溫佩芝，寧如花，吳曉軍，黃錦芳

（1．桂林電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 桂林 541004；2．哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣東 深圳 518055）

0 引言

隨著三維掃描技術(shù)的日益發(fā)展，三維點(diǎn)云模型已大量應(yīng)用于逆向工程［1－2］、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（Computer Aided Design，CAD）［3］、機(jī)械制造、醫(yī)學(xué)影像、虛擬現(xiàn)實(shí)和動(dòng)漫等領(lǐng)域。但實(shí)際掃描獲得的三維點(diǎn)云數(shù)目較為龐大、邊緣模糊、模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不清晰，給曲面重建帶來了很大的困難，尤其是非封閉曲面的三維重建，目前仍是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域研究的一個(gè)難點(diǎn)問題。

在三維點(diǎn)云模型曲面重建方法中，已有多種曲面模型表達(dá)形式，比較常用的是隱式函數(shù)表達(dá)形式。隱式函數(shù)方法大致分為全局方法和局部方法。全局?jǐn)M合法通常定義隱式函數(shù)為以樣本點(diǎn)為中心的徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）的加權(quán)和［4－6］，但易產(chǎn)生平凡解，無法進(jìn)行重建，同時(shí)因其全局性對(duì)數(shù)據(jù)的要求是完整的、封閉的，對(duì)非封閉的模型往往不能重建出模型的曲面；局部擬合方案是利用八叉樹將散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)集分割成多個(gè)小區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域中應(yīng)用分段二次曲面函數(shù)進(jìn)行擬合，然后用MPU（multi－level partition of unity）函數(shù)將各個(gè)子區(qū)域函數(shù)加權(quán)求和拼接出全局函數(shù)［7］，該方法具有運(yùn)算速度快的優(yōu)勢(shì)，但不具備抗噪性，要求點(diǎn)云模型不能含有噪聲。然而，采用MPU算法對(duì)非封閉的模型曲面進(jìn)行重建時(shí)，在非封閉的模型邊緣易產(chǎn)生大量不規(guī)則且不合理的偽面片。

當(dāng)前曲面重建技術(shù)中的新熱點(diǎn)——泊松算法［8］結(jié)合了全局和局部擬合方法的優(yōu)點(diǎn)。因?yàn)樵撍惴ㄊ侨值?，所以在形成鄰近區(qū)域和調(diào)整權(quán)重時(shí)不涉及啟發(fā)式的決策，但是其基函數(shù)與周圍空間相關(guān)而不是與數(shù)據(jù)點(diǎn)相關(guān)，是局部的，因此泊松重建算法具有多分辨率結(jié)構(gòu)，從而產(chǎn)生一個(gè)稀疏的矩陣系統(tǒng)，加快了計(jì)算的速度；泊松算法還能很好地捕捉曲面的細(xì)節(jié)，重建精度高于其他隱式算法。然而，泊松曲面重建算法過程不引入與模型形態(tài)相關(guān)的信息，故泊松重建的模型是水密（watertight）的，對(duì)不封閉的點(diǎn)云模型，它會(huì)自動(dòng)重建出封閉的曲面，因此非封閉的模型曲面重建不能直接應(yīng)用泊松算法。

針對(duì)上述問題，受二維圖像分割大律法（OTSU）閾值方法［9］的啟示，本文提出一種基于曲面三角面片周長(zhǎng)的閾值分割方法，引入泊松算法實(shí)現(xiàn)了三維非封閉曲面的準(zhǔn)確重建。首先，利用泊松算法進(jìn)行三維曲面重建，然后根據(jù)生成曲面的小三角面片的周長(zhǎng)大小分布概率，從生成的三角面片中選出比對(duì)的樣本點(diǎn)，計(jì)算樣本點(diǎn)與原始輸入點(diǎn)的距離，根據(jù)原始點(diǎn)到偽平面三角點(diǎn)的距離明顯大于原始點(diǎn)到模型曲面三角點(diǎn)距離的特性，將三角點(diǎn)分為偽平面三角點(diǎn)和模型曲面三角點(diǎn)兩類，計(jì)算原始輸入點(diǎn)到模型曲面三角點(diǎn)的平均最大距離，將其設(shè)為分割閾值T，保留距離小于T的點(diǎn)而去除距離大于T的點(diǎn)，即可分割出非封閉的模型曲面。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法能準(zhǔn)確有效地去除偽封閉曲面而不影響原生成曲面的精度，算法復(fù)雜度低、時(shí)間效率高、魯棒性強(qiáng)，從而解決了非封閉模型曲面三維重建的技術(shù)難題，拓展了泊松算法的實(shí)際應(yīng)用范圍。

