☉北京市樓梓莊中學(xué) 張 東

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師怎樣才能提出好問題？站在不同的角度，可能會(huì)有不同的回答.筆者認(rèn)為，教師提出好問題的前提是“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”.本文通過同課異構(gòu)說課活動(dòng)中的一則案例來談?wù)勛约簩?duì)這個(gè)問題的思考.

一、情景再現(xiàn)

比賽中，兩位青年老師教學(xué)的內(nèi)容都是人教版教材七年級(jí)上冊4.3.3《余角和補(bǔ)角》，但在余角概念的引入環(huán)節(jié)，兩位老師提出了不同的問題.

教師A：如圖1，我們可以用∠DEF與∠ABC的大小來描述比薩斜塔的豎直方向和水平方向，請(qǐng)你猜想∠ABC與∠DEF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.如何驗(yàn)證你的猜想呢？

教師B：數(shù)學(xué)中，經(jīng)常通過考察特殊情況來獲得對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，比如在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，特別研究了和為0與積為1兩種特殊的數(shù)量關(guān)系，它們分別對(duì)應(yīng)著互為相反數(shù)和互為倒數(shù)這兩種特殊的有理數(shù)之間的關(guān)系.在上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了角的比較和運(yùn)算，知道了角之間也具有數(shù)量關(guān)系，類比上述研究思路，由此你能提出一個(gè)關(guān)于角的需要進(jìn)一步研究的問題嗎？

圖1

二、案例分析

這兩種問題到底設(shè)計(jì)得好不好呢？讓我們先從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)三個(gè)方面對(duì)《余角和補(bǔ)角》進(jìn)行簡單的分析.

1.理解數(shù)學(xué).《余角和補(bǔ)角》是在學(xué)生學(xué)習(xí)了角的概念、角的大小的比較與表示、角的運(yùn)算，并認(rèn)識(shí)到角之間也具有數(shù)量關(guān)系之后，對(duì)兩個(gè)角之間的兩種特殊的數(shù)量關(guān)系的進(jìn)一步認(rèn)識(shí).從兩個(gè)角的一般數(shù)量關(guān)系到互余、互補(bǔ)這兩種特殊的數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)了從一般到特殊的研究數(shù)學(xué)的基本套路.其次，互余、互補(bǔ)也是幾何中角之間最基本、最常見的數(shù)量關(guān)系，是幾何以及三角函數(shù)中角之間相互轉(zhuǎn)化的重要關(guān)系.兩個(gè)角之間的關(guān)系除了數(shù)量關(guān)系之外，還有位置關(guān)系（比如對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等），但余角和補(bǔ)角本質(zhì)上反映的是角之間的一種數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān).

2.理解學(xué)生.學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)過角的分類，知道直角和平角是角家族中的特殊成員；由于上節(jié)課學(xué)生剛學(xué)完兩角和、差的概念及和、差的運(yùn)算，所以學(xué)生學(xué)習(xí)互余、互補(bǔ)的最近發(fā)展區(qū)就是兩角和的概念及運(yùn)算.其次，學(xué)生在理解余角和補(bǔ)角的概念時(shí)，常常會(huì)把位置關(guān)系也考慮其中，因而在判斷兩個(gè)角是否互余或互補(bǔ)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.此外，通過幾何直觀，可把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，利于幫助學(xué)生探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果.

3.理解教學(xué).《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在課程內(nèi)容中對(duì)余角概念的具體要求是“理解余角的概念”.所謂“理解”，是指“描述對(duì)象的特征和由來，闡述此對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”.因此，教學(xué)中要讓學(xué)生體驗(yàn)互余概念的產(chǎn)生過程，認(rèn)識(shí)到兩個(gè)角互余只和這兩個(gè)角的大小有關(guān)，而與其所在的位置無關(guān)的本質(zhì)特征.此外，在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的課程總目標(biāo)中提到，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”“體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式，初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”.在教學(xué)中，讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的研究數(shù)學(xué)的基本套路，既是對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的滲透，也是對(duì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的培養(yǎng).

通過以上三個(gè)方面的分析，我們得出兩位老師的提問其實(shí)各有特色：教師A的提問從實(shí)際情境出發(fā)，借助比薩斜塔抽象出兩個(gè)相加等于90°的角的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的密切聯(lián)系；讓學(xué)生先猜想再驗(yàn)證，有助于發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，同時(shí)幾何圖形的直觀化，讓學(xué)生也比較容易猜想到結(jié)論；同時(shí)在驗(yàn)證兩角和為90°時(shí)，學(xué)生會(huì)聯(lián)系到上節(jié)課所學(xué)習(xí)的兩角和的概念，通過度量和拼接的操作進(jìn)行驗(yàn)證，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

教師B的提問“數(shù)學(xué)立意”很高，而且很開放，是從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)提出問題：教師先通過“先行組織者”向?qū)W生滲透從一般到特殊、考察特例的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法，然后以有理數(shù)中互為相反數(shù)和互為倒數(shù)為例，讓學(xué)生進(jìn)行類比，啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并通過類比讓學(xué)生體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，當(dāng)然兩位老師所提的問題也都還有需要進(jìn)一步探討之處.比如教師A的問題中，兩個(gè)銳角的位置還是比較特殊（有一條邊平行）的，用這樣的兩個(gè)角代表互余的角會(huì)給學(xué)生造成邊不在同一直線上的角就不是互余的角的錯(cuò)覺.此外，僅從一個(gè)例子中，學(xué)生很難歸納出一類問題的本質(zhì)屬性，還應(yīng)再舉一些例子.教師B的問題，雖然立意很高，也舉了一個(gè)例子供學(xué)生類比，但學(xué)生不一定能理解問題的意圖，不妨再設(shè)計(jì)一個(gè)問題預(yù)案，來對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo).

