路軍營，朱光宇

（福州大學 機械工程及自動化學院，福建 福州 350002）

0 引言

表面貼裝技術（Surface Mounted Technology，SMT）是目前電子貼裝行業(yè)的主流工藝技術，貼片機是SMT系統(tǒng)中的關鍵設備，其裝配工藝是整個系統(tǒng)生產(chǎn)效率提高的瓶頸。

針對單臺貼片機而言，影響表面貼裝效率的因素主要有兩個：①貼片機喂料器位置分配問題（Reel Assignment Problem，RAP），確定喂料器在喂料槽上的安放位置；②元件取貼順序優(yōu)化問題（Pick－And－Place Sequencing Problem，PAPSP），確定元器件的拾取和貼裝順序。這兩個因素都屬于復雜的組合優(yōu)化問題，即 NP－Hard問題［1］，具有高維數(shù)、離散和非線性的特點，用傳統(tǒng)的方法很難求得全局最優(yōu)解。前者一般作為二次分配問題（Quadratic Assignment Problem，QAP）來解決［2］，后者一般作為廣義的旅行商問題（Traveling Salesman Problem，TSP）［3］來解決。

目前針對該問題的研究主要利用遺傳算法［4－7］、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［8－9］和一些啟發(fā)式算法［2，10］進行求解。文獻［2，4－10］在貼片順序確定的情況下，利用遺傳算法或啟發(fā)式算法優(yōu)化喂料器分配；文獻［8］基于給定物料擺放順序的情況下，用離散PSO算法對貼裝順序進行優(yōu)化；文獻［5，11］在喂料器位置確定的情況下，用蛙跳算法或遺傳算法優(yōu)化元件貼裝順序；文獻［12］提出由最近鄰算法和分散搜索算法組成的混合算法，在優(yōu)化元件拾取貼裝順序的同時對喂料器分配問題進行優(yōu)化；文獻［6］利用遺傳算法首先對喂料器分配問題進行優(yōu)化，然后把優(yōu)化結果映射到對貼片順序的優(yōu)化上；文獻［13］提出兩個非線性整數(shù)規(guī)劃模型，并利用混合遺傳算法同時解決供料器分配和貼片順序優(yōu)化問題；文獻［9］利用自適應PSO算法，分別對喂料器分配、貼片順序和吸嘴更換時間建立目標函數(shù)，將三目標值的和作為適應度函數(shù)進行優(yōu)化，由于目標函數(shù)量綱不統(tǒng)一，其結果的有效性需要進一步驗證；文獻［7］把元件貼放順序、喂料器分配和機器延遲問題看成帶約束的多目標優(yōu)化問題，運用遺傳算法進行優(yōu)化。

灰色系統(tǒng)理論主要研究小樣本、貧信息不確定性問題，目前已有學者把灰色理論應用到多目標優(yōu)化設計領域。文獻［14］將帶熵權的灰色關聯(lián)分析引入PSO，用于解決多目標優(yōu)化問題；文獻［15］把灰色關聯(lián)度作為適應度函數(shù)，利用自適應遺傳算法求解多目標優(yōu)化問題；文獻［16］建立了改進熵權的灰色關聯(lián)度模型，并應用到濕地水質的綜合測評中。

目前，表面貼裝優(yōu)化問題主要集中在對某一個子問題的求解，忽略了整體的連貫性，或者對三個子問題分別建立優(yōu)化模型、單獨優(yōu)化，或者通過加權運算將多個目標轉化為單目標函數(shù)進行求解，而各目標權重分配的效用函數(shù)難以確知，權系數(shù)分配帶有很大的主觀隨機性，很難保證最優(yōu)解的客觀性。

1 貼裝工藝描述及多目標優(yōu)化建模

1．1 貼片工藝過程描述

本文的研究對象為拱架型貼片機，其結構如圖1所示，主要包括放置印刷電路板（Printed Circuit Board，PCB）的工作臺、喂料器、喂料槽、吸嘴和貼裝頭等。貼裝的工藝過程為：首先PCB由輸送帶輸送到預定位置并夾緊固定，然后貼片頭移到相應的喂料器上，通過吸嘴吸取一個或多個元器件，經(jīng)過視覺檢測后，貼片頭移動到PCB板上的指定位置，依次貼裝這些元器件，完成本次貼裝循環(huán)，如此循環(huán)取貼，直到PCB上的所有元器件貼裝完畢。