1 泊松重建方法

1．1 泊松數(shù)學(xué)模型

S是輸入三維模型的點(diǎn)集，其中的一個(gè)樣本s∈S，每個(gè)樣本包含一個(gè)點(diǎn)s．p和一個(gè)內(nèi)法線s．N，給定一個(gè)三維實(shí)體M，其邊界為?M，用χM表示M 的指示函數(shù)，即曲面內(nèi)的點(diǎn)定義為1，曲面外的點(diǎn)為0，N?M（p）表示p點(diǎn)（p∈?M）的向內(nèi)曲面法線（q）為

給定一個(gè)樣本點(diǎn)集S和最大深度D，定義八叉樹O為每個(gè)樣本點(diǎn)都落在深度為D的葉子節(jié)點(diǎn)上的最小八叉樹。

把物體表面?M分割為不同的小面片Ps??M，可以根據(jù)樣本點(diǎn)s．p的值和小面片面積的乘積近似計(jì)算小面片Ps上的積分［8］

式中o·c和o·w分別是節(jié)點(diǎn)o的中心和寬度。

為提高效率，本文用一個(gè)簡(jiǎn)化的函數(shù)來近似單位方差濾波器，使得計(jì)算的散度和拉普拉斯算子都是稀疏的，因此設(shè)F為一個(gè)盒濾波器的n階卷積［8］，

為了達(dá)到子節(jié)點(diǎn)的精度，避免采用葉子節(jié)點(diǎn)的中心近似為采樣點(diǎn)的位置，取而代之的是使用三次線性插值法分配樣本點(diǎn)到八個(gè)最鄰近的節(jié)點(diǎn)，這樣可以定義曲面函數(shù)梯度場(chǎng)的近似值

式中：NgbrD（s）為最鄰近s·p的8個(gè)深度為D 的節(jié)點(diǎn)，｛αo，s｝為三次線性插值的權(quán)。

給定｜O｜維向量v，其第o個(gè)坐標(biāo)為vo＝〈▽，V，F(xiàn)o〉，求解的目標(biāo)是解使得▽在空間FO，F(xiàn)上的投影盡可能接近▽·V的投影。對(duì)于每個(gè)o和o′，L在（o，o′）處的元素設(shè)為

1．2 重建結(jié)果比較

圖1所示為MPU算法和泊松算法對(duì)圖1a模型重建曲面的效果。圖1a是不封閉的原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)模型；圖1b是MPU算法重建的模型曲面，在非封閉模型曲面的邊界處，算法生成的曲面不規(guī)則且存在較多不合理的偽曲面；圖1c為泊松算法重建的效果圖。由圖1可見，泊松算法重建的曲面效果比MPU重建效果好，曲面結(jié)構(gòu)特征符合原始模型，所生成的曲面較光順。但從實(shí)驗(yàn)結(jié)果也可以明顯看出，對(duì)于原非封閉的曲面模型，泊松算法重建自動(dòng)生成了封閉的偽曲面，這給實(shí)際應(yīng)用帶來了諸多不便。

從上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，對(duì)于非封閉的模型，圖1b的MPU算法重構(gòu)的曲面不能正確表達(dá)原始模型的特征，邊緣處產(chǎn)生較多不規(guī)則的偽曲面。圖1c中泊松重建的曲面模型，重建曲面光順且能很好地反映模型的特征，但只能重建出watertight的封閉曲面。目前在實(shí)際應(yīng)用中，大多采用人工手動(dòng)割除重建生成的多余的偽曲面，這不但需要操作人員具有較高的專業(yè)水平，而且很難確定準(zhǔn)確的邊緣，效率較低。對(duì)此，受二維圖像閾值分割思想的啟發(fā)，本文提出一種新的三維非封閉曲面重建自動(dòng)閾值分割算法。

