☉江蘇省淮安市淮海中學(xué) 張建華

著名數(shù)學(xué)家弗蘭登塔爾曾說(shuō)：“從來(lái)沒(méi)有一種數(shù)學(xué)的思想會(huì)像當(dāng)初被發(fā)現(xiàn)時(shí)那樣付諸文字，一旦問(wèn)題解決了，思考的程序便顛倒過(guò)來(lái)，把火熱的思考變成冰冷的美麗”.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是近年來(lái)中考的熱點(diǎn)，其中有關(guān)直接寫出動(dòng)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)的中考題也備受各地中考命題者的青睞，由于動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑是隱性的，這類試題能全面考查數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、解決問(wèn)題的能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題要經(jīng)過(guò)火熱的思考，才能得出冰冷的美麗，因此，這類問(wèn)題常是填空題、選擇題、解答題中的壓軸題，而在解答題中常是直接寫出動(dòng)點(diǎn)的路徑長(zhǎng)．

一、解題策略

因動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)可求，故常見(jiàn)的動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑有線段和圓弧兩類．路徑雖是“隱性”，但用三點(diǎn)這“X光”顯其形（即起點(diǎn)、過(guò)程點(diǎn)和終點(diǎn)三點(diǎn)確定其形狀），五步解決問(wèn)題．具體五步是：一畫，畫出動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)、過(guò)程點(diǎn)和終點(diǎn)；二看，觀察三點(diǎn)是否在一直線上；三猜想，在一直線上是線段，不在一直線上是圓??；四驗(yàn)證，線段型常用中位線或垂直平分線等知識(shí)解決，圓弧型常利用“有對(duì)稱性”和“90°的圓周角所對(duì)弦是直徑”等知識(shí)確定圓心和半徑；五計(jì)算，常用勾股定理、相似三角形等知識(shí)進(jìn)行求解.多媒體的普及，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的作用是不容忽視的，特別是幾何畫板在解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題的作用真是妙不可言的，讓我們?cè)趫D形變化的過(guò)程中體驗(yàn)、把握、認(rèn)知數(shù)學(xué)的美.本文例舉近幾年的中考題進(jìn)行歸類剖析，供2013年中考復(fù)習(xí)教學(xué)參考，并試圖用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)感體驗(yàn).

二、分類剖解

圖1

（一）線段型

1.中位線型

例1 （2012年湖南張家界）如圖1，已知線段AB=6，C、D是AB上兩點(diǎn)，且AC=DB=1，P是線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)分別作等邊三角形APE和等邊三角形PBF，G為線段EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P由點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，G點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為_(kāi)_____.

解析：如圖1，分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H，連接HD，過(guò)點(diǎn)G作MN∥AB分別交HA、HD于點(diǎn)M、N.

因?yàn)椤鰽PE和△PBF是等邊三角形，所以∠A=∠FPB=60°，∠B=∠EPA=60°.

所以AH∥PF，BH∥PE.

所以四邊形EPFH為平行四邊形.

所以EF與HP互相平分.

因?yàn)辄c(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，所以點(diǎn)G也正好為PH中點(diǎn)，即在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)G始終為PH的中點(diǎn).

所以點(diǎn)G的運(yùn)行軌跡為△HCD的中位線MN.

因?yàn)锳B=6，AC=DB=1，所以CD=6-1-1=4.

所以MN=2，即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為2.

動(dòng)感體驗(yàn)：打開(kāi)幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］→在x軸上取點(diǎn)A、C、D、B→選中點(diǎn)C、D→［構(gòu)造］→［線段］→在線段CD上取點(diǎn)P→選中線段CD→右鍵→［隱藏線段］；（2）選中點(diǎn)A、P→［構(gòu)造］→［線段］→雙擊點(diǎn)A→［變換］→［旋轉(zhuǎn)］→［固定角60度］→回車得到線段AE→點(diǎn)A、E→［構(gòu)造］→［線段］→等邊△APE；（3）同樣方法構(gòu)造等邊△BPF；（4）點(diǎn)E、F→［構(gòu)造］→［線段］→選中EF→［構(gòu)造］→［中點(diǎn)］→記為G.

如圖2，選中點(diǎn)G，右鍵→［追蹤點(diǎn)］，拖動(dòng)點(diǎn)P，G點(diǎn)的路徑是一線段.

