☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 喻國(guó)勇

數(shù)學(xué)命題研究，是數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)基本工作，是日常教學(xué)工作的延伸.十年前，筆者剛開(kāi)始工作時(shí)，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的理解限于：教學(xué)、解疑、升學(xué)，從來(lái)沒(méi)覺(jué)得研究命題是數(shù)學(xué)教師的分內(nèi)之事． 在經(jīng)歷了教材改革和課程改革后，筆者漸漸從當(dāng)年的青年教師慢慢成長(zhǎng)起來(lái)，現(xiàn)在每每看到新的問(wèn)題總是覺(jué)得自己的知識(shí)是多么的淺薄！正如一位哲人說(shuō)：“人的知識(shí)好比一個(gè)圓內(nèi)的部分，圓的外部都是我不懂的知識(shí)，每當(dāng)自身知識(shí)越多時(shí)，圓就會(huì)越大，圓周與外界接觸（即不懂的知識(shí)）也越大，從而不知道的東西也更多.”說(shuō)得太好了，教學(xué)十年，筆者在教學(xué)之路上的不斷摸索，得到的體驗(yàn)是一方面研究數(shù)學(xué)命題有利于提高教學(xué)質(zhì)量、優(yōu)化課堂效率；另一方面對(duì)命題的研究也大大加快了教師的專(zhuān)業(yè)化成長(zhǎng)，本文通過(guò)這些年的親身體驗(yàn)談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)命題研究和教師的專(zhuān)業(yè)化成長(zhǎng)．

一、命題研究的背景

對(duì)數(shù)學(xué)命題的研究是一位中學(xué)教師在擁有多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)后慢慢堆砌而成的，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師不僅在高效課堂教學(xué)等方面出類(lèi)拔萃，還能在對(duì)數(shù)學(xué)命題的研究上有所建樹(shù).近年來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)命題的研究也取得了一定的成果，諸如文［1］～［4］等，筆者拜讀后發(fā)現(xiàn)此類(lèi)文章在對(duì)命題的構(gòu)成、命題的心理機(jī)制、高觀點(diǎn)下的命題思路等做出了一定的分析和闡述.

從新課程背景的角度來(lái)看，課程教育改革和高考試題都在向“以人為本”的方向發(fā)展，要求學(xué)生掌握適合其自身發(fā)展的數(shù)學(xué)，即所謂因材施教，數(shù)學(xué)教學(xué)更注重生活化、應(yīng)用化，加強(qiáng)課程內(nèi)容、考題與生活實(shí)踐、社會(huì)科學(xué)之間的聯(lián)系.在這樣的背景下，教師對(duì)命題的研究需要與時(shí)俱進(jìn)，比如許多新增加的知識(shí)板塊，如三視圖、推理證明、矩陣變換、算法等都是可以進(jìn)行深度的挖掘，這順應(yīng)新課程改革的方向．

從試題研究的角度來(lái)看，很多命題都有深厚的高等數(shù)學(xué)背景，用當(dāng)今很流行的一句話(huà)來(lái)說(shuō)——“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”．常?？梢砸?jiàn)到很多地區(qū)的教研活動(dòng)，專(zhuān)家對(duì)近年高考試題的背景進(jìn)行解讀．因此，在這樣的背景下，教師對(duì)命題研究往往更高瞻遠(yuǎn)矚，有針對(duì)性、普遍性和獨(dú)特性，如凸函數(shù)、李普希茲條件、不動(dòng)點(diǎn)理論、拉格朗日定理等，從這些背景深厚的高等數(shù)學(xué)中能參悟高考數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的感覺(jué)．

從知識(shí)交匯、教學(xué)銜接的背景來(lái)看，命題研究往往對(duì)教學(xué)指導(dǎo)有重要的作用，一方面在于高考試題的命制往往在于知識(shí)的交匯處，一個(gè)試題含高中數(shù)學(xué)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)組成，有利于把握教學(xué)的方向，有利于對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合，提高復(fù)習(xí)的效率；另一方面來(lái)看，初等數(shù)學(xué)與學(xué)生即將接觸的高等數(shù)學(xué)的思想方法是完全不同的，從這些命題中挖掘高等數(shù)學(xué)的影子，使其與初等數(shù)學(xué)做好銜接、相溶，有利于數(shù)學(xué)知識(shí)間的平穩(wěn)過(guò)渡，對(duì)進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí)有重要的支撐．