1．2 子目標函數(shù)

為了建立合適的目標函數(shù)，作如下假設：①貼片頭每次取料、貼放和視覺檢查的時間為恒定值；②忽略貼片頭運動的加速和減速時間，假設運動為勻速運動。本文建立的優(yōu)化目標是貼片頭在貼裝過程中運行的總路徑最短（包括取料、貼放兩個過程）和吸嘴更換次數(shù)最小，分別建立目標函數(shù)如下：

（1）貼放順序優(yōu)化

假設喂料器位置分配已確定，研究貼放順序優(yōu)化問題，可以描述為：在PCB上元件位置確定的情況下，找到一條最短的路徑，使貼片頭能遍歷這些元件位置。建立目標函數(shù)：

式中：n為元件的個數(shù)；L為取貼循環(huán)次數(shù)；H為貼片頭數(shù)；Hk為前L－1個循環(huán)，Hk＝H，第L個循環(huán)Hk≤H；S為貼片機拾取元件的位置，本文取喂料槽的中心位置；X ＝ ［x1，…，xi，…，xn］T，X 為元件貼放順序，xi（i＝1，2，3，…，n）為第i個貼放元件在PCB上的位置；d（xi，xi＋1）為第i個貼放元件和i＋1個貼放元件之間的歐式距離；d（xHk×k，xHk×k＋1）為每個取貼循環(huán)最后一個元件和下一取貼循環(huán)第一個元件之間的歐氏距離；d（S，xHk×k）為每個取貼循環(huán)最后一個元件與拾取位置之間的歐式距離；d（xHk×k＋1，S）為每個取貼循環(huán)第一個元件與拾取位置之間的歐式距離。

（2）喂料器位置分配

在優(yōu)化喂料器的安放位置之前，必須滿足兩個條件：①每種類型的元件只能放在一個槽中，每個槽只能放一種類型的元件；②貼片頭從喂料槽上依次順序拾取各元件。其優(yōu)化目標為：在貼放順序已知的情況下，貼片頭在喂料槽上移動的距離最短，目標函數(shù)為

式中：x0為貼片頭的原始位置，位于PCB的左下角；和分別為第k＋1個取貼循環(huán)中元件所占最左邊和最右邊的槽位為第k個取貼循環(huán)最后一個元件和第k＋1個取貼循環(huán)最左邊喂料槽之間的歐式距離為第k＋1個取貼循環(huán)元件所占最左邊喂料槽與最右邊喂料槽之間的歐式距離；為第k＋1個取貼循環(huán)元件所占最右邊喂料槽srk＋1和第k＋1個取貼循環(huán)第一個元件之間的歐式距離。

（3）吸嘴更換次數(shù)

每個貼片機都配有不同類型的吸嘴，由于吸嘴更換十分費時，其優(yōu)化目標為吸嘴更換次數(shù)t最小，目標函數(shù)為

1．3 拱架型多頭貼片機多目標優(yōu)化模型

本文針對貼放順序、喂料器分配和吸嘴更換次數(shù)三個目標同時實施尋優(yōu)，該問題的優(yōu)化往往得到一組解集而不是一個最優(yōu)解，即得到Pareto最優(yōu)解集。針對本問題，多目標優(yōu)化的一般形式可以描述如下：

式中：子目標函數(shù)的個數(shù)N＝3，n為元件個數(shù)；喂料槽的數(shù)目m＝40，均勻分布在貼片機兩側。式（4）為貼放元件總數(shù)約束，式（5）為喂料槽編碼約束，式（6）為取貼循環(huán)總數(shù)約束。

2 離散空間差分進化算法實現(xiàn)

差分進化（Differential Evolution，DE）算法主要解決連續(xù)空間優(yōu)化問題，且表現(xiàn)出了其獨特的優(yōu)越性［17］，但是在求解離散優(yōu)化問題時不能直接應用，本文采用實數(shù)向量－位置排序的編碼方式，把基于實數(shù)編碼的個體映射到基于自然數(shù)編碼的解向量，用自然數(shù)編碼表征元件貼裝順序?；静僮髅枋鋈缦拢?/p>