因此對(duì)于余角概念的引入，可以將兩位老師的問題進(jìn)行綜合形成問題串，不妨做如下的設(shè)計(jì).

問題1：數(shù)學(xué)中，經(jīng)常通過考察特殊情況來獲得對(duì)問題的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，比如在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí)，特別研究了和為0與積為1兩種特殊的數(shù)量關(guān)系，它們分別對(duì)應(yīng)著互為相反數(shù)和互為倒數(shù)這兩種特殊的有理數(shù)之間的關(guān)系.在上節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了角的比較和運(yùn)算，知道了角之間也具有數(shù)量關(guān)系，類比上述研究思路，由此你能提出一個(gè)關(guān)于角的需要進(jìn)一步研究的問題嗎？

問題2：如圖1，我們可以用∠DEF與∠ABC的大小來描述比薩斜塔的豎直方向和水平方向，如圖2，∠1=∠ABC，∠2=∠DEF，那么∠1與∠2之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？如何驗(yàn)證你的猜想？你還能舉出一些具有這樣數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)角嗎？

圖2

三、深度思考

掩卷反思，為什么有的老師的提問能突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)和要害，而有的老師的提問卻如隔靴搔癢呢？為什么有的老師的提問能讓學(xué)生在問題的啟迪下探究數(shù)學(xué)的真諦，而有的老師的提問卻讓學(xué)生感覺一頭霧水，不知如何思考呢？通過以上的案例，不難發(fā)現(xiàn)教師能否提出好的數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵在于教師對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)的理解水平.

1.理解數(shù)學(xué).這決定問題所能達(dá)到的深度.理解數(shù)學(xué)，是指清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生背景、形成過程、形成方法，清楚數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、體系及與相關(guān)知識(shí)的關(guān)系，它的關(guān)鍵是把握內(nèi)容設(shè)計(jì)的核心概念及其蘊(yùn)含的思想方法.比如，圍繞數(shù)學(xué)概念提問時(shí)，要考慮概念的來源是什么，概念的內(nèi)涵是什么，與相關(guān)概念的相互關(guān)系是什么，概念有什么作用，在新的概念引入后，原來的知識(shí)可以做出什么新的解釋等.在本案例中，如果教師對(duì)余角概念中數(shù)量關(guān)系而非位置關(guān)系這一本質(zhì)特征把握不準(zhǔn)，對(duì)余角產(chǎn)生過程所蘊(yùn)含的一般到特殊的研究數(shù)學(xué)的基本思想沒有深入挖掘的話，那么在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)所提出的數(shù)學(xué)問題就不會(huì)有什么數(shù)學(xué)深度，學(xué)生的思維與能力也不會(huì)得到相應(yīng)的發(fā)展.

2.理解學(xué)生.這決定問題所能達(dá)到的效果.數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的對(duì)象是學(xué)生，教師“理解數(shù)學(xué)”的最終目的是讓學(xué)生也“理解數(shù)學(xué)”.理解學(xué)生，是指清楚學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)、潛能、需求、差異，準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)（包括學(xué)習(xí)本部分知識(shí)時(shí)已有知識(shí)的知識(shí)萌芽點(diǎn)、生長點(diǎn)與認(rèn)知難點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)，清楚學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律）.在本案例中，教師在設(shè)計(jì)提問時(shí)，以“角的數(shù)量關(guān)系”為余角概念的生長點(diǎn)，考慮到位置關(guān)系對(duì)學(xué)生理解的干擾，注意問題中角的位置的一般性，此外七年級(jí)學(xué)生剛接觸幾何，還需要借助幾何直觀，輔助對(duì)概念的理解.

3.理解教學(xué).這決定問題所體現(xiàn)的教育價(jià)值.理解教學(xué)，就是要清楚數(shù)學(xué)教育的目的是什么，每節(jié)課的數(shù)學(xué)課程教學(xué)要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo)是什么，到底要培養(yǎng)學(xué)生的哪些能力與水平.只有教師正確理解了數(shù)學(xué)的育人目標(biāo)，才能提出有教育價(jià)值的好問題.在本案例中，教師B正是認(rèn)識(shí)到《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到的“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”的目標(biāo)要求，才設(shè)計(jì)出來引導(dǎo)學(xué)生“……類比上述研究思路，由此你能提出一個(gè)關(guān)于角的需要進(jìn)一步研究的問題嗎？”這樣有很高立意的好問題.

總之，好問題是數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)有機(jī)統(tǒng)一、相互協(xié)調(diào)、綜合設(shè)計(jì)的結(jié)果，相信這樣的問題設(shè)計(jì)，一定會(huì)贏得學(xué)生、專家的集體“轉(zhuǎn)身”！