本文將所研究的數(shù)學(xué)命題界定為：具有一定深度及高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)學(xué)試題，這類(lèi)問(wèn)題不是直接引入高等數(shù)學(xué)的定理、概念，而是顯示了高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用，是命題專(zhuān)家的偏愛(ài)，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行深度的分析、編譯、融合，才能對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義．

二、命題編制的原則

數(shù)學(xué)考查的總要求是由考試大綱與課程標(biāo)準(zhǔn)決定的，在命題編制時(shí)如何將知識(shí)、方法、能力的要求具體貫徹到實(shí)際試題中去，是依據(jù)一定的準(zhǔn)則進(jìn)行操作的，即所謂命題原則．教師在研究命題的時(shí)候，有必要研究命題的原則，特別地，高等數(shù)學(xué)背景下試題的編制要求更高，因此筆者認(rèn)為命題的編制必須關(guān)注以下原則：

1.新穎性原則

新穎性（即與時(shí)俱進(jìn)）是命題命制的特點(diǎn)之一．命題命制的新穎性可以從兩方面來(lái)看，一方面是背景、情境的新穎，這類(lèi)問(wèn)題編制較為容易，只要給數(shù)學(xué)形式化的結(jié)果披上與時(shí)俱進(jìn)的外衣即可；另一方面是需要高等數(shù)學(xué)為背景的試題編制，立意新穎、充滿(mǎn)生命力，對(duì)它的研究需要教師多年的專(zhuān)研（即教師專(zhuān)業(yè)化的成長(zhǎng)），另外還可以從題型結(jié)構(gòu)、提問(wèn)方式等方面入手．如：

A．D（x）的值域?yàn)椋?，1｝

B．D（x）是偶函數(shù)

C．D（x）不是周期函數(shù)

D．D（x）不是單調(diào)函數(shù)

說(shuō)明：?jiǎn)栴}的背景是狄利克雷函數(shù)，高中數(shù)學(xué)對(duì)其中的認(rèn)知是定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，1｝，偶函數(shù)，無(wú)法畫(huà)出函數(shù)圖像，無(wú)最小正周期；從深層次的背景來(lái)說(shuō)，狄利克雷函數(shù)處處不連續(xù)、不可導(dǎo)，是可測(cè)函數(shù)，在任何區(qū)間內(nèi)黎曼不可積，了解其更深層次的知識(shí)有利于提高教學(xué)的效率．

2.科學(xué)性原則

命題編制的科學(xué)性是一個(gè)試題最基本的原則，它要求教師從一個(gè)解題者到變式研究者再到創(chuàng)新者之間慢慢的成長(zhǎng)，在模仿、學(xué)習(xí)和創(chuàng)新之間學(xué)會(huì)編制問(wèn)題的科學(xué)性、正確性、邏輯性、簡(jiǎn)潔性等，在充分考慮問(wèn)題入口寬廣、解法可行的基礎(chǔ)上，不與中學(xué)數(shù)學(xué)的定理、概念產(chǎn)生矛盾，不與將來(lái)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容發(fā)生沖突．如：

案例2（浙江省模擬卷）將3個(gè)完全相同的小球隨機(jī)地放入編號(hào)依次為1，2，3，4，5的盒子里，用隨機(jī)變量ξ表示有球盒子編號(hào)的最大值．

（1）求P（ξ=2）；（2）求 ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

（2）同理，ξ的分布列如下表：

?

數(shù)學(xué)期望Eξ=4．

3.選拔性原則

高考是選拔性考試，必然要求命題者對(duì)考題層次有區(qū)分度，以便選拔數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的人才，因此在命題上，選拔性的試題對(duì)學(xué)生的區(qū)分度是較大的，此類(lèi)命題的得分點(diǎn)往往呈現(xiàn)正態(tài)分布，數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高、能力較強(qiáng)的學(xué)生基本能解決，對(duì)于大部分學(xué)生而言，此類(lèi)問(wèn)題只能?chē)L試或者解決部分，重在對(duì)學(xué)生智能水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，立足于進(jìn)行公平、公正的選拔.如：

圖1

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PF2-PB2=4，求點(diǎn)P的軌跡；

（3）設(shè)t=9，求證：直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）.

