董亞男，張 芹

近些年來，薄膜制備技術(shù)有了突飛猛進的發(fā)展，這也吸引著許多物理學(xué)者的目光，進而對人工復(fù)合鐵電雙層膜、多層膜以及超晶格進行了更加深入的研究，因此鐵電薄膜漸漸深入到微電子等諸多領(lǐng)域中。至今，理論與實驗研究者已經(jīng)對鐵電雙層膜以及多層膜的居里溫度、介電常數(shù)以及自發(fā)極化等諸多的物理性質(zhì)都進行了的研究。

一、模型與理論

迄今為止，鐵電薄膜的結(jié)構(gòu)變得更加多樣化，我們要研究的鐵電雙層膜具有這樣的特點：（1）具有表面過渡層；（2）夾持在兩個標(biāo)準(zhǔn)的金屬平行板電極之間；（3）構(gòu)成薄膜的兩層鐵電材料是完全不同的，第一層的厚度為L1，第二層的厚度為L2，所以我們得到雙層膜的總厚度是L=L1+L2，如圖1。

圖1 含有界面耦合過渡層的鐵電雙層膜的幾何結(jié)構(gòu)

現(xiàn)在我們假設(shè)鐵電層1和2均是具有二級相變的鐵電材料且均處于單疇的狀態(tài)，鐵電材料層1和2的極化強度分別為P1和P2而且它們的極化方向都垂直于薄膜表面并且都沿著圖1中z軸的正方向。在與薄膜表面平行的平面內(nèi)1層和2層薄膜的極化性質(zhì)都是均勻的，但自發(fā)極化和薄膜表面垂直的方向，即z軸方向上不是均勻的，是發(fā)生變化的。

由于鐵電材料層1和2之間過渡層的存在引起了在垂直于薄膜的z方向上體系的極化分布具有不均勻性。當(dāng)體系的狀態(tài)處于非均勻時，它的自由能密度以及自發(fā)極化必定是位置的函數(shù)。由于構(gòu)成鐵電雙層膜的兩種鐵電材料都具有二級相變，所以鐵電雙層膜單位面積的總的自由能密度能表示成：

其中，F(xiàn)1是鐵電層1的自由能密度；F2是鐵電層2自由能的密度；Fint是間界層的自由能密度。

鐵電層1的自由能密度F1可以表示成：

式中A1，B1，C1和K1都是正值，均是自由能展開式的系數(shù)，而且和坐標(biāo)軸z以及溫度T均無關(guān)；T01是鐵電層1體材料的相變溫度；E1是鐵電層1的外電場，方向沿著z軸正方向；ψ1（z）是描述鐵電層1表面過渡層的影響。

為了使P1（z）和它的微商能夠具有連續(xù)性，必須滿足以下邊界條件：

其中，-L11是鐵電層1下表面過渡層的邊界位置；-L12是鐵電層上表面過渡層的邊界位置。

與此相同，F(xiàn)2作為鐵電層2的自由能密度能夠表示成：

其中，A2，B2，C2和K2都是正值，為自由能展開式的系數(shù)，而且和坐標(biāo)軸z以及溫度T均無關(guān)；T02是鐵電層2的體材料的相變溫度；E2是鐵電層2的外電場，它的方向沿著z軸正方向；ψ2（z）是鐵電層2表面過渡層的作用。同理，為了使P2（z）和其微商具有連續(xù)性，應(yīng)該滿足以下邊界條件：

其中，L21是鐵電層2的下表面過渡層邊界位置；L22是鐵電層2的上表面過度層邊界位置。

界面能的自由能可以表示成：

其中，P1（0）表示當(dāng)z=0時，鐵電層1的極化強度；P2（0）表示當(dāng)z=0時，鐵電層2的極化強度；J是假定的界面耦合常數(shù)。當(dāng)耦合支持鐵電相時J＞0；當(dāng)耦合支持反鐵電相時J＜0。在這里我們只研究J＞0的情況，即鐵電相。按照熱力學(xué)假設(shè)，當(dāng)體系處于熱平衡的狀態(tài)時，當(dāng)P1、P2變化時，它的總自由能將會取到最小值δF=0。

此時的Euler-Lagrange方程是：

與其對應(yīng)的邊界條件是：

為了方便起見，我們將這里的物理量約化成無量綱的形式。即令為真空介電常數(shù)），i=1，2。我們可以充分地利用這些參數(shù)將方程（9a）與（9b）變成如下形式：

