☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 喻國勇

數(shù)學(xué)命題研究，是數(shù)學(xué)教師的一項基本工作，是日常教學(xué)工作的延伸.十年前，筆者剛開始工作時，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的理解限于：教學(xué)、解疑、升學(xué)，從來沒覺得研究命題是數(shù)學(xué)教師的分內(nèi)之事． 在經(jīng)歷了教材改革和課程改革后，筆者漸漸從當(dāng)年的青年教師慢慢成長起來，現(xiàn)在每每看到新的問題總是覺得自己的知識是多么的淺??！正如一位哲人說：“人的知識好比一個圓內(nèi)的部分，圓的外部都是我不懂的知識，每當(dāng)自身知識越多時，圓就會越大，圓周與外界接觸（即不懂的知識）也越大，從而不知道的東西也更多.”說得太好了，教學(xué)十年，筆者在教學(xué)之路上的不斷摸索，得到的體驗是一方面研究數(shù)學(xué)命題有利于提高教學(xué)質(zhì)量、優(yōu)化課堂效率；另一方面對命題的研究也大大加快了教師的專業(yè)化成長，本文通過這些年的親身體驗談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)命題研究和教師的專業(yè)化成長．

一、命題研究的背景

對數(shù)學(xué)命題的研究是一位中學(xué)教師在擁有多年教學(xué)經(jīng)驗后慢慢堆砌而成的，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師不僅在高效課堂教學(xué)等方面出類拔萃，還能在對數(shù)學(xué)命題的研究上有所建樹.近年來，對數(shù)學(xué)命題的研究也取得了一定的成果，諸如文［1］～［4］等，筆者拜讀后發(fā)現(xiàn)此類文章在對命題的構(gòu)成、命題的心理機制、高觀點下的命題思路等做出了一定的分析和闡述.

從新課程背景的角度來看，課程教育改革和高考試題都在向“以人為本”的方向發(fā)展，要求學(xué)生掌握適合其自身發(fā)展的數(shù)學(xué)，即所謂因材施教，數(shù)學(xué)教學(xué)更注重生活化、應(yīng)用化，加強課程內(nèi)容、考題與生活實踐、社會科學(xué)之間的聯(lián)系.在這樣的背景下，教師對命題的研究需要與時俱進，比如許多新增加的知識板塊，如三視圖、推理證明、矩陣變換、算法等都是可以進行深度的挖掘，這順應(yīng)新課程改革的方向．

從試題研究的角度來看，很多命題都有深厚的高等數(shù)學(xué)背景，用當(dāng)今很流行的一句話來說——“高觀點下的初等數(shù)學(xué)”．常?？梢砸姷胶芏嗟貐^(qū)的教研活動，專家對近年高考試題的背景進行解讀．因此，在這樣的背景下，教師對命題研究往往更高瞻遠矚，有針對性、普遍性和獨特性，如凸函數(shù)、李普希茲條件、不動點理論、拉格朗日定理等，從這些背景深厚的高等數(shù)學(xué)中能參悟高考數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，有“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的感覺．

從知識交匯、教學(xué)銜接的背景來看，命題研究往往對教學(xué)指導(dǎo)有重要的作用，一方面在于高考試題的命制往往在于知識的交匯處，一個試題含高中數(shù)學(xué)的多個知識點組成，有利于把握教學(xué)的方向，有利于對知識進行整合，提高復(fù)習(xí)的效率；另一方面來看，初等數(shù)學(xué)與學(xué)生即將接觸的高等數(shù)學(xué)的思想方法是完全不同的，從這些命題中挖掘高等數(shù)學(xué)的影子，使其與初等數(shù)學(xué)做好銜接、相溶，有利于數(shù)學(xué)知識間的平穩(wěn)過渡，對進一步的深入學(xué)習(xí)有重要的支撐．

本文將所研究的數(shù)學(xué)命題界定為：具有一定深度及高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)學(xué)試題，這類問題不是直接引入高等數(shù)學(xué)的定理、概念，而是顯示了高等數(shù)學(xué)對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，是命題專家的偏愛，對這類問題進行深度的分析、編譯、融合，才能對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義．

二、命題編制的原則

數(shù)學(xué)考查的總要求是由考試大綱與課程標(biāo)準(zhǔn)決定的，在命題編制時如何將知識、方法、能力的要求具體貫徹到實際試題中去，是依據(jù)一定的準(zhǔn)則進行操作的，即所謂命題原則．教師在研究命題的時候，有必要研究命題的原則，特別地，高等數(shù)學(xué)背景下試題的編制要求更高，因此筆者認為命題的編制必須關(guān)注以下原則：

