☉貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 吳沛東

☉貴州省貴陽市第二中學(xué) 盧焱堯

☉貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 夏小剛

數(shù)學(xué)化思想突出地表現(xiàn)為具有強(qiáng)烈的“用數(shù)學(xué)”的意識(shí).人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法觀察現(xiàn)實(shí)世界、分析研究各種具體現(xiàn)象，并加以甄別、整理、歸類，以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化.數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程，人們從結(jié)繩記事或石塊堆集形成數(shù)的概念；從測(cè)量、繪畫形成圖形的概念，是數(shù)學(xué)化；數(shù)學(xué)家從具體的置換群與幾何變化群抽象出群的一般概念，這也是數(shù)學(xué)化.數(shù)學(xué)的整個(gè)體系，作為充滿著各種各樣內(nèi)在聯(lián)系與外部關(guān)系的整體結(jié)構(gòu)，它并非是一個(gè)僵化的、靜止的框架，它是在與現(xiàn)實(shí)世界的各個(gè)領(lǐng)域的密切聯(lián)系過程中發(fā)生、形成并發(fā)展起來的.就像線性函數(shù)起始于自然和社會(huì)中的比例關(guān)系，數(shù)量積開始于力學(xué)，以及導(dǎo)數(shù)開始于速度、加速度等.所以說，整個(gè)數(shù)學(xué)體系的形成就是數(shù)學(xué)化的結(jié)果.

一、數(shù)學(xué)化的涵義

1.“數(shù)學(xué)化”的基本對(duì)象

弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程.同時(shí)他所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)化的對(duì)象可分為兩類，一類是現(xiàn)實(shí)客觀問題——事物，另一類是較為具體的數(shù)學(xué)問題即數(shù)學(xué)本身.

需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)化是一個(gè)過程，是從問題開始，由實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念，由解決問題到推廣應(yīng)用的一個(gè)教育全過程，而不是方程、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)素材.把數(shù)學(xué)化作為數(shù)學(xué)課本教學(xué)的組成部分，是要使課本成為學(xué)生自己去“發(fā)現(xiàn)”一些已有數(shù)學(xué)結(jié)果的輔導(dǎo)書［1］.

2.“數(shù)學(xué)化”的兩種方式

弗賴登塔爾引用了埃德里安·特雷弗斯（Adrian Treffers）關(guān)于數(shù)學(xué)化的理論.特雷弗斯用垂直和水平兩個(gè)方向表示數(shù)學(xué)化，垂直方向由低到高是指數(shù)學(xué)的發(fā)展程度，即對(duì)數(shù)學(xué)本身進(jìn)行數(shù)學(xué)化（從符號(hào)到概念的數(shù)學(xué)化），通俗地講，在數(shù)學(xué)范疇之內(nèi)對(duì)已經(jīng)符號(hào)化了的問題作進(jìn)一步抽象化處理.既可以是某些數(shù)學(xué)知識(shí)的深化，亦可以是對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分類、整理、綜合、構(gòu)造，以形成不同層次的公理體系和形式體系，使數(shù)學(xué)知識(shí)體系更系統(tǒng)、更完美.

垂直數(shù)學(xué)化過程可表示如下：猜想公式→證明一些規(guī)則→完善模型→調(diào)整綜合模型→形成新的數(shù)學(xué)概念→一般化過程（現(xiàn)實(shí)的、構(gòu)造的）.

水平方向是指不同的現(xiàn)實(shí)（包括數(shù)學(xué)本身）內(nèi)容即對(duì)客觀世界進(jìn)行數(shù)學(xué)化（從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化），通俗地講，發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)成分，并對(duì)這些成分做符號(hào)化處理.結(jié)果是數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律、定理和為解決具體問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等.數(shù)學(xué)化可以包括公理化、形式化以及模式化.

水平數(shù)學(xué)化過程可表示如下：從背景中識(shí)別數(shù)學(xué)→圖示化→形式化→尋找關(guān)系與規(guī)律→識(shí)別本質(zhì)→對(duì)應(yīng)到已知的數(shù)學(xué)模型（現(xiàn)實(shí)的，經(jīng)驗(yàn)的）.

弗氏認(rèn)為：任何數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué)化的結(jié)果，不存在沒有數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)，不存在沒有公理化的公理，也不存在沒有形式化的形式［2］.弗賴登塔爾指出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是垂直和水平兩個(gè)方向的數(shù)學(xué)化的過程.

