聞 騰，吳國(guó)盛，賴云忠

(太原技科大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024)

20世紀(jì)80年代Feynman提出了基于量子力學(xué)規(guī)律工作的量子計(jì)算機(jī)的概念[1]，隨后Deutsch指出可以利用量子態(tài)的相干[2]疊加性實(shí)現(xiàn)并行量子計(jì)算[3]，1994年Shor設(shè)計(jì)了能夠進(jìn)行大數(shù)質(zhì)因子分解的量子算法[4]，使得量子計(jì)算及量子通信有了飛速的發(fā)展。在量子計(jì)算中，相關(guān)的運(yùn)算都是通過(guò)量子門(mén)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，本論文針對(duì)單量子比特門(mén)和一些常用的多量子比特門(mén)組合的矩陣表示及運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行分析，得出了多量子比特門(mén)線路的矩陣表示，并進(jìn)一步研究了n量子比特線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算，為量子計(jì)算機(jī)的gray編碼[5]和程序化邏輯運(yùn)算提供了最基本的理論依據(jù)。

1 量子門(mén)的矩陣表示

量子門(mén)按它作用的量子位的數(shù)目可分為一位門(mén)、二位門(mén)、三位門(mén)和N位門(mén)，n量子比特門(mén)對(duì)應(yīng)的矩陣為方陣，為了便于計(jì)算主要研究3比特以下量子門(mén)，包括3比特量子門(mén)。

1.1 單比特量子門(mén)

單量子門(mén)主要有單位I門(mén)、X門(mén)、Y門(mén)、Z門(mén)、S門(mén)、T門(mén)、H門(mén)和一些單量子旋轉(zhuǎn)門(mén)[6]，以非門(mén)為例對(duì)應(yīng)的線路和矩陣表示如下:

圖1 單量子門(mén)線路Fig.1 Circuit for one qubit gate

1.2 二比特量子門(mén)

以受控非門(mén)[7]為例，它是量子門(mén)中比較基礎(chǔ)的門(mén)，任意n量子比特狀態(tài)的兩級(jí)酉運(yùn)算都可以用單量子比特門(mén)和受控非門(mén)實(shí)現(xiàn):

圖2 受控非門(mén)線路Fig.2 Circuit for a NOT-gate

1.3 三比特量子門(mén)

圖3 三比特量子門(mén)線路Fig.3 Circuit for three-qubit gate

矩陣的具體分解運(yùn)算表示:

2 量子線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算規(guī)則

在量子網(wǎng)絡(luò)中任意的量子線路都是可分解的，用In表示n階單位矩陣，在量子線路邏輯單元的分解運(yùn)算過(guò)程中，用M1表示線路的矩陣形式，量子線路和運(yùn)算規(guī)則分別表示為:

圖4 n比特量子門(mén)邏輯單元線路Fig.4 A single logical circuit for n qubits

量子線路的運(yùn)算規(guī)則是從上到下從左到右對(duì)量子輸入態(tài)進(jìn)行幺正變換的演化，利用張量積方法分解[8]，將量子線路分解成邏輯單元線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算，用M2表示量子線路的矩陣形式，量子線路和運(yùn)算規(guī)則分別表示為:

圖5 n比特量子門(mén)線路Fig.5 Quantum network of an n-qubit gate

3 級(jí)連運(yùn)算應(yīng)用舉例

圖6 3比特量子Fourier變換線路Fig.6 Quantum Fourier transform for three-qubit gate

在這個(gè)3量子比特程序中，利用量子線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算理論可知，量子線路可看作是7個(gè)矩陣的級(jí)聯(lián)運(yùn)算，我們分別用A、B、C、D、E、F、G表示對(duì)應(yīng)的分級(jí)矩陣:

在N比特量子Fourier變換[9-10]線路中，當(dāng)n=3時(shí)，量子Fourier變換線路與圖6所示量子線路相同，對(duì)應(yīng)的量子線路和矩陣形式F3分別為:

圖7 n比特量子Fourier變換線路Fig.7 Efficient circuit for the quantum Fourier transform

4 結(jié)論

通過(guò)分析量子線路的矩陣乘積形式，提出量子線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算規(guī)則，并用具體的實(shí)例完成了量子線路具體的計(jì)算過(guò)程，與Fourier變換運(yùn)算結(jié)果一致，證明了其規(guī)則的正確性。量子線路的級(jí)聯(lián)運(yùn)算規(guī)則適用于任何量子線路，特別是在一些復(fù)雜的量子線路中，可以忽略量子比特之間的糾纏關(guān)系，利用矩陣相乘實(shí)現(xiàn)線路輸入態(tài)的幺正變換，作為一種算法其優(yōu)點(diǎn)是可以將量子線路用具體的矩陣表示出來(lái)，完成任意量子線路的邏輯運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)的程序化運(yùn)算。

[1]FEYNMAN R P.Simulating physics with computers[J].Int J Theor Phys，1982，21(6/7):467-488.

[2]賴云忠.自旋體系的一般SU相干態(tài)[J].太原重型機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào)，1994，14(2):1-6.

[3]DEUTSCH D.The Church-Turing principle and the universal quantum computer[C]//Proc of Roy Soc:London A，1985，400:97-117.

[4]SHOU P W.Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer[J].SIAM Journal on Computing，1997，26(5):1484-1506.

[5]喀興林.高等量子力學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2001.

[6]李士勇，李盼池.量子計(jì)算與量子優(yōu)化算法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[7]MICHAEL A NIELSEN，ISAAC L CHUANG.Quantum Computation and Quantum information[M].Cambridge:Cambridge University Press ，2000.

[8]趙生妹，鄭寶玉.量子信息處理技術(shù)[M].北京:北京郵電大學(xué)出版社，2010.

[9]STEANE A.Quantum computing[J].Reports on Progress in Physics，1998，61:117-119.

[10]BGRIFFITHS R，NIU C S.Semiclassical Fourier transform for quantum computation[J].Phy Rev Lett，1996，76(17):3228-3231.