☉江蘇省揚州市江都區(qū)楊莊中學(xué) 肖世兵

數(shù)學(xué)離不開解題，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開習(xí)題講評.習(xí)題評講課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要課型，也是數(shù)學(xué)鞏固教學(xué)的重要環(huán)節(jié).

關(guān)于試卷評講，已有不少老師做過研究：重點關(guān)注了錯題的講解與變式；主要集中于評講課課型模式、試卷評講的現(xiàn)狀、講評課的流程、講評要點等的研究.當(dāng)然，這些是評講研究的重點，但我們也應(yīng)重視對一些正確題的點評.

在實際練習(xí)中，學(xué)生的客觀題（選擇題和填空題）的答案有不少是對的，細細追問，可以發(fā)現(xiàn)他們獲取答案的方式是多樣的，或看出來的，或量出來的，或折出來的，或用特殊值代出來的，或用排他法篩出來的……對客觀題的評講，不少老師也只偏重于答案的獲得，大有“不管白貓黑貓，只要逮住老鼠都是好貓”之意.

值得肯定的是，在考試中使用這些技巧求解也不失為一種省時高效的方法.但一旦改變題型，將客觀題改為解答題，原有的技巧方法將隨之失效，學(xué)生的“問題”將暴露無疑，這時勢必導(dǎo)致部分學(xué)生紛紛“落馬”.因而，一些客觀題表面上看學(xué)生是做對了，但實質(zhì)上，還有不少學(xué)生不知道、不了解或不清楚問題解答的數(shù)學(xué)原理.這就是在學(xué)生練習(xí)中，客觀存在的“對而不懂”現(xiàn)象.這也就需要教師重視客觀題中的“對而不懂”現(xiàn)象，重視對此類試題的評講.

一、“對而不懂”現(xiàn)象分析

1.“看出來的”答案

例1 如圖1，△ABC中，D為AB的中點，將△ABC沿DE所在直線翻折，使點A恰好落在BC上F處，若∠B=50°，則∠ADE=______.

圖1

教學(xué)片斷：

教師：此題怎么解答？

學(xué)生1（不屑的說道）：“這題太簡單了，看看答案就出來了.”（一句話逗得全班大笑）

教師：眼見不一定為實的，具體說說你怎么看到的.

學(xué)生1：顯然DE∥BC，所以∠ADE=∠B=50°.

教師：為什么DE∥BC？條件“D為AB的中點，將△ABC沿DE所在直線翻折”有什么用？

學(xué)生1（支支吾吾）：恩，還是看出來的.

教師：幾何上，我們不能將“看上去的”作為條件直接使用.對于猜想的結(jié)論，往往是需要論證的.大家一起想想，怎么解決？

（經(jīng)過一段時間的思考，兩位學(xué)生給出了如下的解題思路）

學(xué)生2：連接AF，由翻折知DE⊥AF.由AD=DB=DF，可得AF⊥BC.故DE∥BC.

學(xué)生3：設(shè)AF與DE的交點為G，則由翻折可知G為AF的中點，而D又為AB的中點，故由中位線性質(zhì)也可得到DE∥BC.

教師：還有其他方法嗎？抓住“中點”和“翻折的性質(zhì)”，將條件產(chǎn)生有效關(guān)聯(lián).

學(xué)生4：由翻折知：△ADE≌△FDE，可得DF=AD，∠ADE=∠FDE.因為D為AB的中點，所以DA=DB，所以DF=DB，所以∠B=∠DFB.又因為∠ADF=∠FDE+∠ADE=2∠ADE，∠ADF=∠B+∠DFB=2∠B，所以，∠ADF=∠B=50°.

案例分析：

此題的正確率雖然很高，但通過課堂調(diào)查，發(fā)現(xiàn)真正理解會做的不到25%.許多學(xué)生都是借助直觀感受看出來的，忽視對條件的充分應(yīng)用，忽略了“軸對稱性質(zhì)”的運用.在幾何練習(xí)中，一些學(xué)生常常將這種“看上去的”作為條件使用，把看似等邊三角形的就當(dāng)?shù)冗吶切斡茫此频妊苯侨切蔚木彤?dāng)?shù)妊苯侨切斡?，不是依?jù)題意，而是憑“圖”捏造條件，按“圖”索解.初學(xué)幾何時，學(xué)生常常因畏難偷懶，不愿思考，懶于思考.如若不做講評，極易養(yǎng)成學(xué)生的解題僥幸心理，只注重結(jié)果而不重視過程，不求甚解，這樣不利于發(fā)展推理能力和培養(yǎng)嚴(yán)謹?shù)目茖W(xué)探究精神.