特雷弗斯從數(shù)學(xué)化的角度出發(fā)，對(duì)教學(xué)過程的模式區(qū)分為如下四種（如表1）：

表1 “數(shù)學(xué)化”的教學(xué)模式

表中“+”表示“有”，“-”表示“沒有”，所示的四種模式是根據(jù)垂直和水平兩個(gè)方向所強(qiáng)調(diào)的程度不同來區(qū)分的［3］.

弗賴登塔爾教授和他的同事們的研究表明，按現(xiàn)實(shí)模式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生能達(dá)到較高的數(shù)學(xué)化水平.

3.“數(shù)學(xué)化”教學(xué)思想的實(shí)質(zhì)

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”與“數(shù)學(xué)化”這兩點(diǎn)合起來構(gòu)成了現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想的精髓，它可以對(duì)數(shù)學(xué)化教學(xué)的含義做出科學(xué)的闡釋，所以說“數(shù)學(xué)化”是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)教育的主題.大量心理學(xué)研究表明，人們?cè)诶斫鈹?shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，如果有了具體事物的支持，從實(shí)際情境入手，再逐漸過渡到邏輯思維，這樣比直接接受理論知識(shí)要理解得更深刻，記憶得更牢固.

那么，“數(shù)學(xué)化”的真正含義是什么？目前，大多數(shù)人對(duì)“數(shù)學(xué)化”的理解是：數(shù)學(xué)地觀察、思考實(shí)際問題，并且應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題.事實(shí)上，前面的理解不夠全面，“數(shù)學(xué)化”還應(yīng)包括：對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的客觀事物的數(shù)學(xué)化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”.由此可知：“數(shù)學(xué)化”不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，也可以是數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”.圖1可視為“數(shù)學(xué)化”的全面理解.

圖1“數(shù)學(xué)化”教學(xué)思想的實(shí)質(zhì)

所以，我們可以把數(shù)學(xué)化的含義概括為：人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、知識(shí)、方法、思想、觀點(diǎn)等來觀察、分析、研究客觀世界中的各種問題和現(xiàn)象，并加以整理組織，得到相關(guān)知識(shí)和規(guī)律的過程.

二、新課標(biāo)下基于“數(shù)學(xué)化”思想的導(dǎo)數(shù)概念教材分析

1.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)內(nèi)容的變化

自2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)驗(yàn)稿（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）頒布后，不同版本的高中數(shù)學(xué)教材相繼出版.2004年秋，山東、廣東、海南、寧夏等四個(gè)省區(qū)作為第一批實(shí)驗(yàn)省區(qū)開始使用新教材.

《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”內(nèi)容的要求相比以往教材有很大的變化，要求把導(dǎo)數(shù)作為一種重要的數(shù)學(xué)思想、方法來學(xué)習(xí)，提高對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用性的要求，降低了對(duì)求導(dǎo)計(jì)算和定積分計(jì)算的要求.《標(biāo)準(zhǔn)》的定位是：用導(dǎo)數(shù)反映的變化率思想研究初等函數(shù)的性質(zhì).首先，中學(xué)微積分不宜求全，不必從一般極限概念講起，而是直接引入導(dǎo)數(shù)，即變化率的思想（它是人類思維進(jìn)步的里程碑）.當(dāng)需要涉及極限時(shí)，只要直觀認(rèn)識(shí)即可.這樣，把完整的微積分理論放到大學(xué)，中學(xué)階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，既為大學(xué)做鋪墊，也為日后不學(xué)微積分的學(xué)生提供理解變化率思想的機(jī)會(huì).其次，中學(xué)講導(dǎo)數(shù)有助于進(jìn)一步理解函數(shù)的變化性態(tài).例如，可以從觀察y=x2的切線的斜率開始，判斷它的單調(diào)下降、上升區(qū)間和極值；高中階段用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、求極值、證明不等式，可以體現(xiàn)它在中學(xué)數(shù)學(xué)里的價(jià)值.

來自實(shí)驗(yàn)地區(qū)的相關(guān)信息表明：“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”作為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》（以人教版教材為例，以下簡稱《新教材》）的一個(gè)重要模塊（選修2-2），它加大了由傳統(tǒng)教材的“常量數(shù)學(xué)”向“變量數(shù)學(xué)”傾斜的力度，體現(xiàn)了新一輪基礎(chǔ)教育改革課程內(nèi)容選編所應(yīng)遵循的原則：“時(shí)代性、基礎(chǔ)性、大眾性、選擇性”［4］.其地位和作用已引起國內(nèi)數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注.導(dǎo)數(shù)融數(shù)形于一體，既介紹求導(dǎo)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，又闡述根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)在日常生活中關(guān)于極、最值問題的應(yīng)用.其應(yīng)用價(jià)值不言而喻，這部分內(nèi)容的選取和編排就現(xiàn)階段來看是合適的，更是必要的.