定義1 設Ai（t）＝［ai1（t），ai2（t），…，aij（t），…，ain（t）］T是算法第t代種群中的第i個個體，sort（aij（t））為一個實數(shù)值，用于表示ai1（t），ai2（t），…，ain（t）按由小到大排序后，aij（t）在原序列中的位置，j∈［1，n］，稱 Xi（t）＝［sort（ai1（t）），sort（ai2（t）），…，sort（ain（t））］T為第t代個體Ai（t）對應的位置排序向量。

例如：第t代中的第i個個體Ai（t）＝［1．223 0，－2．139 7，3．225 0，2．678 5，－3．227 5］T，按由小到大排序后，得新序列［－3．227 5，－2．139 7，1．223 0，2．678 5，3．225 0］T，1．223 0位于新序列的第3位，而處于原Ai（t）序列的第1位，則將要建立的位置排序向量第3位取1，以此類推，對應的位置排序向量為Xi（t）＝［5，2，1，4，3］T。由上可知，Xi（t）是一個基于自然數(shù)編碼的n維向量，且Xi（t）是與Ai（t）一一對應而來的，Xi（t）代表一種元件貼裝順序，由此將連續(xù)空間值轉化為離散空間值。

2．1 初始化

設群體規(guī)模為M，個體為n維向量，t為當前代數(shù)，參數(shù)變量范圍為［ajL，ajU］，初始群體Ai（0）可通過式ai，j＝xi，jL＋rand（）×（ai，jU－ai，jL）隨機生成。其中：i＝1，2，…，M，j＝1，2，…，n，aij表示第i個個體的第j個基因，rand（）為［0，1］上的一個隨機數(shù)。第t代第i個個體的實數(shù)向量為Ai（t），對應的位置排序向量為Ai（t），其中Ai（t）＝［ai1（t），ai2（t），…，ain（t）］T∈Rn，Xi（t）＝［xi1（t），xi2（t），…，xin（t）］T，xij（t）＝sort（aij（t））。

2．2 變異操作

用式（7）對t代的每個個體Ai（t）進行變異操作，變異操作建立在實數(shù)向量的基礎上，

式中：r1，r2和r3∈［1，M］且i≠r1≠r2≠r3，Ar1（t）為父代基向量，Ar2（t）－Ar3（t）為父代差分向量，Vi（t＋1）為變異后得到的個體，縮放因子F∈［0，1］。

為了避免過早收斂，取動態(tài)變化的縮放因子F ＝Fmax－（Fmax－Fmin）×（t／T）2；t表示當前代數(shù)，初始t＝0；F＝Fmax；T為最大迭代次數(shù)，隨著迭代次數(shù)t的增加，F(xiàn)向Fmin變化，以維持種群多樣性和收斂速度的平衡。

2．3 交叉操作

為增加群體多樣性，對Ai（t）和新生成的Vi（t＋1）實施交叉操作，交叉后的中間個體實數(shù)向量Ui（t＋1）＝［ui1（t＋1），ui2（t＋1），…，uin（t＋1）］∈Rn，對應位置排序向量Xi（t＋1）＝［xi1（t＋1），xi2（t＋1），…，xin（t＋1）］T，xij（t＋1）＝sort（uij（t＋1））。實現(xiàn)過程如下：

式中：rand（）為［0，1］上的隨機數(shù)，交叉概率因子CR∈［0，1］，為提高算法性能和搜索能力，選取動態(tài)變化的交叉概率因子CR ＝CRmin＋（CRmax－CRmin）（t／T）2；t為 當 前 代 數(shù)，初 始t ＝ 0，CR ＝CRmax，T為最大迭代次數(shù)。

2．4 選擇操作

采用貪婪搜索策略，把當前種群個體函數(shù)值與交叉變異后的種群個體函數(shù)值相比較，選擇目標函數(shù)值較小的個體進入下一代，以保證下一代個體比當前個體更優(yōu)，如式（9）：