因此，幾何習(xí)題講評時，謹防學(xué)生按“圖”索解，謹防因直觀猜想而造成的“對而不懂”.

2.“特殊來的”答案

教學(xué)片斷：

教師：解決此題時，我們應(yīng)先根據(jù)題意，畫出草圖.請同學(xué)們說說你的解法.

學(xué)生1：我是這樣畫圖的：直線l取的是y=2，此時，點A（-3，2）、B（1，2），則AB=4，點P到AB的距離就是平行線間的距離，即△CBP的邊AB上的高，所以，△ABP的面積是4.

教師：將直線l特殊化為y=2，不錯的想法！還有沒有其他解法？

學(xué)生2：我是這樣畫圖的：將點P取在原點O，如圖2.設(shè)AB與y軸交于點C，則利用反比例函數(shù)的面積性質(zhì)，得△CBP的面積是1，△ACP的面積是3，所以，△ABP的面積是4.

圖2

（在詢問了幾個學(xué)生都是取特殊情形解答之后，我又追問一句）

教師：除了取特殊位置解法外，在一般位置的情形下，又如何解決？

（一時間，學(xué)生陷入沉思中……）

學(xué)生3：當(dāng)點P在除原點以外的其他位置時，利用“平行線間的距離”和“同底等高的三角形面積相等”，可知△ABP的面積等于△ABO的面積，再利用反比例函數(shù)的面積性質(zhì)得解.

教師：很好！學(xué)生3很好地運用了轉(zhuǎn)化思想，將一般化為特殊，再轉(zhuǎn)化為基本圖形，解決此題.

解決此類面積問題，一種方法，就是化基本形；另一種方法，就是回到數(shù)學(xué)的“根”上，此題是坐標(biāo)系下的三角形面積問題，確定三角形的三個頂點的坐標(biāo)，即可表示三角形的面積.

教師：同學(xué)們給出了不少的解法，大家都在積極開動腦筋.仔細想想，這些解法不外乎特殊解法與一般解法兩種，特殊解法能有助于我們快速求解，但不利于我們對問題本質(zhì)的把握，對問題的研究淺嘗則止，研究不深入、不徹底.一般解法更能讓我們體會到此類問題的通解通法，值得重視.

案例分析：

反比例函數(shù)背景下的面積問題是中考熱點問題，此題涉及兩個反比例函數(shù)的圖像，試題新穎，同時試題中的兩個動態(tài)條件使此類問題的解決更具有一般性和普適性.考慮試題很有研究價值，雖正確率高，教學(xué)時，還是做了評講.評講時，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生在畫圖時，都選取了特殊情形（一種是將直線l的位置特殊化，另一種是將點P的位置特殊化，第三種是將直線l和點P的位置都特殊化），基本符合備課時的預(yù)見.當(dāng)然，值得鼓勵的是學(xué)生能利用特殊與一般的關(guān)系進行解題也算是不錯的，但此法功利性強、應(yīng)試味兒濃，不利于引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深入理解和數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)注.因此，教師評講時，重點引導(dǎo)對一般方法的探究，突出對通解通法的掌握，同時，深刻感受一般解法與特殊解法之間的共同點和不同點.

因此，習(xí)題評講中既注重答題技巧的講解，更要關(guān)注對通解通法的講解，避免因特殊而造成的“對而不懂”.

3.“排出來的”答案

例3（2012年威海）下列選項中，陰影部分面積最小的是（ ）.

圖3

教學(xué)片斷：

學(xué)生1：采用排除法解題，選項A、B、D是課堂中研究的一些基本圖形，它們的面積都等于2，故面積最小的一定是C.

教師：通過排除法，對簡單問題作出解答，避開復(fù)雜的問題，選出正確答案，這是選擇題中常用的解題技巧之一，用于應(yīng)試那絕對是省事高效的妙招.但若將選項C單獨出來，作為填空題或解答題來考查，你能避開嗎？

學(xué)生1（一邊抓耳撓腮，一邊忙于思考）：嗯……

教師：在平時練習(xí)中，我們應(yīng)以弄懂問題為目標(biāo)，而不應(yīng)滿足于得到一個答案.事實上，這位同學(xué)雖得出正確答案，但對問題的理解還是不夠全面、到位的.一旦改變題型，即會造成不懂的現(xiàn)象.

（經(jīng)過一段思考后，學(xué)生們陸陸續(xù)續(xù)地給出了不同的解法）

學(xué)生2：如圖4，過點M、N作MA⊥x軸，NB⊥x軸，垂足分別為A、B.

