☉江蘇省常熟市教育局教學(xué)研究室 江蘇省常熟市殷偉康特級(jí)教師工作室 陳志江

江蘇省從2005年全面實(shí)施高中新課程，2008年進(jìn)行第一次新課程下的高考至今已五次．新課程下無(wú)論是教學(xué)方法還是教學(xué)內(nèi)容，和以往相比都有較大的變化，尤其是平面解析幾何部分．由于該部分有關(guān)知識(shí)一直是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)這部分內(nèi)容一直是難點(diǎn)，對(duì)老師來(lái)說(shuō)又往往感到這部分內(nèi)容的教學(xué)效果總不如人意，教學(xué)中存在很多疑惑點(diǎn)，因此本文想通過(guò)對(duì)江蘇近五年高考解析幾何命題的分析來(lái)談一些對(duì)這塊內(nèi)容的教學(xué)思考，以供大家參考，希望能讓大家對(duì)這部分內(nèi)容的高考復(fù)習(xí)有所收獲．

一、試題概況

下表是江蘇近五年高考解析幾何命題的簡(jiǎn)要情況，包括題號(hào)、題型、考查知識(shí)及能力、分值．

年份 題號(hào)及考查知識(shí)、能力 分?jǐn)?shù)2008第9題（填空題）主要考查直線方程，解方程組求兩直線交點(diǎn)等基本知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題和運(yùn)算求解能力．第12題（填空題）主要考查橢圓的基本性質(zhì)，圓及其切線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題和運(yùn)算求解能力．第18題（解答題）主要考查二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，圓方程的求法，動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等基本知識(shí)，運(yùn)算求解能力．26分2009第13題（填空題）主要考查橢圓的基本性質(zhì)（如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率等），直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)算求解能力．第18題（解答題）主要考查直線與圓的方程，點(diǎn)到直線的距離公式，數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問(wèn)題的能力．第22題（附加題）主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．21+10分26分2010第6題（填空題）主要考查雙曲線的方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．第9題（填空題）主要考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力．第18題（解答題）主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力．

2011第14題（填空題）主要考查集合的表示與運(yùn)算、圓環(huán)、二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域等基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法分析解決問(wèn)題的綜合能力．第18題（解答題）主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)算求解能力和推理論證能力．21分2012第8題（填空題）主要考查雙曲線的方程及離心率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．第12題（填空題）主要考查直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力．第19題（解答題）主要考查橢圓方程的求解，直線與橢圓位置關(guān)系，兩點(diǎn)間距離公式等基本知識(shí)，運(yùn)算求解能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法分析解決問(wèn)題的綜合能力．26分

二、試題分析

1.試題命制遵循《考試說(shuō)明》，突出重點(diǎn)內(nèi)容的考查

從上表各題考查的知識(shí)來(lái)看，大部分題目是圍繞直線、圓、橢圓來(lái)命制的，就解答題來(lái)說(shuō)，2008、2009兩年考查的是圓為載體的問(wèn)題，2010、2011、2012三年考查的是橢圓為載體的問(wèn)題．對(duì)照江蘇高考《考試說(shuō)明》解析幾何部分所示的2個(gè)C級(jí)考點(diǎn)、6個(gè)B級(jí)考點(diǎn)和3個(gè)A級(jí)考點(diǎn)，我們可以看出五年的試題命制是完全遵循《考試說(shuō)明》的．對(duì)要求理解和掌握的內(nèi)容作為重點(diǎn)考查的內(nèi)容（如圓與橢圓），每年都考，且有一定的難度，可能以難題形式出現(xiàn)（例如2011年14題、2012年19題）；對(duì)要求了解的內(nèi)容也要考查，不過(guò)考查次數(shù)少，難度較小，往往以容易題形式出現(xiàn)（例如2010年第6題、2012年第8題）．

2.試題命制體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)，突出了對(duì)學(xué)生能力的考查