式中f為目標函數(shù)。

3 灰熵關聯(lián)分析方法

3．1 灰關聯(lián)分析

灰關聯(lián)分析是對群體動態(tài)發(fā)展過程中整體接近性的分析，其基本思想是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)列的幾何關系或曲線的相似程度來判斷因素間的關聯(lián)程度，曲線的幾何形狀整體上越接近，關聯(lián)程度越大［18］。針對本文優(yōu)化問題，實現(xiàn)過程如下：

（1）分析序列的確定

分析序列包括參考序列和比較序列，定義Y為灰關聯(lián)因子集，表示在種群X下，各子目標函數(shù)相對應 的 函 數(shù) 值 集 合，Y ＝ ｛Yi｜Yi＝ （f1（Xi），f2（Xi），…，fk（Xi），…，fN（Xi）），i∈M，k∈N｝，M為群體規(guī)模，N為子目標函數(shù)的個數(shù)，N＝3。Y0∈Y為參考序列，由各子目標函數(shù)單獨優(yōu)化得到的最優(yōu)子目標函數(shù)值f（X×（k））構成，X×（k）為第k個子目標函數(shù)的最優(yōu)解，即該子目標的最優(yōu)貼裝順序；Yi∈Y為比較序列。

（2）對參考序列和比較序列進行規(guī)范化處理

（3）差序列（絕對差、極大差、極小差）

令：

絕對差序列Δi＝（Δi（1），Δi（2），…，Δi（k），…，Δi（N）），i∈M，k∈N；

（4）灰關聯(lián)系數(shù)r（Y0，Yi）

式中ε∈（0，1）為分辨系數(shù)，用于提高關聯(lián)系數(shù)間差異的顯著性，這里取ε＝0．5，k∈N。

3．2 灰熵關聯(lián)度函數(shù)

用灰關聯(lián)分析法分別計算各子函數(shù)目標值的灰關聯(lián)系數(shù)，然后取其平均值作為灰色關聯(lián)度，這樣會有兩個缺陷：①局部點的關聯(lián)傾向，即在各子函數(shù)目標值離散的情況下，灰關聯(lián)度主要由灰關聯(lián)系數(shù)大的目標值確定，局部指標的灰關聯(lián)系數(shù)決定整體的接近性和相似程度；②有用信息的缺失，平均值掩蓋了各子目標關聯(lián)系數(shù)的個性，沒有充分利用各子目標關聯(lián)系數(shù)提供的豐富信息。

在進行灰關聯(lián)分析時，為了避免出現(xiàn)以上問題，引入信息熵理論，即在灰關聯(lián)分析中不計算灰色關聯(lián)度，只計算灰關聯(lián)系數(shù)，依據(jù)各子函數(shù)灰關聯(lián)系數(shù)所包含信息的大小來確定相應的權重，進而計算出基于熵值權重的灰色關聯(lián)度。該方法能消除各因素權重的主觀性，使評價結果更符合實際。針對本文優(yōu)化問題，實現(xiàn)過程如下：

（1）構建M個可行方案N 個評價指標的分析序列E ＝ （Yi）M×N（i＝1，2，…，M，N ＝3），Y0為參考序列。

（2）對參考序列和比較序列進行規(guī)范化處理，根據(jù)式（10）求得Y′i，Y′i＝ （f′1（Xi），…，f′k（Xi），…，f′N（Xi）），i∈ M，k∈ N。

（3）各序列所占比重pi。

式中pi（k）表示第i個個體第k個指標所占比重的大小

式中ek表示第k個指標的信息熵值，e＝［e1，e2，…，ek，…，eN］。

（5）各序列指標的熵值權重W。

（4）各序列指標的信息熵e。

式中wk表示第k個指標的權重

（6）灰熵關聯(lián)度函數(shù)。

式中：Ri表示第i個個體對應的灰熵關聯(lián)度，R＝［R1，R2，…，RM］。r（fk（X＊（k）），fk（Xi））為由式（12）計算得到的灰關聯(lián)系數(shù)。