2.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的基本要求

在導(dǎo)數(shù)概念的引入方面，《標(biāo)準(zhǔn)》要求：通過對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義［5］.教學(xué)內(nèi)容與要求可用圖2來表示.

圖2

可見《新教材》對(duì)該模塊的處理重在突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，而“不是在學(xué)習(xí)一般極限的基礎(chǔ)上，把導(dǎo)數(shù)作一種特殊的極限（增量比的極限）來處理，而是直接通過實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例——速度、膨脹率、效率、增長率等反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過程，認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)概念，在對(duì)實(shí)際背景問題研究的基礎(chǔ)上，抽象概括出導(dǎo)數(shù)的概念”［6］.這種直觀引入的方法，由簡單到復(fù)雜，由直觀到抽象，既體現(xiàn)“數(shù)學(xué)化”的實(shí)用性和產(chǎn)生源頭，更有利于高中生的接受與理解.因此，高中階段的教學(xué)任務(wù)應(yīng)是側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“變化率”的認(rèn)識(shí)，通過函數(shù)的圖像加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解.

三、基于“數(shù)學(xué)化”思想的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1.導(dǎo)數(shù)概念的引入

在現(xiàn)實(shí)生活中，大家經(jīng)常看到儲(chǔ)油罐、拱形涵洞等設(shè)計(jì)與建筑，除了美觀和利用力學(xué)原理外，其科學(xué)性和實(shí)用性與我們要學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)息息相關(guān)！接下來請(qǐng)看兩個(gè)身邊的例子.

示例1：商店里的罐裝汽水、可樂、啤酒等，大多是圓柱鋁罐，這是為什么呢？

示例2：如果容積不變，什么形狀的包裝用料最??？

實(shí)際上，這樣的問題都可以歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.一般函數(shù)求最值很簡單，但對(duì)于一些復(fù)雜函數(shù)我們用什么辦法呢？今天學(xué)習(xí)的導(dǎo)數(shù)就可以解決這樣的問題！導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)極、最值問題的有力工具，它不僅可以解決極、最值問題，還能解決一些復(fù)雜曲線的切線問題.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明白身邊實(shí)例，是學(xué)習(xí)新課的最好素材，為下面知識(shí)講解打下伏筆.

（1）橫向數(shù)學(xué)化——由現(xiàn)實(shí)世界轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)知識(shí)

師：大家回憶一下，平均速度的文字?jǐn)⑹龊陀?jì)算公式是什么？

生1：平均速度是指在某段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移與所用時(shí)間的比值.它是矢量，有方向性；表示物體在時(shí)間間隔△t內(nèi)的平均快慢程度.

生2：△s=s（1）-s（2）；△t=t（1）-t（2）；平均速度=△s÷△t.

我們知道，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員從10米高臺(tái)跳水時(shí)，從騰空到進(jìn)入水面的過程中，不同時(shí)刻的速度是不同的.假設(shè)t秒后運(yùn)動(dòng)員相對(duì)地面的高度為：H（t）=-4.9t2+6.5t+10，在2秒時(shí)運(yùn)動(dòng)員的速度為多少？［7］

解：該運(yùn)動(dòng)員在2秒到2.1秒（記為［2，2.1］）的平均速度為

同樣，可以計(jì)算出［2，2.01］，［2，2.001］，…的平均速度，也可以計(jì)算出［1.99，2］，［1.999，2］，…的平均速度（如表2）.

表2 無限小時(shí)隔平均速度的計(jì)算

師：大家可以看到，當(dāng)時(shí)間間隔越來越小時(shí)，平均速度趨于一個(gè)常數(shù)，這一常數(shù)（13.1）就可作為該運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)的速度！同學(xué)們考慮：為什么可以這樣表示？這樣表示的理論依據(jù)是什么呢？

【設(shè)計(jì)意圖】循序漸進(jìn)，激發(fā)學(xué)生的興趣和深思，挖掘深層次內(nèi)涵.

（2）回顧舊知，引導(dǎo)學(xué)生研究實(shí)際問題

圖3 割、切線的漸近過程

師：（幾何畫板演示，如圖3所示）已知曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖像，M是曲線上一點(diǎn)，坐標(biāo)為（x0，y0）.在點(diǎn)M附近取一點(diǎn)N，坐標(biāo)為（x+△x，y+△y），分別過M、N作MP∥x軸，作NP∥y軸.設(shè)割線MN的傾斜角為β，切線MT的傾斜角為α，那么MN、MT傾斜角的正切值之間有什么關(guān)系？用△x、△y表示.