三、命題研究與教師專(zhuān)業(yè)化成長(zhǎng)的關(guān)系

筆者在教學(xué)研究的道路上不斷嘗試，認(rèn)識(shí)到一方面研究數(shù)學(xué)命題有利于提高教學(xué)質(zhì)量、優(yōu)化課堂效率；另一方面對(duì)命題的研究也大大加快了教師自身專(zhuān)業(yè)化的成長(zhǎng)，下面簡(jiǎn)述兩者之間的關(guān)系.

1.命題研究推動(dòng)教師數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的不同在于除研究對(duì)象之外，最突出的就是數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)部規(guī)律真實(shí)性與表象背后的本質(zhì)屬性，必須用邏輯推理的方式來(lái)證明.因此，數(shù)學(xué)命題的研究需要一定的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)內(nèi)涵和學(xué)習(xí)的耐心，這其中隱含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)對(duì)教師自身發(fā)展上有較大的決定性作用.

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的絕大部分都可以說(shuō)是數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容就是由數(shù)學(xué)命題組成的.我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)階段中都離不開(kāi)數(shù)學(xué)命題，要學(xué)運(yùn)算，離不開(kāi)運(yùn)算法則，從運(yùn)算中提高教師的計(jì)算能力；要計(jì)算圖形的面積、體積，必然離不開(kāi)數(shù)學(xué)公式，加強(qiáng)對(duì)公式的熟練運(yùn)用并能融會(huì)貫通；要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)證明，必然先介紹公理，而后再有定理和推論，培養(yǎng)教師思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；對(duì)命題變式的研究，大大提高了教師在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)交匯處演變問(wèn)題的能力；對(duì)一個(gè)高考試題的背景分析、探討和學(xué)習(xí)，能迅速提升教師看待中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的高度；對(duì)優(yōu)秀命題進(jìn)行總結(jié)和反思，大大提升了教師科研的水平和能力.因此數(shù)學(xué)命題的研究推動(dòng)著教師的成長(zhǎng).

2.教師的專(zhuān)業(yè)化成長(zhǎng)離不開(kāi)命題研究

教師的成長(zhǎng)離不開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)命題的研究.對(duì)數(shù)學(xué)命題研究的本質(zhì)是對(duì)一個(gè)問(wèn)題的深層次思考，即反思.從再認(rèn)知理論的角度來(lái)說(shuō)，荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種再創(chuàng)造學(xué)習(xí)，反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.筆者認(rèn)為利用“再創(chuàng)造學(xué)習(xí)理論”進(jìn)行的命題研究，一方面回顧問(wèn)題中出現(xiàn)的基本知識(shí)，另一方面通過(guò)變式等研究對(duì)知識(shí)進(jìn)行了重組，從而優(yōu)化了知識(shí)在腦海中存儲(chǔ)，久而久之，產(chǎn)生的東西便可促進(jìn)教師的成長(zhǎng).

從建構(gòu)主義的角度來(lái)看，教師的成長(zhǎng)不能僅限于中學(xué)數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、解題心得，應(yīng)該不斷嘗試用自己頭腦中的模式去建構(gòu)對(duì)問(wèn)題的理解（即模式識(shí)別），不同的教師對(duì)問(wèn)題的看法是不盡相同的，所以對(duì)數(shù)學(xué)命題再次建構(gòu)是比較有效、快捷的學(xué)習(xí)方式.筆者曾經(jīng)嘗試此類(lèi)數(shù)學(xué)命題的建構(gòu)，采用的是研究性學(xué)習(xí)的模式，既提高研究的水平也促進(jìn)了自身的發(fā)展.下面給出一個(gè)筆者歷經(jīng)多時(shí)的命題研究案例：

案例4 （2009年河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽）已知拋物線(xiàn)C：y2=4x，以M（1，2）為直角頂點(diǎn)作該拋物線(xiàn)的內(nèi)接直角三角形MAB（如圖2）.

（I）求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；

圖2

（II）過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的軌跡方程.