2 三維分割閾值計(jì)算

為了將非封閉曲面重建出現(xiàn)的偽封閉曲面分割出去，借鑒二維圖像處理中OTSU閾值分割方法［5］的思想，OTSU算法是以圖像的一維直方圖為依據(jù)，將圖像分成背景和目標(biāo)兩部分，以背景和目標(biāo)之間的類間方差最大為閾值選取準(zhǔn)則，此算法在二維圖像處理中能取得很好的分割效果。但是，本文分割的對(duì)象是由三維點(diǎn)云模型重構(gòu)的模型曲面，如何將二維圖像的分割思想轉(zhuǎn)換到三維模型空間，研究適用于三維模型的分割閾值算法，是本文研究的重點(diǎn)。以下為本算法的主要思想：

已知隱式曲面可視化是利用很多細(xì)小的三角面片去逼近實(shí)際模型表面，即重構(gòu)出的模型曲面由大量的三角面片構(gòu)成。假設(shè)構(gòu)成三角面片的三個(gè)頂點(diǎn)為v1，v2和v3，稱為三角點(diǎn)；三角面片的三邊長(zhǎng)度分別為e1，e2和e3，則三角面片周長(zhǎng)L＝e1＋e2＋e3。

由圖1d可見，泊松算法重建的封閉曲面，模型外三角面片的數(shù)目相對(duì)較少，構(gòu)成偽封閉曲面的三角面片周長(zhǎng)比模型曲面上的三角面片周長(zhǎng)要大，但在模型邊緣的曲面，三角面片面積逐漸增大、周長(zhǎng)逐漸增加，并沒有明顯的邊界區(qū)分，因此采用人工的方法很難準(zhǔn)確地對(duì)生成的封閉曲面進(jìn)行分割。

原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)與重建曲面時(shí)生成的三角面片的三角點(diǎn)存在密切的關(guān)系。一般而言，三角點(diǎn)都落在原始輸入點(diǎn)附近，如圖2a所示的半圓球模型；泊松重建后得到封閉的圓球曲面，圖2b中深色點(diǎn)為生成的封閉圓球曲面三角面片的三角點(diǎn)，淺色點(diǎn)為原始半圓球模型輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)，由圖可知，模型曲面上的三角點(diǎn)分布在原始輸入點(diǎn)附近，且與原始輸入點(diǎn)距離較近，而偽平面三角點(diǎn)分布在原始模型輸入點(diǎn)外側(cè)，遠(yuǎn)離原始輸入點(diǎn)；圖2c所示為圖2b中黑色方框放大后的點(diǎn)云分布情況，淺色點(diǎn)p為原始輸入點(diǎn)，q1，q2和q3為三角點(diǎn)，其中q3為偽平面的三角點(diǎn)，q1和q2為模型曲面上的三角點(diǎn)，可見p點(diǎn)到q1和q2的距離明顯比到q3的距離小。利用這一特性，根據(jù)重建曲面三角點(diǎn)的密度分布，求取原始輸入點(diǎn)到模型曲面單位圓內(nèi)三角點(diǎn)的平均最大距離，將其設(shè)定為分割閾值T，然后分別計(jì)算原始輸入點(diǎn)與重建曲面三角點(diǎn)間的距離，將距離大于閾值T的三角點(diǎn)去掉，保留小于閾值T的三角點(diǎn)，從而準(zhǔn)確地重建出非封閉模型曲面。

2．1 采集樣本點(diǎn)

由上述分析可知，要找到分割閾值，必須將模型曲面上的三角點(diǎn)與原始輸入點(diǎn)進(jìn)行距離比較。但是如果將模型曲面上所有三角點(diǎn)與原始輸入點(diǎn)進(jìn)行比較，則計(jì)算量較大，為了減少內(nèi)存消耗，采集模型曲面上的部分三角點(diǎn)作為比較的樣本。由圖2c可知，模型曲面的三角點(diǎn)基本上都落在原始輸入點(diǎn)附近，而偽封閉曲面的三角點(diǎn)離原始輸入點(diǎn)較遠(yuǎn)。因此，可以通過采集部分在模型曲面上的三角點(diǎn)作為比較的樣本點(diǎn)。因?yàn)槲挥谀Ｐ颓嫔系娜敲嫫荛L(zhǎng)較小，數(shù)目較多，出現(xiàn)相同周長(zhǎng)的概率越大，所以可以通過計(jì)算生成三角面片的周長(zhǎng)，按相同周長(zhǎng)出現(xiàn)的概率大小采集樣本點(diǎn)來計(jì)算閾值。

