聞 騰，吳國盛，賴云忠

(太原技科大學應用科學學院，太原030024)

20世紀80年代Feynman提出了基于量子力學規(guī)律工作的量子計算機的概念[1]，隨后Deutsch指出可以利用量子態(tài)的相干[2]疊加性實現并行量子計算[3]，1994年Shor設計了能夠進行大數質因子分解的量子算法[4]，使得量子計算及量子通信有了飛速的發(fā)展。在量子計算中，相關的運算都是通過量子門來實現的，本論文針對單量子比特門和一些常用的多量子比特門組合的矩陣表示及運算結果進行分析，得出了多量子比特門線路的矩陣表示，并進一步研究了n量子比特線路的級聯運算，為量子計算機的gray編碼[5]和程序化邏輯運算提供了最基本的理論依據。

1 量子門的矩陣表示

量子門按它作用的量子位的數目可分為一位門、二位門、三位門和N位門，n量子比特門對應的矩陣為方陣，為了便于計算主要研究3比特以下量子門，包括3比特量子門。

1.1 單比特量子門

單量子門主要有單位I門、X門、Y門、Z門、S門、T門、H門和一些單量子旋轉門[6]，以非門為例對應的線路和矩陣表示如下:

圖1 單量子門線路Fig.1 Circuit for one qubit gate

1.2 二比特量子門

以受控非門[7]為例，它是量子門中比較基礎的門，任意n量子比特狀態(tài)的兩級酉運算都可以用單量子比特門和受控非門實現:

圖2 受控非門線路Fig.2 Circuit for a NOT-gate

1.3 三比特量子門

圖3 三比特量子門線路Fig.3 Circuit for three-qubit gate

矩陣的具體分解運算表示:

2 量子線路的級聯運算規(guī)則

在量子網絡中任意的量子線路都是可分解的，用In表示n階單位矩陣，在量子線路邏輯單元的分解運算過程中，用M1表示線路的矩陣形式，量子線路和運算規(guī)則分別表示為:

圖4 n比特量子門邏輯單元線路Fig.4 A single logical circuit for n qubits

量子線路的運算規(guī)則是從上到下從左到右對量子輸入態(tài)進行幺正變換的演化，利用張量積方法分解[8]，將量子線路分解成邏輯單元線路的級聯運算，用M2表示量子線路的矩陣形式，量子線路和運算規(guī)則分別表示為:

圖5 n比特量子門線路Fig.5 Quantum network of an n-qubit gate

3 級連運算應用舉例

圖6 3比特量子Fourier變換線路Fig.6 Quantum Fourier transform for three-qubit gate

在這個3量子比特程序中，利用量子線路的級聯運算理論可知，量子線路可看作是7個矩陣的級聯運算，我們分別用A、B、C、D、E、F、G表示對應的分級矩陣:

在N比特量子Fourier變換[9-10]線路中，當n=3時，量子Fourier變換線路與圖6所示量子線路相同，對應的量子線路和矩陣形式F3分別為:

圖7 n比特量子Fourier變換線路Fig.7 Efficient circuit for the quantum Fourier transform

4 結論

通過分析量子線路的矩陣乘積形式，提出量子線路的級聯運算規(guī)則，并用具體的實例完成了量子線路具體的計算過程，與Fourier變換運算結果一致，證明了其規(guī)則的正確性。量子線路的級聯運算規(guī)則適用于任何量子線路，特別是在一些復雜的量子線路中，可以忽略量子比特之間的糾纏關系，利用矩陣相乘實現線路輸入態(tài)的幺正變換，作為一種算法其優(yōu)點是可以將量子線路用具體的矩陣表示出來，完成任意量子線路的邏輯運算，實現量子計算機的程序化運算。

[1]FEYNMAN R P.Simulating physics with computers[J].Int J Theor Phys，1982，21(6/7):467-488.

[2]賴云忠.自旋體系的一般SU相干態(tài)[J].太原重型機械學院學報，1994，14(2):1-6.

[3]DEUTSCH D.The Church-Turing principle and the universal quantum computer[C]//Proc of Roy Soc:London A，1985，400:97-117.

[4]SHOU P W.Polynomial-time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer[J].SIAM Journal on Computing，1997，26(5):1484-1506.

[5]喀興林.高等量子力學[M].北京:高等教育出版社，2001.

[6]李士勇，李盼池.量子計算與量子優(yōu)化算法[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學出版社，2009.

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