（1）命題解法的研究.

針對(duì)本題最常見(jiàn)的學(xué)生解題心理機(jī)制：

①設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系將直線(xiàn)AB用點(diǎn)坐標(biāo)表示即可；

②考慮到直線(xiàn)AB斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)AB方程：x=my+b，利用垂直關(guān)系及韋達(dá)定理；

（2）命題思想方法的研究.

①主要思想：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想，運(yùn)算中要注意“設(shè)而不求”；

②考慮到直線(xiàn)AB斜率不為0，設(shè)AB直線(xiàn)方程為：x=my+b，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理；

④至于第（II）問(wèn)，由第（I）問(wèn)搭建的“腳手架”順勢(shì)而行，點(diǎn)N的軌跡必在點(diǎn)M和定點(diǎn)（5，-2）為直徑的圓上.

設(shè)出直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立，并結(jié)合垂直關(guān)系的向量式，適合解決一般圓錐曲線(xiàn)和直線(xiàn)位置關(guān)系的問(wèn)題，具有推廣性.另外，對(duì)思路①、③，可以做適當(dāng)引導(dǎo).

以上兩點(diǎn)是筆者嘗試的基本命題研究，隨著后來(lái)對(duì)文［7］的學(xué)習(xí)，有了下面更進(jìn)一步的研究：

（3）命題的背景研究.

如圖2，將問(wèn)題變式，過(guò)定點(diǎn)（5，-2）的動(dòng)弦交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，作MA⊥MB，則M點(diǎn)的軌跡是什么？顯然是圓，該圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)就是原題中的M（1，2）.

若將定點(diǎn)（5，-2）變?yōu)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作動(dòng)弦交拋物線(xiàn)于A′、B′兩點(diǎn)，過(guò)A′、B′分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，設(shè)切線(xiàn)交于M′，則△M′A′B′即為阿基米德三角形.容易驗(yàn)證三個(gè)性質(zhì)：

①M(fèi)′A′⊥M′B′；

②M′必在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上；

③M′F⊥A′B′.

關(guān)于阿基米德三角形的性質(zhì)很多，文［7］已總結(jié)過(guò)，有關(guān)此三角形的高考試題也比較多，各省市近年均圍繞阿基米德三角形進(jìn)行過(guò)試題編制，如：2008年山東卷第22題，2007年江蘇第19題，2006年重慶第22題，2005年江西第22題，2006年全國(guó)卷Ⅱ第21題等.

在學(xué)習(xí)了文［8］之后，筆者自身的知識(shí)得到了拓寬，對(duì)命題得到了新的研究.

四、結(jié)束語(yǔ)

隨著課程改革的深入和不斷變革的高考，將來(lái)的數(shù)學(xué)教育應(yīng)該著重向應(yīng)用、能力化的方向發(fā)展，勢(shì)必要求教師自身?yè)碛懈鷮?shí)的基本功、更全面的知識(shí)、更高人一籌的研究能力，以計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)來(lái)說(shuō)：多年前PPT是CAI的主流，近年來(lái)，幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板、Cabri3D、Flash等越來(lái)越普遍使用在教學(xué)中，更為專(zhuān)業(yè)的如Mathematica、MathCAD等也在慢慢滲透進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)中來(lái)，教師也要用與時(shí)俱進(jìn)的研究來(lái)帶動(dòng)自身的成長(zhǎng)，我們將來(lái)的教育極有可能和歐美發(fā)達(dá)國(guó)家一樣，更注重能力的考查.借本文與讀者共同努力，不斷發(fā)展.

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2.石志群.高考數(shù)學(xué)命題思路分析及復(fù)習(xí)策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2009（11）.

3.張夏強(qiáng).數(shù)學(xué)名題在高考命題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（1）.

4.肖凌戇.關(guān)注探究創(chuàng)新 考查理性思維——基于數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的高考命題特點(diǎn)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

5.沈恒.辨基本事件，觀概率教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2012（1）.

6.張琥.例析以高等數(shù)學(xué)為背景的高考數(shù)學(xué)試題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2012（4）.

7.吳躍生.再談拋物線(xiàn)的阿基米德三角形的性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，1999（8）.

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