灰熵關聯(lián)度體現(xiàn)了當前解與理想?yún)⒖冀獾年P聯(lián)程度，灰熵關聯(lián)度越大說明當前解越好，本文把灰熵關聯(lián)度函數(shù)R作為多目標優(yōu)化的適應度函數(shù)，以灰熵關聯(lián)度作為多目標優(yōu)化的適應度函數(shù)值來引導群體進化。

4 基于灰熵關聯(lián)的多目標差分算法實現(xiàn)

基于灰熵關聯(lián)的多目標差分算法的優(yōu)化步驟如下：

步驟1 對各子目標函數(shù)（式（1）～式（3）），分別運用差分算法，得到N個子目標函數(shù)的最優(yōu)解X＊（k）和目標函數(shù)值Y＊（k）＝fk（X＊（k）），k＝1，2，…，N，將目標函數(shù)值Y＊（k）組合成參考序列Y0＝（f1（X＊（1）），f2（X＊（2）），…，fN（X＊（N））。

步驟2 初始化差分算法的參數(shù)，即目標序列種群規(guī)模M，最大允許迭代次數(shù)T，初始進化代數(shù)t＝1，動態(tài)變異因子Fmax和Fmin，動態(tài)交叉因子CRmax和CRmin。按種群規(guī)模M隨機生成初始群體 Xi（0）（xi1（0），xi2（0），…，xin（0）），n為元件個數(shù)，i＝1，2，…，M。由式（1）～ 式（3）計算對應的目標函數(shù)值，并隨機選取q個個體構建動態(tài)Pareto最優(yōu)解集｛Yp｝。設初始全局最優(yōu)適應度值Pgd＝0。

步驟3 在當前代中，將 M 個個體Xi（t）（xi1（t），xi2（t），…，xin（t））分別代入式（1）～式（3），計算相應的目標函數(shù)值fk（Xi（t）），將目標函數(shù)值組合成目標序列Yi（t）＝（f1（Xi（t）），f2（Xi（t）），…，fN（Xi（t）））。

步驟4 在當前代中，根據(jù)參考序列Y0和目標序列Yi（t），由式（16）計算灰熵關聯(lián)度 R（Y0，Yi（t）），由式（7）～式（9）對個體實施交叉、變異和選擇操作，用目標函數(shù)值小的個體產(chǎn)生新個體。

步驟5 更新動態(tài)Pareto最優(yōu)解集，將每次迭代產(chǎn)生的解與Pareto解集進行優(yōu)劣比較，對｛Yp｝中的解集進行相應的刪除和添加。如果目標序列中一個個體和｛Yp｝中的個體相比較，目標序列中各分量值都小于｛Yp｝中對應的分量值，則該個體優(yōu)于｛Yp｝中的個體，執(zhí)行替換操作；如果目標序列中的個體與｛Yp｝中的個體沒有優(yōu)劣之分，則把目標序列個體添加到｛Yp｝中。把｛Yp｝中的個體按灰熵關聯(lián)度由大到小排序，選出灰熵關聯(lián)度高的q個個體，清除空間｛Yp｝，把q個個體重新放入｛Yp｝中，更新Pareto最優(yōu)解集。

步驟6 適應度值比較。比較群體所有個體的當前適應度值和全局最優(yōu)適應度值，如果R（t）＞Pgd，則Pgd＝R（t）。

步驟7 停止準則，如果迭代次數(shù)超過最大迭代次數(shù)（t＞T），則停止搜索，輸出搜索結果，否則返回步驟3繼續(xù)搜索。

5 應用實例

本文算法使用MATLAB 7．0編程，在AMD X 2，2．81GHz CPU ，2G 內存，Windows XP環(huán)境下運行，測試兩塊板的實驗數(shù)據(jù)。實驗對象為四頭拱架型貼片機，貼裝頭間距為16cm，貼片機兩側各20個槽位，最大迭代次數(shù)T＝50，最大縮放因子Fmax＝0．9，最小縮放因子Fmin＝0．2，最大交叉變異因子CRmax＝0．6，最小交叉變異因子CRmin＝0．2。初始｛Yp｝解集個數(shù)q＝30。遺傳算法采用輪盤賭選擇和順序一致交叉法，變異概率為0．05。本文將仿真結果與遺傳算法進行比較，如表1和表2所示。