師：那么割線MN的斜率為多少？

師：現(xiàn)在M點(diǎn)不動(dòng)，N點(diǎn)沿著曲線順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，并且無限地向點(diǎn)M逼近，大家觀察N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.（幾何畫板演示）這個(gè)過程表示為△x→0.這時(shí)這條割線MN與點(diǎn)M的切線是什么關(guān)系？

生眾：與在點(diǎn)M處的切線重合.

師：我們是通過運(yùn)動(dòng)的方式得到切線的，那能不能根據(jù)這種過程來定義切線呢？請(qǐng)同學(xué)們利用幾何畫板，畫出你喜歡的一條曲線，按照老師的做法，看是否可以得出同樣的結(jié)果？

師：（學(xué)生利用幾何畫板進(jìn)行嘗試）怎么樣？大家的結(jié)論是什么？

生4：我們可以這樣定義切線：當(dāng)點(diǎn)N沿著曲線順時(shí)針無限接近M點(diǎn)時(shí)，割線MN的極限位置叫做曲線在點(diǎn)M處的切線.所以可以用割線MN的斜率的極限，定義曲線在點(diǎn)M處的切線的斜率.

師：我們通過觀察點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)得到了切線.因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的過程就是取極限的過程，所以可以用極限來定義切線和切線的斜率.

這個(gè)環(huán)節(jié)通過幾何畫板演示，學(xué)生經(jīng)歷探索曲線的切線方程的過程，體會(huì)到抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為形象化數(shù)學(xué)問題的方法.從而，培養(yǎng)用運(yùn)動(dòng)的眼光去理解數(shù)學(xué)問題的能力，感受從實(shí)際問題的探索中，嘗試幾何畫板的操作技能，發(fā)現(xiàn)極限和導(dǎo)數(shù)等概念的應(yīng)用價(jià)值.增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的興趣和自信心！

【設(shè)計(jì)意圖】由生活到實(shí)際問題步步逼進(jìn)，培育學(xué)生主動(dòng)思考，強(qiáng)化知識(shí)遷移.

2.導(dǎo)數(shù)概念的理解

（1）縱向數(shù)學(xué)化——應(yīng)用學(xué)科知識(shí)，鏈接遷移，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

師：同學(xué)們，速度是我們較常見且熟悉的概念，大家是否知道瞬時(shí)速度和平均速度之間也具有類似的極限關(guān)系呢？請(qǐng)大家討論一下！

生5：（討論后）要確定物體在某一點(diǎn)M處的瞬時(shí)速度，從M點(diǎn)起取一小段位移S，求出物體在這段位移上的平均速度.正如前面跳水的例子，當(dāng)這段位移ΔS→0時(shí)，平均速度可以近似地表示物體經(jīng)過M點(diǎn)的瞬時(shí)速度.

師：大家知道，物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用函數(shù)表示為S=S（t），稱為物體的運(yùn)動(dòng)方程或位移公式.現(xiàn)在有兩個(gè)時(shí)刻t0，t0+Δt，問：從t0到t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)，物體的位移和平均速度各是多少？

師：根據(jù)對(duì)瞬時(shí)速度的直觀描述，當(dāng)位移足夠小，位移由時(shí)間t來表示，也就是說時(shí)間足夠短時(shí)，平均速度就等于瞬時(shí)速度.如何來刻畫時(shí)間足夠短呢？現(xiàn)在是從t0到t0+Δt這段時(shí)間記為Δt.

生眾：時(shí)間Δt足夠短，就是Δt無限趨近于0.

師：當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度就越接近于瞬時(shí)速度，那么用極限如何表示瞬時(shí)速度呢？

【設(shè)計(jì)意圖】由導(dǎo)數(shù)概念的物理意義入手，鞏固舊知，揭示導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，為導(dǎo)數(shù)概念的引出做最終鋪墊.

（2）討論分析，得出導(dǎo)數(shù)的定義

師：這個(gè)概念：

①提供了求曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率的一種方法；

②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.

下面我們歸納導(dǎo)數(shù)的定義：

（3）縱向數(shù)學(xué)化——導(dǎo)數(shù)內(nèi)部知識(shí)調(diào)整，總結(jié)其幾何意義

圖4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

f′（x）表示曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，f（x0））處的切線的斜率，即f′（x0）=tan α（α為切線傾斜角）（如圖4）.