1.新穎性原則

新穎性（即與時俱進）是命題命制的特點之一．命題命制的新穎性可以從兩方面來看，一方面是背景、情境的新穎，這類問題編制較為容易，只要給數(shù)學(xué)形式化的結(jié)果披上與時俱進的外衣即可；另一方面是需要高等數(shù)學(xué)為背景的試題編制，立意新穎、充滿生命力，對它的研究需要教師多年的專研（即教師專業(yè)化的成長），另外還可以從題型結(jié)構(gòu)、提問方式等方面入手．如：

A．D（x）的值域為｛0，1｝

B．D（x）是偶函數(shù)

C．D（x）不是周期函數(shù)

D．D（x）不是單調(diào)函數(shù)

說明：問題的背景是狄利克雷函數(shù)，高中數(shù)學(xué)對其中的認知是定義域為R，值域為｛0，1｝，偶函數(shù)，無法畫出函數(shù)圖像，無最小正周期；從深層次的背景來說，狄利克雷函數(shù)處處不連續(xù)、不可導(dǎo)，是可測函數(shù)，在任何區(qū)間內(nèi)黎曼不可積，了解其更深層次的知識有利于提高教學(xué)的效率．

2.科學(xué)性原則

命題編制的科學(xué)性是一個試題最基本的原則，它要求教師從一個解題者到變式研究者再到創(chuàng)新者之間慢慢的成長，在模仿、學(xué)習(xí)和創(chuàng)新之間學(xué)會編制問題的科學(xué)性、正確性、邏輯性、簡潔性等，在充分考慮問題入口寬廣、解法可行的基礎(chǔ)上，不與中學(xué)數(shù)學(xué)的定理、概念產(chǎn)生矛盾，不與將來高等數(shù)學(xué)內(nèi)容發(fā)生沖突．如：

案例2（浙江省模擬卷）將3個完全相同的小球隨機地放入編號依次為1，2，3，4，5的盒子里，用隨機變量ξ表示有球盒子編號的最大值．

（1）求P（ξ=2）；（2）求 ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

（2）同理，ξ的分布列如下表：

?

數(shù)學(xué)期望Eξ=4．

3.選拔性原則

高考是選拔性考試，必然要求命題者對考題層次有區(qū)分度，以便選拔數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的人才，因此在命題上，選拔性的試題對學(xué)生的區(qū)分度是較大的，此類命題的得分點往往呈現(xiàn)正態(tài)分布，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高、能力較強的學(xué)生基本能解決，對于大部分學(xué)生而言，此類問題只能嘗試或者解決部分，重在對學(xué)生智能水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，立足于進行公平、公正的選拔.如：

圖1

（1）設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標(biāo)與m無關(guān)）.

三、命題研究與教師專業(yè)化成長的關(guān)系

筆者在教學(xué)研究的道路上不斷嘗試，認識到一方面研究數(shù)學(xué)命題有利于提高教學(xué)質(zhì)量、優(yōu)化課堂效率；另一方面對命題的研究也大大加快了教師自身專業(yè)化的成長，下面簡述兩者之間的關(guān)系.

1.命題研究推動教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的不同在于除研究對象之外，最突出的就是數(shù)學(xué)對象的內(nèi)部規(guī)律真實性與表象背后的本質(zhì)屬性，必須用邏輯推理的方式來證明.因此，數(shù)學(xué)命題的研究需要一定的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)內(nèi)涵和學(xué)習(xí)的耐心，這其中隱含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)對教師自身發(fā)展上有較大的決定性作用.

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的絕大部分都可以說是數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容就是由數(shù)學(xué)命題組成的.我們在數(shù)學(xué)教學(xué)的整個階段中都離不開數(shù)學(xué)命題，要學(xué)運算，離不開運算法則，從運算中提高教師的計算能力；要計算圖形的面積、體積，必然離不開數(shù)學(xué)公式，加強對公式的熟練運用并能融會貫通；要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明，必然先介紹公理，而后再有定理和推論，培養(yǎng)教師思維的嚴(yán)謹性；對命題變式的研究，大大提高了教師在數(shù)學(xué)知識點交匯處演變問題的能力；對一個高考試題的背景分析、探討和學(xué)習(xí)，能迅速提升教師看待中學(xué)數(shù)學(xué)問題的高度；對優(yōu)秀命題進行總結(jié)和反思，大大提升了教師科研的水平和能力.因此數(shù)學(xué)命題的研究推動著教師的成長.

2.教師的專業(yè)化成長離不開命題研究

教師的成長離不開對數(shù)學(xué)命題的研究.對數(shù)學(xué)命題研究的本質(zhì)是對一個問題的深層次思考，即反思.從再認知理論的角度來說，荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種再創(chuàng)造學(xué)習(xí)，反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力.筆者認為利用“再創(chuàng)造學(xué)習(xí)理論”進行的命題研究，一方面回顧問題中出現(xiàn)的基本知識，另一方面通過變式等研究對知識進行了重組，從而優(yōu)化了知識在腦海中存儲，久而久之，產(chǎn)生的東西便可促進教師的成長.