假設(shè)泊松算法進(jìn)行模型重建時(shí)生成的三角面片的邊的集合A＝a1i，a2i，a3i，i＝1，…，Q，Q 為重建模型上全部三角面片的個(gè)數(shù)。則每個(gè)三角面片的周長(zhǎng)

按以下步驟采集樣本點(diǎn)：

步驟1 按像素的概念將每個(gè)周長(zhǎng)Li同乘以一個(gè)倍數(shù)，擴(kuò)大到整數(shù)L′i。

步驟2 將L′i的最小值標(biāo)記為L(zhǎng)′min、最大值標(biāo)記為L(zhǎng)′max，則三角面片周長(zhǎng)的大小范圍為［L′min，L′max］，其中周長(zhǎng)為L(zhǎng)′j的三角面片的總個(gè)數(shù)為μj，分布概率為

步驟3 將分布概率由大到小進(jìn)行排列，選取前面分布概率大的g個(gè)周長(zhǎng)L′i（i＝1，…，M）對(duì)應(yīng)的三角面片為樣本，每個(gè)周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)3個(gè)三角點(diǎn)，則一共有M′＝3g個(gè)樣本點(diǎn)，將樣本點(diǎn)集合記為X＝｛xi｜i＝1，…，M′｝。實(shí)際計(jì)算時(shí)，可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選取一個(gè)適當(dāng)?shù)膅來采集樣本點(diǎn)。

2．2 閾值計(jì)算

為了割除泊松算法對(duì)非封閉點(diǎn)云數(shù)據(jù)重建生成的偽封閉曲面，需要找到一個(gè)自適應(yīng)閾值來自動(dòng)保留非封閉曲面模型邊界內(nèi)的點(diǎn)，而除去模型邊界外的點(diǎn)。首先計(jì)算以上獲得的M′個(gè)樣本點(diǎn)與原始輸入點(diǎn)的距離，假設(shè)原始輸入點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，則原始輸入點(diǎn)的集合P＝｛p1，…，pk｝，對(duì)應(yīng)法向量的集合V＝｛v1，…，vk｝，pi，vi∈R3，則每個(gè)樣本點(diǎn)到原始輸入點(diǎn)集的歐氏距離

將dij按列固定，每列由小到大進(jìn)行排列。設(shè)生成曲面模型對(duì)應(yīng)的點(diǎn)云數(shù)目為k′，則生成曲面前后點(diǎn)云數(shù)目的比例

如果輸入原始點(diǎn)云數(shù)據(jù)的密度為ρ（即以某點(diǎn)為中心的單位圓內(nèi)點(diǎn)的數(shù)目），則生成新的點(diǎn)云密度為

取dij的第［ρ′］行，計(jì)算平均值

3 曲面分割

步驟1 設(shè)生成曲面的點(diǎn)云數(shù)據(jù)的集合P′＝｛p′1，…，p′N′｝，對(duì)應(yīng)法向量的集合V′＝｛v′1，…，v′k′｝，遍歷每個(gè)p′i，如果滿足

則將p′i標(biāo)記為1，即保留此點(diǎn)；如果不滿足，則標(biāo)記p′i為0，即為要割除的點(diǎn)。

步驟2 去除含有標(biāo)記為0的三角點(diǎn)的三角面片，保留標(biāo)記為1的三角點(diǎn)的三角面片，從而完成偽封閉曲面的割除，得到真實(shí)的非封閉模型曲面。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在VC＋＋6．0和OpenGL環(huán)境中實(shí)現(xiàn)了上述算法，計(jì)算機(jī)硬件配置為PⅣ3．0GHz CPU，2．0 GB內(nèi)存。對(duì)20組非封閉的點(diǎn)云模型進(jìn)行泊松三維重建及分割實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用本文算法對(duì)泊松三維重建生成的偽封閉曲面均能取得較好的分割效果，且算法魯棒性強(qiáng)、穩(wěn)定可靠。下面給出部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果，其中模型的分割閾值如表1所示。

