☉江蘇省徐州市侯集高級(jí)中學(xué) 陳小祥

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，一定程度上說是一個(gè)不斷犯錯(cuò)和糾錯(cuò)的過程，學(xué)生是課堂的主體，同樣也應(yīng)是糾錯(cuò)的主體，如何利用寶貴的錯(cuò)誤資源，抓住學(xué)生錯(cuò)誤中的合理成分，挖掘錯(cuò)誤成因，尋找解決策略，使得解題教學(xué)更生動(dòng)活潑，又效果顯然？本文試圖從一道高一測(cè)試題的講評(píng)案例出發(fā)對(duì)此做一些探索，不當(dāng)之處敬請(qǐng)指正.

一、試題講評(píng)實(shí)錄

有這樣一道高一數(shù)學(xué)測(cè)試題（學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角函數(shù)、基本不等式等內(nèi)容）：

（1）求角C；（2）求△ABC面積的最大值.

教學(xué)思路設(shè)計(jì)：從三種源于學(xué)生試卷中的典型錯(cuò)誤出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生去思考、辨析、探究、討論，找出錯(cuò)因，尋求解法，總結(jié)策略，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，課前請(qǐng)三位同學(xué)在前后黑板上分別板演好典型解題過程.

1.典型錯(cuò)誤之不等式應(yīng)用不到位

教學(xué)主要針對(duì)第（2）問，由（1）根據(jù)余弦定理可得a2+b2-ab=c2；又a+b+c=12，所以a2+b2-ab=［12-（a+b）］2，化簡(jiǎn)得

師：請(qǐng)同學(xué)們看思路A，其結(jié)果是否正確，過程有沒有問題，是否嚴(yán)謹(jǐn)？

生1：結(jié)果是對(duì)的，過程看不出明顯問題，我認(rèn)為是對(duì)的.

師：還有沒有不同意見？（等待）

師追問：為什么不能這么做，這不是對(duì)不等式中取等條件的運(yùn)用么？

生2：要用不等式求最值，必須考察“正、定、等”這三個(gè)條件，這里并無“定”的形式出現(xiàn)，所以用不等式是無意義的.

師：非常好，你能舉例進(jìn)一步說明不能這么做的原因么？（學(xué)生思考，教師可啟發(fā)）

師：非常好，生2舉例說明了這樣做是不對(duì)的，但為什么不對(duì)呢？還有其他的解釋嗎，即為什么不能將取等條件當(dāng)成新條件代入運(yùn)算？（視情況可以讓學(xué)生討論探究一下，多讓學(xué)生發(fā)言，之后再由教師精講）

師：非常好，解釋得很清楚，有興趣的同學(xué)課后再研究，那么就不能用不等式解了么？

師：很好（停頓一會(huì)供學(xué)生反思理解），還有應(yīng)用不等式求解的么？

又 0＜a，b＜12，可解得 0＜a＜6，

令 8-a=t，則t∈（2，8），a=8-t，

當(dāng)且僅當(dāng)t=4，即a=b=4時(shí)取等.

師：非常好，你是怎么想的？

生4：要求二元目標(biāo)式的最值，想到消元思想，結(jié)合條件得到其關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，界定定義域后，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，嘗試用一次式表示二次式，代換后發(fā)現(xiàn)符合使用不等式求最值的條件“正、定”，考察取等號(hào)后得到了最值.

師：這里應(yīng)用的基本不等式求最值與上法中對(duì)基本不等式的應(yīng)用有何區(qū)別？

師：很好，通過上面的論述，我們可做如下小結(jié)：

圖1

2.典型錯(cuò)誤之函數(shù)轉(zhuǎn)化不徹底

師：請(qǐng)看，這種解法是否正確，為什么？（學(xué)生思考，議論）

師：有道理，那怎么辦？能否將R也化成關(guān)于∠A的函數(shù)呢？

師：很好，利用三角函數(shù)中“化異為同”策略，使得式子更簡(jiǎn)潔，接下來怎么辦？

即a=b=c=4.

師：非常好，步步為營(yíng)，環(huán)環(huán)相扣，兩次運(yùn)用正弦定理將二元目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為了關(guān)于∠A的一元函數(shù)式，再根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，利用誘導(dǎo)公式化繁為簡(jiǎn)，化異為同，再代換后分離常數(shù)進(jìn)一步簡(jiǎn)化式子結(jié)構(gòu)，最后結(jié)合參數(shù)范圍和函數(shù)單調(diào)性求出最值，思路明確，基本功扎實(shí)，值得大家學(xué)習(xí)，此種思路下有沒有簡(jiǎn)單些的方法？

師：真不錯(cuò)，很明顯解決過程簡(jiǎn)化了許多，你能說說這兩種解法的聯(lián)系和區(qū)別嗎？

生10：兩種方法其實(shí)都用到了減元思想，都將二元（多元）的目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為單元函數(shù)式，都涉及了使用正弦定理進(jìn)行“邊化角“處理，生6的解法其實(shí)是結(jié)合基本不等式先采用“一次和式”的邊角轉(zhuǎn)化求最值后再求原目標(biāo)式的最值，結(jié)構(gòu)上比“二次積式”的邊角轉(zhuǎn)化要簡(jiǎn)單些，所得式子的最值求解也就簡(jiǎn)單些.

