胡 榮,夏洪山,姜 雨

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院,南京210016)

基于差異化的航空公司動態(tài)價格競爭的復(fù)雜性

胡 榮*,夏洪山,姜 雨

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院,南京210016)

為深入分析航空公司動態(tài)價格競爭的復(fù)雜性,運用非線性動力學(xué)的分支理論,構(gòu)建了基于差異化的航空公司動態(tài)價格競爭模型,依據(jù)動力學(xué)穩(wěn)定性判定條件,討論了該模型均衡點的存在性、存在個數(shù)與穩(wěn)定性,數(shù)值仿真了不同條件下模型復(fù)雜的動力學(xué)行為.仿真結(jié)果表明,航空公司價格調(diào)整速度對模型的穩(wěn)定性有明顯的影響,一旦價格調(diào)整速度超過某一臨界值,系統(tǒng)將表現(xiàn)出分岔、混沌等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象;與Nash均衡利潤相比,在混沌狀態(tài)下航空公司的利潤均顯著下降;差異化戰(zhàn)略對航空公司定價、利潤有重要影響,保持和加強對競爭對手的差異化優(yōu)勢有助于自身獲得更大的市場競爭優(yōu)勢.

航空運輸;價格競爭;分支理論;航空公司;復(fù)雜性

1 引 言

由于當(dāng)前國內(nèi)航空公司對機票代理的嚴重依賴、對價格管控水平滯后于行業(yè)的價格放松機制,以及航權(quán)分配缺乏標準規(guī)則等因素,使得航空公司迫于競爭壓力,常常運用價格手段來打擊競爭對手、擴大市場份額,這往往會引發(fā)價格戰(zhàn),造成市場競爭秩序混亂,航空公司利益受損[1].國內(nèi)航空運輸市場主要由國航、南航、東航等少數(shù)幾個航空公司所占據(jù),屬于典型的寡頭壟斷市場.在這種市場結(jié)構(gòu)下,航空公司的定價決策不僅會影響到競爭對手的定價行為,甚至?xí)绊懻麄€市場的結(jié)構(gòu).因此,航空公司在決定定價策略時,都要考慮到競爭對手對自身企業(yè)競爭策略的態(tài)度和反應(yīng).博弈理論為研究這類問題提供了有效的途徑.

近年來,國內(nèi)外很多學(xué)者利用博弈理論研究航空運輸市場的定價與經(jīng)營問題.文獻[2]討論了兩個航空公司同時定價與序貫定價的非合作博弈模型;文獻[3]構(gòu)建了期權(quán)定價的Stackelberg博弈模型,分析了航空公司的最優(yōu)定價決策;文獻[4]建立了兩階段的運力期權(quán)定價模型,研究了航空公司等定價決策;文獻[5]研究了不同座位配置規(guī)則下的航空公司定價問題;文獻[6]分別構(gòu)建了完全信息和不完全信息的價格競爭博弈模型,分析了航空公司之間惡性價格競爭的緣由;文獻[7]運用Hotelling模型研究了航空公司定價問題;文獻[8]運用博弈理論研究了政府對航空價格管制的問題.還有很多學(xué)者研究了基于收益管理的一般價格策略、實時動態(tài)定價、確定型和隨機性需求定價、同質(zhì)產(chǎn)品的動態(tài)定價及航空定價聯(lián)盟等問題[9-11].

縱觀國內(nèi)外航空公司價格競爭的相關(guān)文獻,當(dāng)前尚有如下值得進一步研究的內(nèi)容:一是幾乎所有的文獻均假設(shè)航空公司在價格競爭決策中具有完全理性.但在實際中,航空公司不可能了解足夠、完全的市場信息,價格競爭決策只能是有限理性的;二是大多數(shù)文獻假設(shè)航空公司是同質(zhì)的,提供的產(chǎn)品不存在差異化,但考慮到航線網(wǎng)絡(luò)、服務(wù)質(zhì)量、營銷渠道等因素,幾乎沒有能提供完全相同產(chǎn)品的航空公司;三是大多數(shù)文獻僅對航空公司價格競爭模型進行了靜態(tài)博弈分析,但由于決策的有限理性,這就決定了航空公司之間的價格競爭需要經(jīng)過重復(fù)多次的價格博弈逐步實現(xiàn)市場均衡.