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法去解決幾何問(wèn)題，即通過(guò)建立坐標(biāo)系將幾何問(wèn)題歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題，然后通過(guò)對(duì)代數(shù)問(wèn)題的研究去得到幾何結(jié)果．從表中可以看出，五年的試題很好地體現(xiàn)了這一點(diǎn)，例如2009年的第18題就淋漓盡致地體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的本質(zhì)．

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一．其中直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類(lèi)比、空間想象、抽象概括、符號(hào)辨識(shí)、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程，是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)．不言而喻，從表中可以看出這些題目承載著對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解、歸納類(lèi)比、演繹證明等能力的考查．

3.試題的區(qū)分作用很好，對(duì)學(xué)生的考試成敗影響很大

從表中分?jǐn)?shù)欄看，2009、2011兩年為21分，其余三年為26分，五年平均為24分，占試卷總分約為15%．解析幾何題目的難度總體應(yīng)屬中上等，特別簡(jiǎn)單的很少，從考試來(lái)看這些題目無(wú)疑有很好的區(qū)分度．以2010年為例，三個(gè)題目的全省平均得分和難度系數(shù)如下表：

題號(hào) 第6題 第9題 第18題平均得分 4.06 2.25 6.67難度系數(shù) 0.81 0.45 0.42

應(yīng)該說(shuō)學(xué)生是否能做好這些題目，盡量多的拿到這15%的分?jǐn)?shù)對(duì)他們的考試成敗起著至關(guān)重要的作用．

三、教學(xué)啟示

1.解析幾何教學(xué)要遵循《教學(xué)要求》

江蘇普通高中《課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求》指出：理解直線的斜率和傾斜角的概念，理解直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系，掌握直線方程的幾種形式的特點(diǎn)與適用范圍……；掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程，能根據(jù)問(wèn)題的條件選擇恰當(dāng)?shù)男问角髨A的方程……；掌握橢圓的定義和幾何圖形，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)……

結(jié)合《考試說(shuō)明》和五年的高考題可以看出，三者是非常吻合的，直線與圓是教學(xué)也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，圓錐曲線部分橢圓是教學(xué)和考查的重點(diǎn)，雙曲線和拋物線要求較低．所以在教學(xué)中，我們一定要明確這些內(nèi)容，要按《教學(xué)要求》進(jìn)行教學(xué)，要把新課程的理念真正落實(shí)到位．

2.新課程下不能穿新鞋走老路，要讓學(xué)生真正減負(fù)

新課程下我們不能穿著新鞋走老路，要深入研究，給學(xué)生真正減負(fù)．例如隨著韋達(dá)定理的淡出，很多利用韋達(dá)定理求解的直線與圓錐曲線問(wèn)題也應(yīng)隨之退出舞臺(tái)，再加上雙曲線和拋物線教學(xué)要求的降低，那些不用韋達(dá)定理解決的直線與橢圓問(wèn)題就是我們需要重點(diǎn)研究的問(wèn)題了，因此這其實(shí)減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，所以教學(xué)中老師要把握好方向．再如軌跡問(wèn)題，由于“曲線與方程”內(nèi)容僅是理科學(xué)生的選學(xué)內(nèi)容，所以在文理科學(xué)生同卷的數(shù)學(xué)Ⅰ試卷部分出現(xiàn)考查軌跡問(wèn)題可能性不大，而作為理科考生考的數(shù)學(xué)Ⅱ試卷附加題部分出現(xiàn)軌跡問(wèn)題還是很有可能的，不過(guò)由于對(duì)該內(nèi)容的教學(xué)要求是：“了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡(jiǎn)單曲線的方程”，所以即使考，難度應(yīng)該也不會(huì)太大．因此我們老師在教學(xué)中要合理選擇有關(guān)題目，大膽舍棄那些難度很大的軌跡問(wèn)題，讓我們的學(xué)生少做甚至不做無(wú)用功．

3.教學(xué)中要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力

解析幾何題的解題過(guò)程大致可以歸結(jié)為：幾何條件——代數(shù)式子——運(yùn)算求解——得出結(jié)論——還原幾何結(jié)論．在這個(gè)過(guò)程中，幾何不應(yīng)該是考查的重點(diǎn)，它只是這個(gè)過(guò)程的開(kāi)頭和結(jié)尾，重點(diǎn)應(yīng)該是如何將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)式子和對(duì)代數(shù)式子進(jìn)行運(yùn)算求解，這當(dāng)然也是難點(diǎn)．