圖2

例2（2010年江蘇南京）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過(guò)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG.

（1）設(shè)AE=x時(shí)，△EGF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).

圖3

圖4

分析：（1）略.（2）如圖4，畫出當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在起點(diǎn)E1、過(guò)程中E1E2上、終點(diǎn)E2時(shí)，對(duì)應(yīng)P點(diǎn)為P1、P和P2，發(fā)現(xiàn)P1、P、P2這三點(diǎn)在一直線上，易證點(diǎn)P的路徑為△MG1G2的中位線，又易證△MG1G2∽△BAM，從而求出G1G2=4，故P1P2=2.

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，0＜x≤2.

在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，

所以∠MDF=90°，所以∠A=∠MDF.

因?yàn)锳M=DM，∠AME=∠DMF，所以△AME≌△DMF.所以ME=MF.

過(guò)M作MN⊥BC于N，則∠MNG=90°，∠AMN=90°.

因?yàn)镸N=AB=AD=2AM，所以∠AME+∠EMN=90°.

因?yàn)椤螮MG=90°，所以∠NMG+∠EMN=90°.

所以∠AME=∠GMN，所以Rt△AME∽R(shí)t△NMG.

所以y=2x2+2（0≤x≤2）.

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線長(zhǎng)為2.

動(dòng)感體驗(yàn)：打開(kāi)幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］→在y軸上取點(diǎn)A，原點(diǎn)B→選中點(diǎn)A、B→［構(gòu)造］→［線段］→雙擊點(diǎn)A→［變換］→［旋轉(zhuǎn)］→［固定角90°］→回車得到線段選中線段AD，同樣方法將線段AD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°，得線段CD，連接BC，得正方形ABCD；（2）選中線段AD→［構(gòu)造］→［中點(diǎn)］得AD中點(diǎn)M；（3）在線段AB上取一點(diǎn)E→選中E、M→［構(gòu)造］→［射線］；（4）選中線段CD→右鍵→［隱藏線段］→選中C、D→［構(gòu)造］→［射線］，兩射線交點(diǎn)為F；（5）選中M、射線EM→［構(gòu)造］→［垂線］→交BC于點(diǎn)G；（6）選中射線ME→右鍵→［隱藏射線］→選中點(diǎn)M、G→［構(gòu)造］→［線段］→［構(gòu)造］→［中點(diǎn)］記為P.

圖5

如圖5，選中點(diǎn)P，右鍵→［追蹤點(diǎn)］.拖動(dòng)點(diǎn)E，P點(diǎn)的路徑是一線段.

2.線段的垂直平分線型

例3（2011年福建三明）在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.將直角尺的頂點(diǎn)放在P處，直角尺的兩邊分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF（如圖6）.

圖6

圖7

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合（如圖7），求PC的長(zhǎng).

（2）探究：將直尺從圖7中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

②直接寫出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).

圖8

圖9

又因?yàn)椤螧PC=90°，所以∠APB+∠DPC=90°.

所以∠ABP=∠DPC.

（2）①tan∠PEF的值不變.

理由：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD，垂足為點(diǎn)G，則四邊形ABFG是矩形.

所以∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2.

所以∠AEP+∠APE=90°.

又因?yàn)椤螮PF=90°，所以∠APE+∠GPF=90°.

所以∠AEP=∠GPF，所以△APE∽△GPF.

所以tan∠PEF的值不變.

（二）圓弧型

1.利用對(duì)稱性確定圓心和半徑

例4 （2012年江蘇鎮(zhèn)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），直線OP經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且位于第一、三象限，∠AOP=45°（如圖10），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)為B.

（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)______.

（2）過(guò)原點(diǎn)O的直線l從直線OP的位置開(kāi)始，繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

①當(dāng)直線l沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)10°到直線l1的位置時(shí)（如圖10），點(diǎn)A關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)為C，則∠BOC的度數(shù)是______，線段OC的長(zhǎng)為_(kāi)_____；

②當(dāng)直線l沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)55°到直線l2的位置時(shí)（如圖11），點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)為D，則∠BOD的度數(shù)是______；

③當(dāng)直線l沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n°（0＜n≤90°）時(shí)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____（用含n的代數(shù)式表示）.