因此,基于上述三點,同時考慮到我國目前的航空需求仍是比較缺乏彈性的[8],本文運用平均價格定價模型,構(gòu)建基于差異化和有限理性的航空公司動態(tài)價格競爭模型,根據(jù)非線性動力學(xué)理論,分析動態(tài)價格競爭模型均衡點的存在性與穩(wěn)定性,并仿真模擬不同市場參數(shù)條件下的航空公司動態(tài)行為.

2 基本模型

假定某一航空運輸市場中僅有兩家航空公司進行重復(fù)多次的動態(tài)價格競爭,不妨設(shè)第i家航空公司在時期 t的機票價格為 pi(t),旅客流量為qi(t),其中i=1,2,t=0,1,2,…,下同.由Dowrick及Raju提出的消費者效用及需求函數(shù),可得出航空運輸市場的市場需求函數(shù)

式中 ai表示市場對航空公司i的需求水平,ai＞0(i=1,2);bi表示價格敏感系數(shù),該系數(shù)數(shù)值越大表明需求的價格彈性越大,bi＞0(i=1,2);θi表示差異化系數(shù),其反映的是航空公司之間的差異化程度,θi＞0(i=1,2).具體而言,差異化系數(shù)θ1表示第2家航空公司對第1家航空公司的差異化程度,θ1越小表明兩者差異化程度越大,替代性越小;當(dāng)θ1=0時,表示兩者提供的產(chǎn)品完全不相關(guān),此時第2家航空公司對第1家航空公司的差異化程度最大,替代性最小.一般而言,有0＜θi＜bi(i= 1,2),這意味著某航空公司自己的價格影響大于交叉價格的影響.為更清楚考察差異化對航空公司價格競爭的影響且不失一般性,我們令a1=a2,b1=b2, θ1≠θ2,則市場需求函數(shù)為

假設(shè)兩家航空公司的成本函數(shù)均為線性形式,即Ci=ciqi.則根據(jù)上述條件,航空公司在時期t的利潤函數(shù)為

式中 i,j=1,2,i≠j.對于任意給定的時期t,對Πi(p1,p2)關(guān)于pi求偏導(dǎo),可得到第i家航空公司

由式(4)可以進一步求得航空公司i面對競爭對手航空公司j的最優(yōu)價格反應(yīng)決策為在當(dāng)期的邊際利潤為

式(5)表示的是航空公司i具有完全理性時的最優(yōu)價格反應(yīng)決策.所以式(5)描述的最優(yōu)反應(yīng)決策也可稱為“完美”決策.

由于航空公司在價格競爭決策中的有限理性,需要不斷地對價格進行調(diào)整,通過多次的價格競爭最終達到均衡狀態(tài).本文假定兩家航空公司均采用“短視”調(diào)整機制,即航空公司基于上期價格競爭的邊際利潤情況,對其本期價格決策進行如下的動態(tài)調(diào)整:在時期t,如果估計的邊際利潤是正(負)的,那么該航空公司將提高(降低)第t+1期的價格.則有

式中 βi表示第i家航空公司的價格調(diào)整速度,βi＞0,其反映了該航空公司對邊際利潤信號的反應(yīng)速度.

由式(4)、式(6),得到具有差異化和有限理性的航空公司動態(tài)價格競爭模型

3 模型分析

由于式(7)描述的是航空公司動態(tài)價格博弈問題,因此只有當(dāng)均衡點非負時才有現(xiàn)實意義.故在式(7)中令pi(t+1)= pi(t),可得如下非線性代數(shù)

式(8)共有4個均衡點:E0=(0,0),E1=(0,

其中

因為0＜θi＜b(i=1,2),則有4b2-θ1θ2＞0,因此p*i＞0.顯然,E0,E1,E2為有界均衡點,E*為Nash均衡點.根據(jù)動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定定理及JULY條件易得如下定理[12,13].

定理1式(7)的有界均衡點E0,E1,E2是不穩(wěn)定均衡點.