表1 A板實驗數(shù)據(jù)及仿真結果

表2 B板實驗數(shù)據(jù)及仿真結果

由分析可知，遺傳算法和差分進化算法都可以和灰熵關聯(lián)分析法相結合解決表面貼裝過程的多目標優(yōu)化問題。由表1和表2可知，差分進化算法最優(yōu)解的灰熵關聯(lián)度較大，最優(yōu)值更接近理想?yún)⒖贾?。由圖2和圖3可知，對于A板的優(yōu)化，差分進化算法貼片順序優(yōu)化路徑值主要分布在3 600mm～3 900mm之間，遺傳算法貼片順序優(yōu)化路徑值主要集中在4 100mm左右，差分進化算法優(yōu)化值明顯小于遺傳算法；差分進化算法喂料器的優(yōu)化路徑值主要集中在3 200mm左右，遺傳算法喂料器的優(yōu)化路徑值主要集中在4 000mm，差分進化算法喂料器的優(yōu)化路徑值也明顯小于遺傳算法優(yōu)化值；差分進化算法吸嘴更換次數(shù)均勻分布在7～11之間，遺傳算法吸嘴更換次數(shù)主要集中在10次，最小可以取到7次，兩種算法單從能取到的最優(yōu)吸嘴更換次數(shù)上比較，優(yōu)劣不明顯，而從解集分布上看，差分進化算法吸嘴更換次數(shù)分布比較均勻，比遺傳算法能取到更多的好解。

由圖4和圖5可知，對于B板的優(yōu)化，差分進化算法貼片順序的優(yōu)化路徑值主要分布在21 000mm～21 500mm之間和22 500mm左右兩個區(qū)域，遺傳算法貼片順序的優(yōu)化路徑值主要集中在22 000 mm左右，有少數(shù)解分布在21 000mm附近，差分進化算法明顯能取到更多優(yōu)秀的解；差分進化算法喂料器的優(yōu)化路徑值主要分布在12 500mm～13 000 mm之間和13 500mm左右兩個區(qū)域，遺傳算法喂料器的優(yōu)化路徑值主要集中在16 500mm左右，少數(shù)解分布在15 500mm附近，差分進化算法喂料器的優(yōu)化路徑值明顯小于遺傳算法優(yōu)化值；差分進化算法吸嘴更換次數(shù)均勻分布在28～36之間，遺傳算法吸嘴更換次數(shù)主要集中在33次，最小可取到31次，差分進化算法比遺傳算法能取到更小的吸嘴更換次數(shù)。

通過A板和B板實驗數(shù)據(jù)分析，兩種算法在優(yōu)化表面貼裝問題時，貼片順序分配和吸嘴更換是影響貼裝效率的主要因素，優(yōu)化過程中貼片優(yōu)化路徑值和吸嘴更換次數(shù)波動幅度較大，而喂料器分配對貼裝過程影響較小，優(yōu)化路徑值起伏不大。另外，差分進化算法得到的Pareto最優(yōu)解集，三個子目標函數(shù)值至少有兩個小于遺傳算法，且解集分布相對比較均勻，而遺傳算法得到的Pareto最優(yōu)解集分布得比較集中，容易陷入局部最優(yōu)解，因此差分算法在解決表面貼裝優(yōu)化的問題上效果更理想。

6 結束語

本文針對拱架型多頭貼片機的喂料器分配問題、貼片順序優(yōu)化問題和吸嘴更換問題進行了研究，分別建立數(shù)學優(yōu)化函數(shù)，構建了多目標優(yōu)化模型，提出實數(shù)向量－位置排序的編碼方式實現(xiàn)離散空間的差分運算，并把灰熵關聯(lián)分析法融入到多目標差分算法中，利用灰熵關聯(lián)度來表征與理想序列的相關程度，避免人為因素對權重的影響，使三個子目標同時得到優(yōu)化，通過實驗數(shù)據(jù)比較可知，其效果比遺傳算法更好。在以后的工作中，需從解的空間接近性角度對灰熵關聯(lián)分析法做進一步的詳細研究。

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