由反比例函數(shù)的k的幾何意義，可知：△MOA的面積等于△NOB的面積，從而，可得△MNO的面積等于直角梯形MABN的面積.

由點M（1，2）、N（2，1），可知MA=2，NB=1，AB=1.

圖4

教師：該法利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，將“斜”三角形轉(zhuǎn)化為直角梯形求解，轉(zhuǎn)化得好！

學(xué)生3：如圖5，設(shè)直線MN與x、y軸分別交于點B、A.

由M（1，2）、N（2，1）求出直線MN的解析式為y=-x+3.

再求出點A（0，3）、B（3，0）.

圖5

教師：通過延長MN，舍用反比例函數(shù)，利用一次函數(shù)的知識，運用“補”的策略，進行轉(zhuǎn)化，此法跳出背景，抓住本質(zhì)，不失一般.

學(xué)生4：分別過點M、N作x軸、y軸的平行線，如圖6所示.

易知點C的坐標(biāo)為（2，2）.

圖6

教師：通過“補”成矩形，轉(zhuǎn)化求解.此法與上法異曲同工，但此法更為簡潔，值得推廣.

（正當(dāng)筆者要講下一題時，一位男生舉手示意，說自己還有其他解法）

（鑒于課堂時間原因，筆者要求該男生說出了解題的思路，沒做具體求解）

教師：該同學(xué)利用幾何性質(zhì)探究了三角形的面積，也是一種很好的思路.坐標(biāo)系下的面積求解，除了用坐標(biāo)知識、函數(shù)知識外，利用幾何解答，也是值得思考的角度.同學(xué)們積極思考，真的很棒，大家把熱烈的掌聲送給他們.

教師：反思總結(jié)一下，求“斜”三角形的面積的方法有哪些？其中，哪種方法最為簡潔？哪些解法更具有通用性？這些解法中體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

（出示一道變式訓(xùn)練題，加強鞏固）

題目：已知在平面直角坐標(biāo)系下，點A（-1，-2）、B（4，3），求△AOB的面積.

案例分析：

排除法作為解題技巧，用于應(yīng)試教學(xué)無可厚非.如若改變題型，將選項C的情形，放置于填空題或解答題中，還會有如此高的正確率嗎？因此，作為平時的習(xí)題評講，應(yīng)注重對數(shù)學(xué)思想方法、解題能力的訓(xùn)練.筆者評講此題時，用了一節(jié)課的時間，重點探討了選項C中的“斜”三角形的面積的求法.課堂上，學(xué)生積極思考，給出了不同的解答方式，通過變式反思，學(xué)生較好地掌握了這一類型的三角形面積的基本求法，真正達到了做一題、會一類、通一片的效果，消除了此題中的對而不懂的隱患.

所以，在平時的習(xí)題評講中，對于采用排除法獲得正確答案的試題，不應(yīng)忽視其的正面解決方法，謹防因用排除法而造成的“對而不懂”.

二、幾點思考

（1）因解題方法、解題技巧、學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)心理等因素的作用，“對而不懂”現(xiàn)象是普遍、客觀存在的.其成因是多樣的、復(fù)雜的.既有答題技巧方面的，也有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理方面的.對于答題技巧方面，通過讓學(xué)生說解法，說思路，可以及時發(fā)現(xiàn)，及時彌補；對于學(xué)習(xí)心理方面，習(xí)題評講時，以激勵表揚為主，捕捉每位學(xué)生解答的閃光點，從而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、情感等積極因素，激發(fā)勤奮好學(xué)的愿望.

（2）在平時習(xí)題評講教學(xué)中，既要關(guān)注錯題的評講，也不忽視對正題的分析研究.教師應(yīng)學(xué)會講前質(zhì)疑，學(xué)生真的懂了？學(xué)生可能會犯什么錯誤？學(xué)生會用哪些解法？習(xí)題是否可以變式拓展？通過教師提前預(yù)設(shè)，也能夠有效避免“對而不懂”現(xiàn)象.

（3）在客觀題的解答中，因題制宜，對學(xué)生技巧性的解答（如度量法、排除法、特殊法，直觀感受等）應(yīng)給予充分肯定.同時，鼓勵學(xué)生嘗試從正面解答，使學(xué)生的解答更豐滿，解法更多樣，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考，積極培養(yǎng)學(xué)生“求原理、究根底”的學(xué)習(xí)作風(fēng)和科學(xué)嚴(yán)謹?shù)奶骄烤?

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