定理2當(dāng)參數(shù)滿足4b(β1p*1+β2p*2)-4＜(4b2-θ1θ2)β1β2p*1p*2＜2b(β1p*1+β2p*2)的條件時,Nash均衡點E*是式(7)的穩(wěn)定點.

由于兩家航空公司都是基于有限理性做出價格競爭決策的,因此市場價格不可能立即達到Nash均衡狀態(tài),需要進行反復(fù)的博弈,最終才能達到平衡.由上文分析可知,一旦某個航空公司,或者兩個航空公司的價格調(diào)整速度過快,使得β1、β2超出了定理2的條件,則都會導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定.但β1、β2的不同取值不會改變價格的Nash均衡點,即對點E*的取值沒有影響.

4 數(shù)值仿真

為更好地了解式(7)的動態(tài)行為,更清晰地描繪差異化對航空公司價格競爭的影響,本節(jié)將對式(7)進行數(shù)值仿真.設(shè)市場需求函數(shù)的參數(shù)a=2.65,b=1,航空公司服務(wù)單位旅客流量的成本分別為c1=0.6、c2=0.5,航空公司間的差異化系數(shù)分別為θ1=0.7、θ2=0.6,第1家航空公司的價格調(diào)整速度為β1=0.3,兩家公司的初始市場價格為(2,3).

圖1描繪的是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取上述初始值時,兩家航空公司價格競爭隨第2家航空公司價格調(diào)整速度β2變化的動態(tài)演化圖.從圖中可看出,隨著β2不斷增大,式(7)由初期的均衡狀態(tài)逐步進入到分岔和混沌狀態(tài).當(dāng)系統(tǒng)陷入分岔和混沌狀態(tài)后,航空公司間的價格競爭波動很大,很難做出長期預(yù)測,給航空公司的價格決策帶來困難.

圖1 航空公司價格競爭的動態(tài)演化圖Fig.1 Bifurcation diagram of airlines'price competition

圖2描繪的是博弈周期數(shù)T=1 000時,式(7)中航空公司平均利潤隨價格調(diào)整速度β2變化的動態(tài)演化圖.從圖中可看出,當(dāng)系統(tǒng)進入到分岔或混沌狀態(tài)后,兩家航空公司的平均利潤均顯著低于其在均衡狀態(tài)下的平均利潤.這說明因第2家航空公司而引起的系統(tǒng)波動對兩家航空公司均是有害的.為獲取最大利潤,兩家航空公司均有對陷入分岔或混沌狀態(tài)的系統(tǒng)實施混沌控制的原始動力.

圖2 航空公司平均利潤的動態(tài)演化圖Fig.2 Bifurcation diagram of airlines'average profit

圖3a、圖3b分別描繪了當(dāng)?shù)?家航空公司價格調(diào)整速度β2=0.48,其他系統(tǒng)參數(shù)取初始值時,航空公司的價格、利潤隨差異化系數(shù)θ1變化的動態(tài)演化圖.從圖中可以看出,隨著差異化系數(shù)θ1不斷增大,航空公司間的價格競爭由初期的均衡狀態(tài)最終進入混沌狀態(tài).

圖3 差異化對航空公司的影響演化圖Fig.3 Impacts of differentiation on airlines' price and profit

從圖3中可以看出,在θ2保持不變的競爭均衡狀態(tài)下,隨著θ1不斷增大,第1家航空公司的價格和利潤有著快速提高:由θ1較小時價格和利潤均低于第2家航空公司,逐漸演變?yōu)棣?較大時價格和利潤均高于第2家航空公司.這說明第1家航空公司在保持對第2家航空公司的差異化程度不變的基礎(chǔ)上(即θ2保持不變),通過降低第2家航空公司的差異化優(yōu)勢,增強對其的替代性(即θ1不斷增大),可在市場競爭中更大的收益.

需要特別指出的是,當(dāng)θ1=0.669 8時,兩家航空公司的利潤π1=π2=3.214 4,如圖3b中點A所示.此時θ1＞θ2=0.6,表明第1家航空公司在保持自身對第2家航空公司的差異化優(yōu)勢的基礎(chǔ)上(即θ2保持不變),可以通過削弱第2家航空公司的差異化優(yōu)勢(即θ1不斷增大),來彌補其在經(jīng)營成本上的弱勢(c1＞c2),進而增強其在市場競爭中的整體優(yōu)勢.