師：分析得很好（如學(xué)生說不到，師再補(bǔ)充），還有要補(bǔ)充的嗎？

生7：老師，我是這么想的：

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=4時(shí)取等，

師：很好的思路，同學(xué)們看有沒有問題.

生8：我有疑問，求解中，他將分子abc取到最大值的條件，直接用于求出其外接圓直徑，代入比式求得面積值，我覺得這不合理，因?yàn)槌欠肿尤∽畲髸r(shí)分母取到最小，這樣比值才最大.

師：嗯，很有道理，那怎么解決呢？

師：非常好的補(bǔ)充，這樣原解法才完整，將掌聲送給他，謝謝他的精彩闡述（掌聲）.

師：很明顯這幾種方法都涉及了一種常用的求二元目標(biāo)式最值的方法——目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化法，利用條件將目標(biāo)是減元后轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再結(jié)合具體情況選擇方法求最值.

3.典型錯(cuò)誤之?dāng)?shù)形結(jié)合不嚴(yán)謹(jǐn)

思路C：如圖2.

圖2

圖3

圖4

圖5

師：你們?cè)趺纯催@種解法？有無問題？為什么？（留時(shí)間給學(xué)生思考探討，一番問答后）

生9：看似正確，但依上面的解法，

師：非常好，（留學(xué)生反思時(shí)間）那怎么辦呢？

生9：看來數(shù)形結(jié)合解不出來，那只能回到前面的解法中去.

師：那我們退一步，你能改變條件使得可以使用類似的幾何法嗎？

師：很及時(shí)的變化，非常棒，從上面的不同錯(cuò)誤及其辨析過程以及多種解法的角度我們可以總結(jié)一下二元（多元）目標(biāo)式最值求法的一般策略：不等式（基本不等式及變式、柯西不等式等）、線性規(guī)劃及相關(guān)知識(shí)、一元函數(shù)轉(zhuǎn)化等方法是高中多元函數(shù)式最值問題求解的常用策略，大體上可分為數(shù)與形兩類，從數(shù)的角度看多將多元目標(biāo)式劃歸為一元函數(shù)式，或者利用不等式直接求最值；從形的角度則多從條件出發(fā)尋求目標(biāo)式或其變形式的幾何意義如：為面積、距離、斜率等或劃歸為線性規(guī)劃問題求解，更多的時(shí)候往往綜合靈活運(yùn)用以上策略以順利求解.下面請(qǐng)同學(xué)們整理反思這些解法，并完成下列相關(guān)練習(xí)：

（1）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值為______；xy最大值為______.

（2）已知x>0，y>0，4x2+y2+xy=1，則 2x+y的最大值為______；xy最大值為______.

（3）已知x>0，y>0，2x+8y-xy=0，則x+y的范圍是_____.

二、常用的錯(cuò)誤應(yīng)對(duì)策略

①充分預(yù)設(shè)，以誤引辯，辯在重點(diǎn)難點(diǎn)處.教師需充分篩選研究典型的、普遍的、有價(jià)值的錯(cuò)誤，在課堂上通過各種方式引導(dǎo)學(xué)生于重難點(diǎn)處辯論，注意調(diào)控辨析走向，務(wù)必保證找準(zhǔn)問題，辨清矛盾，得到確解.不同想法的碰撞不僅能凸顯問題的內(nèi)在價(jià)值，而且會(huì)使得學(xué)生的知識(shí)和能力在辨析中內(nèi)化和提升；

②動(dòng)態(tài)生成，示誤引思，加深知識(shí)方法理解.教學(xué)應(yīng)該是預(yù)設(shè)與生成的統(tǒng)一，生成才是課堂迷人的地方，因?yàn)榭倳?huì)有出乎你意料的想法出現(xiàn)，而當(dāng)學(xué)生探究、評(píng)論有誤時(shí)，教師可以將其看成新的資源，繼續(xù)誘其深入，引其自糾，培養(yǎng)求異思維.如有必要還可繼續(xù)通過一題多解等形式將學(xué)生思維引領(lǐng)至更高的層次，引導(dǎo)學(xué)生糾正反思錯(cuò)誤，進(jìn)而總結(jié)知識(shí)方法，以加深理解；

③變式教學(xué)，糾錯(cuò)鞏固，促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)完善.通過適當(dāng)?shù)囊活}多解、一題多變與多題一解的題組教學(xué)與練習(xí)讓學(xué)生體會(huì)到變和不變之間的聯(lián)系，加深學(xué)生對(duì)各種解法及相關(guān)知識(shí)的深入理解，從而構(gòu)建更完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；

④二次練習(xí)，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)，防止錯(cuò)誤反復(fù).一周內(nèi)再次給出關(guān)于典型錯(cuò)誤的二次練習(xí)非常必要也非常有效，視情況再進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)乃至三次練習(xí)，適度的重復(fù)練習(xí)對(duì)應(yīng)試必要而有效.

綜上，教師應(yīng)積極面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，認(rèn)真收集、整理、篩選有價(jià)值的錯(cuò)誤資源，選擇合適的時(shí)機(jī)和方式，引導(dǎo)學(xué)生去辨析、思考、交流、探究、糾錯(cuò)、拓展和反思，讓學(xué)生的思維在解題教學(xué)課上動(dòng)起來、活起來，進(jìn)而促進(jìn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和解題能力的提高.

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