從建構(gòu)主義的角度來看，教師的成長不能僅限于中學(xué)數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、解題心得，應(yīng)該不斷嘗試用自己頭腦中的模式去建構(gòu)對問題的理解（即模式識別），不同的教師對問題的看法是不盡相同的，所以對數(shù)學(xué)命題再次建構(gòu)是比較有效、快捷的學(xué)習(xí)方式.筆者曾經(jīng)嘗試此類數(shù)學(xué)命題的建構(gòu)，采用的是研究性學(xué)習(xí)的模式，既提高研究的水平也促進了自身的發(fā)展.下面給出一個筆者歷經(jīng)多時的命題研究案例：

案例4 （2009年河南省數(shù)學(xué)競賽）已知拋物線C：y2=4x，以M（1，2）為直角頂點作該拋物線的內(nèi)接直角三角形MAB（如圖2）.

（I）求證：直線AB過定點；

圖2

（II）過點M作AB的垂線交AB于點N，求點N的軌跡方程.

（1）命題解法的研究.

針對本題最常見的學(xué)生解題心理機制：

①設(shè)出A、B兩點坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系將直線AB用點坐標(biāo)表示即可；

②考慮到直線AB斜率不為0，設(shè)直線AB方程：x=my+b，利用垂直關(guān)系及韋達定理；

（2）命題思想方法的研究.

①主要思想：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，運算中要注意“設(shè)而不求”；

②考慮到直線AB斜率不為0，設(shè)AB直線方程為：x=my+b，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理；

④至于第（II）問，由第（I）問搭建的“腳手架”順勢而行，點N的軌跡必在點M和定點（5，-2）為直徑的圓上.

設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，并結(jié)合垂直關(guān)系的向量式，適合解決一般圓錐曲線和直線位置關(guān)系的問題，具有推廣性.另外，對思路①、③，可以做適當(dāng)引導(dǎo).

以上兩點是筆者嘗試的基本命題研究，隨著后來對文［7］的學(xué)習(xí)，有了下面更進一步的研究：

（3）命題的背景研究.

如圖2，將問題變式，過定點（5，-2）的動弦交拋物線于A、B兩點，作MA⊥MB，則M點的軌跡是什么？顯然是圓，該圓與拋物線的交點就是原題中的M（1，2）.

若將定點（5，-2）變?yōu)閽佄锞€的焦點，過焦點作動弦交拋物線于A′、B′兩點，過A′、B′分別作拋物線的切線，設(shè)切線交于M′，則△M′A′B′即為阿基米德三角形.容易驗證三個性質(zhì)：

①M′A′⊥M′B′；

②M′必在拋物線準(zhǔn)線上；

③M′F⊥A′B′.

關(guān)于阿基米德三角形的性質(zhì)很多，文［7］已總結(jié)過，有關(guān)此三角形的高考試題也比較多，各省市近年均圍繞阿基米德三角形進行過試題編制，如：2008年山東卷第22題，2007年江蘇第19題，2006年重慶第22題，2005年江西第22題，2006年全國卷Ⅱ第21題等.

在學(xué)習(xí)了文［8］之后，筆者自身的知識得到了拓寬，對命題得到了新的研究.

四、結(jié)束語

隨著課程改革的深入和不斷變革的高考，將來的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該著重向應(yīng)用、能力化的方向發(fā)展，勢必要求教師自身擁有更扎實的基本功、更全面的知識、更高人一籌的研究能力，以計算機輔助教學(xué)來說：多年前PPT是CAI的主流，近年來，幾何畫板、超級畫板、Cabri3D、Flash等越來越普遍使用在教學(xué)中，更為專業(yè)的如Mathematica、MathCAD等也在慢慢滲透進數(shù)學(xué)教學(xué)中來，教師也要用與時俱進的研究來帶動自身的成長，我們將來的教育極有可能和歐美發(fā)達國家一樣，更注重能力的考查.借本文與讀者共同努力，不斷發(fā)展.

1.鄭慶全.數(shù)學(xué)命題教學(xué)研究［J］.山東教育學(xué)院學(xué)報，2007（5）.

2.石志群.高考數(shù)學(xué)命題思路分析及復(fù)習(xí)策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（11）.

3.張夏強.數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（1）.

4.肖凌戇.關(guān)注探究創(chuàng)新 考查理性思維——基于數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的高考命題特點［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

5.沈恒.辨基本事件，觀概率教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2012（1）.

6.張琥.例析以高等數(shù)學(xué)為背景的高考數(shù)學(xué)試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（4）.

7.吳躍生.再談拋物線的阿基米德三角形的性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，1999（8）.

8.吳波.也說蝴蝶定理的一般形式［J］.數(shù)學(xué)通報，2012（6）.