圖3和圖4所示為明顯的不封閉模型。圖3是馬體模型的分割效果圖，從圖3a可以看出，原始點(diǎn)云是不封閉的模型，圖3b是泊松算法自動(dòng)重建出的模型封閉曲面，利用本文算法計(jì)算出分割閾值T＝0．16，可以很好地將封閉的曲面分割出來，分割結(jié)果準(zhǔn)確，分割邊緣光順，如圖3c所示。對(duì)圖4的髖部非封閉模型，利用本算法也能準(zhǔn)確有效地將封閉的偽曲面分割出去，如圖4c所示。

表1 模型分割閾值T

圖3和圖4是一組比較理想的掃描模型，使用本算法對(duì)模型進(jìn)行分割能取得很好的效果。但在實(shí)際的三維模型采集中，采集的數(shù)據(jù)往往各式各樣，為了說明本算法的穩(wěn)健性，采用多組斯坦福大學(xué)采集的三維掃描數(shù)據(jù)［10］進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。本文給出三組數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及對(duì)比分析，帶有法向量的點(diǎn)云數(shù)據(jù)如圖5所示，圖5c和圖5d為兔子模型多視角的顯示效果。由圖5可知，掃描的三維數(shù)據(jù)由實(shí)際數(shù)據(jù)采集，模型都是不封閉且邊緣復(fù)雜不規(guī)則的，明顯增加了分割的難度。圖6所示為圖5中點(diǎn)云模型的泊松重建曲面模型，由圖可見，重建的模型都是封閉的。圖7所示為本文分割算法計(jì)算獲得的曲面模型，由圖可知，使用本算法能很好地將封閉曲面分割出來，且都很好地還原了原始模型復(fù)雜不規(guī)則的邊緣，對(duì)比圖5c、圖6c和圖7c黑色方框內(nèi)的曲面部分可知，本文算法能夠能很好地分割出點(diǎn)云的邊界，同時(shí)重建的曲面仍具有隱式曲面的特點(diǎn)，而且能夠很好地還原模型的原始邊界特征。通過大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析可知，采用本文所提算法能夠使絕大部分非封閉三維點(diǎn)云模型都能獲得高質(zhì)量的非封閉曲面模型，充分驗(yàn)證了本算法的穩(wěn)健性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性，將圖5～圖7中的點(diǎn)云數(shù)據(jù)利用基于α－shape的算法進(jìn)行重建［11］，結(jié)果如圖8所示。基于α－shape的算法是一種顯示方法，當(dāng)點(diǎn)云質(zhì)量不好或較稀疏時(shí)，基于αshape的結(jié)果并不理想，如圖8c黑色方框中Bunny模型的耳朵部分重建曲面出現(xiàn)了明顯的殘缺。而本文所提算法是建立在隱式曲面重建的基礎(chǔ)上，因此對(duì)點(diǎn)云質(zhì)量較差和密度稀疏的情況均能獲得理想的結(jié)果。對(duì)比圖7c黑色方框中Bunny模型耳朵部分的重建效果可以看出，本文方法能取得更好的重建結(jié)果。

5 結(jié)束語

本文提出一種自動(dòng)閾值分割的非封閉曲面三維重建方法，能快速、準(zhǔn)確地對(duì)泊松算法生成的封閉曲面進(jìn)行分割，自動(dòng)去除非封閉曲面重建時(shí)生成的多余偽曲面。大量實(shí)驗(yàn)證明，使用本算法可得到精確的分割效果，算法的魯棒性強(qiáng)、算法復(fù)雜度低，所需的時(shí)間復(fù)雜度為O（N），而且算法簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，為泊松曲面重建算法在逆向工程領(lǐng)域中的非封閉點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行直接重建奠定了良好的基礎(chǔ)。本文所提方法是在泊松算法重建得到偽封閉模型曲面的基礎(chǔ)上，采用閾值分割的方法除去偽曲面而得到與點(diǎn)云一致的非封閉模型。如何能對(duì)非封閉點(diǎn)云數(shù)據(jù)直接進(jìn)行高質(zhì)量的曲面重建，進(jìn)一步提高算法的通用性，是今后研究的重點(diǎn)。

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