8］。同時，通過逆控制作用，還實現(xiàn)了對非線性系統(tǒng)的輸入/輸出解耦，因此矩陣A(x)也稱為解耦矩陣。

從式(2)中可以看出，r·1，Tpy對于橫側(cè)向的影響有限，令r·1=Tpy=0。式(1)中，側(cè)力 C、滾轉(zhuǎn)力矩L、偏航力矩N可以通過相關(guān)的側(cè)力導數(shù)、滾轉(zhuǎn)力矩導數(shù)和偏航力矩導數(shù)計算。

把飛機橫側(cè)向模型化作式(4)的形式，可以得到:將各導數(shù)代入模型并展開可得到上式的各個量。

系統(tǒng)的輸入只有升降舵和副翼，考慮到超低空空投時橫側(cè)向的控制目標，飛機滾轉(zhuǎn)角和側(cè)向偏離是決定空投能否成功的關(guān)鍵變量，所以把滾轉(zhuǎn)角和側(cè)向偏離作為輸出進行輸入/輸出線性化。經(jīng)計算:Lg1Lfh2≠0，Lg2Lfh2≠0，那么 γ2=1。同理可得 γ6=2。

代入式(7)得:

取狀態(tài)反饋控制律為:

可以得到輸入/輸出的動態(tài)方程為:

3.2 動態(tài)逆控制器設計

對橫側(cè)向定義向量 x=［x1，x2］T，其中:

式中，φd為給定的滾轉(zhuǎn)角值，控制目標為0。

對式(14)作微分運算，可得到:

式中，u1=

那么，如果能夠得到u1，u2的表達式，就可以得到動態(tài)逆控制器，考慮到便于計算和方便應用，使用最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器來求解，其表達式如下:

式中，矩陣P1，P2滿足以下黎卡提矩陣方程;R1，R2為選定的正定對稱矩陣。

那么控制器的輸入可以表達為:

最后得到橫側(cè)向抗側(cè)風動態(tài)逆控制律為:

控制律結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 動態(tài)逆控制器結(jié)構(gòu)圖

需要說明的是，系統(tǒng)需要貨物的位置作為輸入，這里把貨物的位置設定為初始位置，如果貨物的位置和速度都可以測量，則可以直接代入方程，如果不能測量，那么可以代入貨物的初始位置，不做改變。

3.3 仿真結(jié)果

經(jīng)過對飛機風洞數(shù)據(jù)分析和擬合，得到在h=5 m，Ma=0.23的狀態(tài)飛行時，飛機橫側(cè)向氣動導數(shù)如下:CYβ=－1.575 2，CYˉp=CYˉr=0，CYδr=－0.008，Clβ=－0.201，Clˉp=－0.182 3，Clˉr=－0.073 6，Clδr=－0.049，Clδa=0.001 1，Cnβ=－0.201，Cnˉp=0，Cnˉr= － 0.003 2，Cnδr= － 0.090 2，Cnδa=0。

飛機的轉(zhuǎn)動慣量為:Ix=7 300 000 kg·m·s2，Iz=15 800 000 kg·m·s2，α0=θ0=1.022 6°。給定的滾轉(zhuǎn)角和側(cè)向偏離均為零。最優(yōu)調(diào)節(jié)器的參數(shù)選取如下:

在大氣擾動有紊流和6 m/s側(cè)風的環(huán)境下進行仿真。仿真曲線如圖7所示。

從圖中可以看出，在相同的側(cè)風干擾下，滾轉(zhuǎn)角峰值幾乎是側(cè)航法的一半，原因在于系統(tǒng)的輸入上，方向舵在有側(cè)風干擾時也做出較大偏轉(zhuǎn)來減小側(cè)風的影響，同時系統(tǒng)能夠很快達到穩(wěn)定，而且對于紊流的抑制也表現(xiàn)出非常好的穩(wěn)定性，有紊流干擾時，并不需要副翼來回偏轉(zhuǎn)用以對抗紊流帶來的影響。

圖7 仿真曲線

4 結(jié)束語

本文設計的兩種控制器均能消除橫側(cè)向紊流及常值風影響，避免了因滾轉(zhuǎn)角過大使飛機翼尖觸地，確保貨物順利出艙，并使貨物空投側(cè)向偏離較小。而基于最優(yōu)調(diào)節(jié)器的動態(tài)逆控制器比基于側(cè)航法的PID控制器更能減小滾轉(zhuǎn)角的幅值，且側(cè)向偏離和偏航角能很快達到穩(wěn)定，同時副翼不需要來回較大偏轉(zhuǎn)，具有更好的控制效果。

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