聞 騰,吳國(guó)盛,賴云忠
(太原技科大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原030024)
20世紀(jì)80年代Feynman提出了基于量子力學(xué)規(guī)律工作的量子計(jì)算機(jī)的概念[1],隨后Deutsch指出可以利用量子態(tài)的相干[2]疊加性實(shí)現(xiàn)并行量子計(jì)算[3],1994年Shor設(shè)計(jì)了能夠進(jìn)行大數(shù)質(zhì)因子分解的量子算法[4],使得量子計(jì)算及量子通信有了飛速的發(fā)展。在量子計(jì)算中,相關(guān)的運(yùn)算都是通過(guò)量子門(mén)來(lái)實(shí)現(xiàn)的,本論文針對(duì)單量子比特門(mén)和一些常用的多量子比特門(mén)組合的矩陣表示及運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析,得出了多量子比特門(mén)線路的矩陣表示,并進(jìn)一步研究了n量子比特線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算,為量子計(jì)算機(jī)的gray編碼[5]和程序化邏輯運(yùn)算提供了最基本的理論依據(jù)。
量子門(mén)按它作用的量子位的數(shù)目可分為一位門(mén)、二位門(mén)、三位門(mén)和N位門(mén),n量子比特門(mén)對(duì)應(yīng)的矩陣為方陣,為了便于計(jì)算主要研究3比特以下量子門(mén),包括3比特量子門(mén)。
單量子門(mén)主要有單位I門(mén)、X門(mén)、Y門(mén)、Z門(mén)、S門(mén)、T門(mén)、H門(mén)和一些單量子旋轉(zhuǎn)門(mén)[6],以非門(mén)為例對(duì)應(yīng)的線路和矩陣表示如下:
圖1 單量子門(mén)線路Fig.1 Circuit for one qubit gate
以受控非門(mén)[7]為例,它是量子門(mén)中比較基礎(chǔ)的門(mén),任意n量子比特狀態(tài)的兩級(jí)酉運(yùn)算都可以用單量子比特門(mén)和受控非門(mén)實(shí)現(xiàn):
圖2 受控非門(mén)線路Fig.2 Circuit for a NOT-gate
圖3 三比特量子門(mén)線路Fig.3 Circuit for three-qubit gate
矩陣的具體分解運(yùn)算表示:
在量子網(wǎng)絡(luò)中任意的量子線路都是可分解的,用In表示n階單位矩陣,在量子線路邏輯單元的分解運(yùn)算過(guò)程中,用M1表示線路的矩陣形式,量子線路和運(yùn)算規(guī)則分別表示為:
圖4 n比特量子門(mén)邏輯單元線路Fig.4 A single logical circuit for n qubits
量子線路的運(yùn)算規(guī)則是從上到下從左到右對(duì)量子輸入態(tài)進(jìn)行幺正變換的演化,利用張量積方法分解[8],將量子線路分解成邏輯單元線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算,用M2表示量子線路的矩陣形式,量子線路和運(yùn)算規(guī)則分別表示為:
圖5 n比特量子門(mén)線路Fig.5 Quantum network of an n-qubit gate
圖6 3比特量子Fourier變換線路Fig.6 Quantum Fourier transform for three-qubit gate
在這個(gè)3量子比特程序中,利用量子線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算理論可知,量子線路可看作是7個(gè)矩陣的級(jí)聯(lián)運(yùn)算,我們分別用A、B、C、D、E、F、G表示對(duì)應(yīng)的分級(jí)矩陣:
在N比特量子Fourier變換[9-10]線路中,當(dāng)n=3時(shí),量子Fourier變換線路與圖6所示量子線路相同,對(duì)應(yīng)的量子線路和矩陣形式F3分別為:
圖7 n比特量子Fourier變換線路Fig.7 Efficient circuit for the quantum Fourier transform
通過(guò)分析量子線路的矩陣乘積形式,提出量子線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算規(guī)則,并用具體的實(shí)例完成了量子線路具體的計(jì)算過(guò)程,與Fourier變換運(yùn)算結(jié)果一致,證明了其規(guī)則的正確性。量子線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算規(guī)則適用于任何量子線路,特別是在一些復(fù)雜的量子線路中,可以忽略量子比特之間的糾纏關(guān)系,利用矩陣相乘實(shí)現(xiàn)線路輸入態(tài)的幺正變換,作為一種算法其優(yōu)點(diǎn)是可以將量子線路用具體的矩陣表示出來(lái),完成任意量子線路的邏輯運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的程序化運(yùn)算。
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