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        立體幾何中的變與不變的關(guān)系問題

        2013-07-29 02:27:22葉雙能
        新課程學(xué)習(xí)·中 2013年5期
        關(guān)鍵詞:成角二面角動(dòng)點(diǎn)

        葉雙能

        數(shù)學(xué)是研究空間形與數(shù)的一門學(xué)科,既體現(xiàn)了數(shù)與形的和諧與統(tǒng)一,又展現(xiàn)了動(dòng)與靜的完美結(jié)合,立體幾何中的某些問題將這種動(dòng)靜之間的辯證關(guān)系得到完美體現(xiàn),下面以試題的形式談?wù)勥@類問題研究的一般規(guī)律.

        一、典例分析

        例1.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),給出下列四個(gè)命題:

        ①三棱錐A-D1PC的體積不變;②直線AP與平面ACD1所成角的大小不變;③直線AP與直線AD1所成角的大小不變;④二面角P-AD1-C的大小不變.

        其中所有真命題的編號(hào)是(1,3,4).

        解析:(1)∵VA-D PC=VP-ACD = S△ACD ×dP-ACD

        ∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是線段BC1,而BC1∥平面ACD1,

        ∴點(diǎn)P到平面ACD1的距離相等;

        (2)很明顯直線AP與平面ACD1的傾斜角在變化;

        (3)A1D始終垂直于運(yùn)動(dòng)的直線AP所在的平面BAD1C1,所以A1D⊥AP.

        (4)∵動(dòng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中,平面PAD1=ABC1D1,所以二面角P-AD1-C的大小不變.

        技巧:分析過程由局部的動(dòng)點(diǎn)到整體;即考查動(dòng)點(diǎn)所在的線(面)與已知的點(diǎn)線面之間的特殊的不變的關(guān)系(如平行、垂直、距離、夾角不變的關(guān)系).

        例2.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F(xiàn)分別為棱BC,DD1上的點(diǎn),給出下列命題:

        ①在平面ABF內(nèi)總存在與直線B1E平行的直線;

        ②若B1E⊥平面ABF,則CE與DF的長度之和為2;

        ③存在點(diǎn)F使二面角B1-AC-F的大小為45°;

        ④設(shè)A1A與平面ABF所成的角為α,BC與平面ABF所成的角為β,則α+β的大小與點(diǎn)F的位置無關(guān).

        其中真命題的序號(hào)是_____②④_____.(寫出所有真命題的序號(hào))

        技巧:(1)考查了線面平行的判定定理,通過平移直線B1E可以看出,兩者不可能保持平行關(guān)系.

        (2)考查了線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理及平面幾何中的相似關(guān)系.

        ∵B1E⊥平面ABF,∴B1E⊥AF,設(shè)CE=a,DF=b以DA為x軸,

        DC為y軸,DD1為z軸,則 =(a-2,0,-2), =(-2,0,b),∴ · =-2a+4-2b=0,∴a+b=2.

        (3)尋找臨界狀態(tài)(最大角和最小角)時(shí)刻的角可知,選項(xiàng)③錯(cuò)誤.

        (4)通過平移,將BC平移到AD的位置,這樣α+β就是A1A,AD與平面ABF所成角的和,很明顯該值為90°.

        例3.(2010北京)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在棱AD,CD上,若EF=1,E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),則四面體PEFQ的體積( )

        A.與x,y,z都有關(guān)

        B.與x有關(guān),與y,z無關(guān)

        C.與y有關(guān),與x,z無關(guān)

        D.與z有關(guān),與x,y無關(guān)

        解析:尋求不變量之間的關(guān)系:V= S△EFQ·dA-EFQ= S△AEF·dQ-AEF.

        從V= S△EFQ·dA-EFQ角度考慮:S△EFQ不變,但是dA-EFQ在變,看不出與x,y,z的變化是否有關(guān)系;從 S△EFQ·dA-EFQ角度考慮,因?yàn)辄c(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的軌跡所在的直線DC∥EF,所以dA-EFQ不變,S△AEF= EF×dP-EF在變化,與點(diǎn)P的位置有關(guān).

        二、拓展訓(xùn)練

        如圖,在透明塑料制成的長方體ABCD-A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水,將容器底面一邊BC固定于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下列四個(gè)說法:

        ①水的部分始終呈棱柱狀;②水面四邊形EFGH的面積不改變;③棱A1D1始終與水面EFGH平行;④當(dāng)E∈AA1時(shí),AE+BF是定值.其中正確說法是( )

        A.①②③ B.①②④

        C.②③④ D.①③④

        (作者單位 浙江省臺(tái)州市蓬街私立中學(xué))

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