奇異吸引子是混沌運動的主要特征之一,它體現(xiàn)了系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)后復(fù)雜現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律性表現(xiàn).因此,當(dāng)系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)時,航空公司可以根據(jù)吸引子表現(xiàn)出來的規(guī)律性來對短期的價格競爭進行預(yù)測.圖4給出了系統(tǒng)參數(shù)取圖1值情形下的奇異吸引子.同時,通過數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn),在其他系統(tǒng)參數(shù)不變的條件下,選取大于臨界值(β1*或β*)的價格調(diào)整速度,對應(yīng)的奇異吸引子會有所不2同,但都反應(yīng)了系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)后航空公司動態(tài)價格競爭的復(fù)雜性.

圖4 航空公司動態(tài)價格競爭系統(tǒng)的奇異吸引子Fig.4 Strange attractor for a=0.3

對初始條件的敏感依賴性也是系統(tǒng)混沌行為的特征之一.為驗證有限理性航空公司動態(tài)價格競爭模型是否對初始條件具有敏感依賴性,設(shè)第2家航空公司價格調(diào)整速度β2=0.75(由圖1可知,此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)),其他參數(shù)取初始值.圖5a、圖5b分別描繪了航空公司初始價格分別為(2,3)和(2.000 1,3)時,第1家航空公司價格隨時間t的變化歷程.對比圖5a、圖5b可以看出,在初始階段.兩個價格時間序列基本是無差別的,但經(jīng)過一段博弈周期后,兩個序列的取值出現(xiàn)了巨大的差異.由此看出,即使初始價格微小的變動都會對最終價格競爭結(jié)果產(chǎn)生非常大的影響.同理也可發(fā)現(xiàn)第2家航空公司價格變化也具有同樣的敏感依賴性.這也證明了航空公司動態(tài)價格博弈式(7)中存在著復(fù)雜的動力學(xué)行為.

圖5 第1家航空公司價格對初始條件的敏感依賴性Fig.5 Shows sensitive dependence on initial conditions

5 研究結(jié)論

本文研究了具有差異化的航空公司動態(tài)價格競爭模型,運用非線性動力學(xué)理論,分析了模型均衡點的存在性與穩(wěn)定性,并對模型進行了數(shù)值仿真,研究了動態(tài)價格競爭模型的復(fù)雜性.

文章研究結(jié)果表明,具有有限理性的航空公司開展動態(tài)價格競爭時,其價格調(diào)整速度的快慢對競爭模型的穩(wěn)定性有顯著影響,一旦價格調(diào)整速度超過某一臨界值,系統(tǒng)將表現(xiàn)出分岔、混沌等復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象;進入分岔和混沌狀態(tài)后,系統(tǒng)波動將對航空公司均會有不利影響,造成利潤的顯著下降;差異化對航空公司的定價、利潤會產(chǎn)生顯著影響,航空公司一方面要盡量保持并加強對競爭對手的差異化優(yōu)勢.另一方面想方設(shè)法削弱競爭對手對自己的差異化優(yōu)勢,在對手具有差異化優(yōu)勢的方面加以改進與提升,增大對競爭對手的替代性;通過對混沌吸引子和敏感依賴性的分析,證明航空公司動態(tài)價格博弈模型存在著復(fù)雜的動力學(xué)行為.本文研究結(jié)果對航空公司的市場價格競爭決策可提供一些理論參考.

最后,在本文研究基礎(chǔ)上,考慮更多寡頭公司、不同價格調(diào)整機制、不同戰(zhàn)略定位等因素的競爭情形,以及對陷入混沌狀態(tài)的市場進行有效控制等可開展進一步的研究.

[1]Serguei Netssine,Robert A Shumsky.Revenue management games: Horizontal and vertical competition[J].Management Science,2005,51(5): 813-831.

[2]牟德一,李琴.單航線雙寡頭下的航空公司定價決策[J].管理科學(xué)文摘,2008,(4):155-156.[MOU D Y,LI Q.Study on airlines price decision of single line [J].Digest of Management Science,2008,(4): 155-156.]