當(dāng)f′（x0）=0時(shí)，切線與x軸平行，x0稱為駐點(diǎn)；切線方程為：y=f（x0），法線方程為：x=x0.

當(dāng)f′（x0）→∞時(shí)，切線與x軸垂直，切線方程為：x=x0；

法線方程為：y=（fx0）.

當(dāng)f′（x0）≠0且存在時(shí)，點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程為：

【設(shè)計(jì)意圖】導(dǎo)數(shù)概念的縱向數(shù)學(xué)化提升，揭示它在本學(xué)科內(nèi)的本質(zhì)及價(jià)值.

（4）導(dǎo)數(shù)知識(shí)遷移升華，體現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值

利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想（如圖5）.y-y0=f′（x0）（x-x0）；

圖5

從圖5我們可以得出如下結(jié)論：當(dāng)f′（x0）＞0時(shí)，曲線過點(diǎn)M上升；當(dāng)f′（x0）＜0時(shí)，曲線過點(diǎn)M′下降；

一般地，在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f′（x）＞0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′（x）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′（x）=0，則f（x）是常數(shù)函數(shù).

注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f（x）=x3在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時(shí)f′（x）=0.也就是說，如果已知f（x）為增函數(shù)，解題時(shí)就必須寫f′（x）≥0.

【設(shè)計(jì)意圖】導(dǎo)數(shù)概念進(jìn)一步升華，回歸生活體現(xiàn)其價(jià)值精髓——橫、縱數(shù)學(xué)化的辯證統(tǒng)一，源于生活，服務(wù)于生活！

“數(shù)學(xué)化”思想是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)從感性上升為理性的必由之路.該思想的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，這項(xiàng)任務(wù)應(yīng)該貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中.重要的是要在教學(xué)過程中有意識(shí)地體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的意識(shí)，并采取有效的措施滲透和強(qiáng)化這一思想.通過數(shù)學(xué)化與導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的認(rèn)識(shí)，提出與導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)相關(guān)的兩點(diǎn)建議：

其一，把握導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，處理好展現(xiàn)數(shù)學(xué)與發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯關(guān)系：

導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)完全可以還原牛頓的最初目的——確定變速運(yùn)動(dòng)的速度，完全可以還原萊布尼茲的最初目的——定義切線的概念，但二者并沒有給出完全的形式化定義，更沒有建立完整的極限理論，所以我們完全可以不受大學(xué)數(shù)學(xué)教材體系的局限，不用邏輯發(fā)展的手段提出定義，而是還原導(dǎo)數(shù)“創(chuàng)造”的本質(zhì)，還原導(dǎo)數(shù)“再創(chuàng)造”的思維過程，教給學(xué)生高等數(shù)學(xué)的思維過程.

其二，把弗賴登塔爾的“數(shù)學(xué)化”思想融入教學(xué)，處理好現(xiàn)實(shí)化與數(shù)學(xué)化的關(guān)系：

數(shù)學(xué)教育的正確途徑應(yīng)是現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)化途徑，是數(shù)學(xué)抽象發(fā)展與現(xiàn)實(shí)世界的緊密結(jié)合.導(dǎo)數(shù)教學(xué)所需要的課程體系應(yīng)該全面而完善地體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的正確發(fā)展，既要強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，又要重視邏輯思維，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)向高等數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)變.以學(xué)生的實(shí)際思維方式為基礎(chǔ)，將形式數(shù)學(xué)本身置于人類活動(dòng)的觀點(diǎn)中，設(shè)法把復(fù)雜的人類思維組織成一個(gè)邏輯體系.從而，為學(xué)生提供高層次數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練平臺(tái)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論［M］.北京：高等教育出版社，2 0 0 4.

2.H·弗賴登塔爾.唐瑞芳譯編.弗賴登塔爾教授關(guān)于數(shù)學(xué)教育的問答［J］.數(shù)學(xué)教育，1 9 8 8（2、3、4）.

3.《2 1世紀(jì)中國數(shù)學(xué)教育展望》課題組.2 1世紀(jì)中國數(shù)學(xué)教育展望(第一輯)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1 9 9 3.

4.繆雪松.微積分思想發(fā)展史的教學(xué)啟示［J］.數(shù)學(xué)教育研究，2 0 0 4（1）：3 6-3 7.

5.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上）［M］.北京:高等教育出版社,2 0 0 1：8 7-1 6 0.

6.教育部基礎(chǔ)教育司、師范教育司組織編寫《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研修》［M］.北京：高等教育出版社,2 0 0 4：9 9-1 0 0.

7.教育部制訂《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》［M］.北京：人民教育出版社,2 0 0 3：4 4-4 5.