圖10

圖11

解析：（1）如圖10，由∠AOP=45°，點(diǎn)A在y軸上，得點(diǎn)A關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)B在x軸上.根據(jù)“軸對(duì)稱和線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等”的性質(zhì)可知B（2，0）.

動(dòng)感體驗(yàn)：打開(kāi)幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］→在y軸上取點(diǎn)A（0，2）；（2） 點(diǎn)擊畫圓工具→畫出⊙O；（3）任取點(diǎn)C，選中O、C→［構(gòu)造］→［直線］，得直線l；（4）選中點(diǎn)A、直線l→［構(gòu)造］→［垂線］，交⊙O于點(diǎn)B；（5）選中⊙O→右鍵→［隱藏圓］.

圖12

如圖12，選中點(diǎn)B，右鍵→［追蹤點(diǎn)］.旋轉(zhuǎn)直線l，B點(diǎn)的路徑是圓.

2.利用90°的圓周角所對(duì)弦是直徑確定圓心和半徑

例5（2011年浙江湖州）如圖13，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P（0，m）是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，求m的值；

（3）設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖14），當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng).請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).（不必寫解答過(guò)程）

圖13

圖14

圖15

解：（1）由題意得CM=BM.

因?yàn)椤螾MC=∠DMB，所以Rt△PMC≌Rt△DMB.

所以DB=PC，所以DB=2-m，AD=4-m.

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4-m）.

②若PD=PA，過(guò)P作PF⊥AB于點(diǎn)F（如圖13），

③若PD=DA，因?yàn)椤鱌MC≌△DMB，

動(dòng)感體驗(yàn)：打開(kāi)幾何畫板：（1）［繪圖］→［定義坐標(biāo)系］中，畫出正方形ABCD.（2）選中線段BC→［構(gòu)造］→［中點(diǎn)］得BC中點(diǎn)M.（3）在OC上取點(diǎn)P→［度量］→［縱坐標(biāo)］，記為m；同樣方法，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xm點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為yB.（4）［數(shù)據(jù)］→［新建函數(shù)］→輸入g（x）→回車→選中g(shù)（x）右鍵→［繪制函數(shù)］，得拋物線g（x）.（5）拋物線g（x）與x軸交點(diǎn)為E.（6）選中M、E→［構(gòu)造］→［直線］→選中O→［構(gòu)造］→［垂線］，垂足為H.

如圖16，選中點(diǎn)H，右鍵→［追蹤點(diǎn)］.拖動(dòng)P，H點(diǎn)的路徑是圓弧.

圖16

三、幾點(diǎn)思考

1.要引導(dǎo)學(xué)生解題后要反思

在解題過(guò)程中，要求學(xué)生不能僅滿足于問(wèn)題已解決，要引導(dǎo)學(xué)生審視問(wèn)題，探究問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)歸納總結(jié)，從而提高學(xué)生的思維水平，使思維得到拓展，從而達(dá)到做一題會(huì)一類，甚至知一片的目的.

2.沒(méi)有過(guò)程就沒(méi)有思想

在教學(xué)中，讓學(xué)生自主探究問(wèn)題的過(guò)程，要留有余地，讓學(xué)生有思有想，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的方法，體會(huì)從幾個(gè)特殊點(diǎn)入手，通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證、證明的過(guò)程，從中積累經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到“授之以漁”的目的.

3.要通過(guò)典型問(wèn)題，進(jìn)行適當(dāng)拓展

在中考復(fù)習(xí)時(shí)，要立足課本，瞄準(zhǔn)課標(biāo)和中考說(shuō)明，既要訓(xùn)練好基礎(chǔ)題，也要在知識(shí)方法上適當(dāng)拓展，提高學(xué)生中考的適應(yīng)性.

4.不斷更新教學(xué)理念，提高教學(xué)能力

教學(xué)中要不斷更新教學(xué)理念，提高教學(xué)能力，多媒體的普及，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的作用是不容忽視的，特別是幾何畫板在解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題的演示時(shí)，很直觀地讓我們?cè)趫D形變化的過(guò)程中體驗(yàn)、把握、認(rèn)知數(shù)學(xué)的美.因此，作為教師也要不斷地學(xué)習(xí)，才能與時(shí)俱進(jìn)，為提高教學(xué)質(zhì)量而達(dá)到事半功倍的效果.