（1）注重?cái)?shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本概念，它們是對(duì)立又統(tǒng)一的．?dāng)?shù)學(xué)大師華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形少直觀，形無(wú)數(shù)難入微．”而解析幾何題是考查數(shù)形結(jié)合思想方法的最好載體之一．

教學(xué)中我們首先要讓學(xué)生儲(chǔ)備好平面幾何的一些基本知識(shí)．例如與三角形相關(guān)的有三角形的三線，三角形面積的求法，三角形四心（外心、內(nèi)心、重心、垂心）的性質(zhì)；與圓相關(guān)的垂徑定理，切線長(zhǎng)定理，圓的切線與弦，圓心角與圓周角等；與曲線位置關(guān)系相關(guān)的有兩直線的垂直與平行，直線與圓（橢圓）的相交、相切、相離，圓與圓的相交、相切、相離等．其次，要在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化這點(diǎn)上進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練．例如2010年的第18題第三小問(wèn)“設(shè)t=9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）”和2011年的第18題第三小問(wèn)“對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB”，都要求先確定一個(gè)可以得到幾何結(jié)論的數(shù)學(xué)式子，然后再看由條件如何來(lái)求得這個(gè)數(shù)學(xué)式子．由此看出，能否將幾何條件（結(jié)論）與代數(shù)式子進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化是解決解析幾何題的一大關(guān)鍵點(diǎn)．因此我們老師在平時(shí)的教學(xué)中要有意識(shí)地讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，最終提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．

（2）注重代數(shù)方法培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力

有效的轉(zhuǎn)化是解題的前提，但是能否解出題目，還在于學(xué)生的運(yùn)算求解能力．從近五年高考解答題的具體求解來(lái)看，并沒(méi)有可用幾何法直接簡(jiǎn)單獲證的題目，所以教學(xué)中我們要注重代數(shù)方法培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，這是解答解析幾何題的另一大關(guān)鍵．筆者認(rèn)為教學(xué)中要注意以下三點(diǎn)：第一要注意方程思想的應(yīng)用．解析幾何題目往往條件較多，需要引入多個(gè)變量，得到多個(gè)方程，因此用方程（組）解決解析幾何題是不變的主題．由于涉及多個(gè)變量，所以學(xué)生往往感覺(jué)難以下手，教學(xué)中教師要重點(diǎn)分析如何處理方程（組），消元、整體代換、確定變量的主次轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題等都是常用的處理方法，教學(xué)中應(yīng)結(jié)合題目讓學(xué)生切身體會(huì)這些方法的應(yīng)用；第二要注意培養(yǎng)學(xué)生耐心細(xì)致的運(yùn)算習(xí)慣．由于韋達(dá)定理已不作要求，所以江蘇省高考解析幾何題的解題過(guò)程發(fā)生了變化，從“設(shè)而不求”轉(zhuǎn)變成“設(shè)而求之”，這樣就對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了更高的要求．例如2012年第19題第二問(wèn)，解題思路很清楚，目標(biāo)很明確，就是解出直線和橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式求出線段長(zhǎng)度，但運(yùn)算量較大，學(xué)生往往難以一算到底．第三，要注意解題后的反思和總結(jié)．孔子曰：“學(xué)而不思則罔．”我們的功夫不能僅僅花在解題上，更要用在反思和總結(jié)上，只有這樣，我們才能實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的同化和遷移，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深化對(duì)知識(shí)的理解，才能積累解題經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化解題方法，防止錯(cuò)誤再犯，提高解題能力．

1.中華人民共和國(guó)教育部制訂．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［S］．北京：人民教育出版社，2003.

2.江蘇省教育考試院．2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）說(shuō)明［M］．南京：江蘇教育出版社，2011.

3.江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求［M］．南京：江蘇教育出版社，2006.