參數(shù)σi（i=1，2）是與其對應(yīng)的鐵電體材料的居里常數(shù)C與居里溫度T0的比值，即。當(dāng)為二級鐵電相變時，居里常數(shù)的數(shù)量級是103K，居里溫度的數(shù)量級是102K，所以在計算時我們?nèi)ˇ襥=6，并且假定鐵電層1的相變溫度比鐵電層2的相變溫度要大，此時γ＞1。

ψ1（ζ）代表在連續(xù)的鐵電層1內(nèi)部自發(fā)極化的分布函數(shù)；ψ2（ζ）代表在連續(xù)的鐵電層2內(nèi)部自發(fā)極化的分布函數(shù)。將它們的形式選取為：

此時選取的分布函數(shù)ψ1（ζ）與ψ2（ζ）的形式仍然具有普遍性。

其中，l1i=L1i/ξ0，l2i=L2i/ξ0（i=1，2）；參數(shù)λ11（λ12）是鐵電層1的上表面或下表面附近自由能密度隨著位置的變化情況；參數(shù)λ21（λ22）——鐵電層2的上表面或下表面附近自由能密度隨著位置的變化情況。

方便起見，我們將兩個鐵電層中的過渡層均假定是對稱的，則滿足下列情況：

ls=2（l1-l11）=2l12=2l21=2（l2-l22），ls是每一個鐵電層中過渡層的厚度。

將體系的平均自發(fā)極化f以及體系的平均極化率χf定義成：

其中，l=l1+l2是鐵電雙層膜總的厚度。

二、數(shù)值計算與討論

1.一定溫度下平均極化隨參量α的變化。圖2給出了一定溫度時，平均極化隨參量α的變化曲線。從圖中我們可以看到，當(dāng)參量α增大時，體系的平均極化明顯增加。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是由于當(dāng)參量α增大時，兩個鐵電層之間的界面耦合也將增加，因此導(dǎo)致鐵電雙層膜中平均極化的增大。

2.一定溫度下平均極化與參量γ的變化。圖3計算了一定溫度下，體系的平均極化隨參量γ的變化。由圖中曲線可以清楚地看到，隨著參量γ的增加，鐵電雙層膜的平均極化減小。當(dāng)γ取較小值時，鐵電雙層膜的平均極化減小的幅度非常顯著，而在γ取較大值時，平均極化隨參量γ的變化并不明顯。由此我們可以得知，當(dāng)γ較大時，即兩種不同材料鐵電層的相變溫度的差異較大時，參量γ對鐵電雙層膜的平均極化影響較小。

3.一定溫度下平均極化隨界面耦合系數(shù)的變化。圖4描述了一定溫度下，體系的平均極化與參量的變化關(guān)系。由圖3、4中曲線可以得知，當(dāng)增加界面耦合系數(shù)的值時，體系的平均極化有明顯的增加，而且平均極化隨界面耦合系數(shù)的變化接近于線性變化。由此我們可以推斷出，界面耦合增強時，有利于鐵電體處于鐵電相。

圖2 一定溫度下平均極化隨的變化

圖3 一定溫度下平均極化隨的變化

圖4 一定溫度下平均極化隨界面耦合系數(shù)的變化

4.一定溫度下平均極化隨雙層膜厚度的變化。固定溫度，計算了平均極化隨鐵電雙層膜厚度的變化曲線。從圖5中曲線我們可以看到，隨著鐵電雙層膜厚度的增加，平均極化明顯的增加。這一現(xiàn)象可以解釋為，當(dāng)鐵電雙層膜厚度增加時，由于表面過渡層的厚度是固定的，所以表面過渡層相對于薄膜的相對厚度減小，這樣就使得體系的平均極化有所提升。

圖5 一定溫度下平均極化隨雙層膜厚度的變化

三、結(jié)論

1.描述兩種鐵電薄膜物性差異的參量對鐵電雙層膜的平均極化性質(zhì)的影響很大。

2.當(dāng)溫度一定時，鐵電雙層膜的平均極化隨著參量、界面耦合系數(shù)以及雙層膜的厚度L的增大而增大，兩個鐵電層之間的界面耦合也將增加，有利于鐵電體處于鐵電相。

3.當(dāng)溫度一定時，鐵電雙層膜的平均極化隨著參量的增大而減小，當(dāng)較大時，參量對鐵電雙層膜的平均極化影響較小。

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