[3]雷麗彩,周晶.風(fēng)險規(guī)避下的航空貨運期權(quán)定價Stackelberg博弈模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐, 2010,30(2):264-271.[LEI L C,ZHOU J.Stackelberg game model of capacity options for air cargo under risk aversion[J].Systems Engineering-Theory&Practice, 2010,30(2):264-271.]

[4]Rolf H.Capacity options for revenue managementtheory and applications in the air cargo industry[D]. WHU Otto Beisheim School of Management,2006.

[5]許洪,胡運權(quán),李軍.航空公司定價動態(tài)模型與座位配置研究[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2004,24(6): 44-48.[XU H,HU Y Q,LI J.Study on airline pricing and seat allocation[J].Systems Engineering-Theory& Practice,2004,24(6):44-48.]

[6]王銳蘭.航空公司價格競爭的博弈解釋[J].技術(shù)經(jīng)濟與管理研究,2004(3):81-82.[WANG R L.Game theory analysis ofairline price competition [J]. Technoeconomics&Management Research,2004(3): 81-82.]

[7]肖艷穎.航空公司市場競爭定價博弈模型[J].中國民航大學(xué)學(xué)報,2008,26(6):52-55.[XIAO Y Y. Game theory model of dual oligopoly airlines competition pricing[J].Journal of Civil Aviation University of China,2008,26(6):52-55.]

[8]景崇毅,孫宏,曾文水.機票價格管制問題的博弈分析及解釋[J].中國軟科學(xué),2008(3):140-147. [JING C Y,SUN H,ZENG W S.Game theory analysis and explanation of air ticket price control problem[J].China Soft Science,2008(3):140-147.]

[9]Lin K Y.Dynamic pricing with real-time demand learning[J].European Journal of Operational Research,2005,30(3):1-17.

[10]Dai Yue,Chao Xiuli,Fang S C,et al.Pricing in revenue management for multiple firms competing for customers[J].International Journal of Production Economics,2005,98(1):1-16.

[11]Zhang Ji xiang,Da Qing li,Wang yan hua.The dynamics of Bertrand model with bounded rationality [J].Chaos,Solitons& Fractals,2009,39(5): 2048-2055.

[12]Agiza H N,Elsadany A A.Nonlinear dynamics in the Cournot duopoly game with heterogeneous players[J]. Physica A,2003,320(15):512-524.

[13]胡榮,陳圻,王強.不同理性雙寡頭R&D競爭分析與混沌控制[J].控制與決策,2010,25(10):1536-1542.[HU R,CHEN Q,WANG Q.Competition analysis and chaos control of R&D in duopoly with heterogeneous rationality[J].Control and Decision, 2010,25(10):1536-1542.]

Complex Dynamics for Airlines'Price Competition with Differentiation Strategy

HU Rong,XIA Hong-shan,JIANG Yu
(College of Civil Aviation,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

To investigate the complex dynamics for airlines'price competition,this paper proposes a price competition model of airlines with differentiation strategy and with the theory of bifurcation of dynamical systems.The existence and stability of equilibrium points of the model are discussed according to dynamic stability criteria.The complex dynamics of this model in different market parameters are shown though numerical simulation.The simulation results show that the speed of price adjustment has a significant impact on the stability of the model,while the speed of price adjustment is larger than critical value,and the phenomenon of bifurcation and chaos will appear on the dynamic system.Compared with the Nash equilibrium profits,all airlines'profits are decreased obviously when chaos is occurred.Differentiation has an important impact on airlines'price and profits,it's helpful to have more competition advantage that to keep and strengthen the differentiation advantage against the competitors.

air transportation;price competition;theory of bifurcation;airlines;complex dynamics

U8;N94

A

U8;N94

A

1009-6744(2013)01-00011-08

2012-09-25

2012-11-08錄用日期:2012-11-20

國家自然科學(xué)基金(71201082,71101071);中國博士后科學(xué)基金項目(2011M500920);江蘇省高校哲學(xué)社會科學(xué)基金項目(2012SJD630083);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金(NR2012029).

胡榮(1980-),男,江蘇揚州人,講師,博士.

*通訊作者:hoorong@nuaa.edu.cn