陳小崗 孫 宇 劉遠偉 吳海兵

1.南京理工大學，南京，210094 2.淮陰工學院，淮安，223003

0 引言

與傳統(tǒng)結構形式的數(shù)控機床相比，采用Stewart平臺結構形式的六自由度純并聯(lián)機床被認為存在工作空間與機床體積之比較小，工作空間內(nèi)各點的姿態(tài)能力、誤差、剛度等特性不一致的缺點［1-3］。但該類型機床的工作空間與體積之比小至何種程度，工作空間內(nèi)各點的姿態(tài)能力不一致到何種程度，具有什么樣的分布特性，目前鮮有具體而詳盡的數(shù)據(jù)佐證。

吳海兵等［4］對Stewart型并聯(lián)機床的工作空間進行了分析計算，獲得了可達空間呈陀螺狀的結論，并給出了圓柱體的推薦工作空間，但未給出兩者相對于機床體積的比值，且未對姿態(tài)能力進行研究。趙迎祥等［5］對6－SPS并聯(lián)機床工作空間進行分析時，考慮了動平臺的姿態(tài)問題，并研究了工作空間隨自轉角的變化情況。張曙等［1］對姿態(tài)角對工作空間的形狀、大小、位置等特性的影響進行了研究，此外文獻［6-12］對Stewart型并聯(lián)機構進行了運動學正解、位置奇異、姿態(tài)奇異、自運動等問題的研究，但它們均未給出工作空間內(nèi)姿態(tài)能力的具體分布特性。

綜合目前的研究現(xiàn)狀，本文從桿長約束、轉角約束、干涉約束出發(fā)，首先對交叉桿式Stewart型并聯(lián)機床進行了平動工作空間計算，并求取了其最大包容球、最大包容圓柱、最大包容長方體。然后重新定義了“姿態(tài)能力角”這一概念，計算了該機床平動工作空間內(nèi)各點處的姿態(tài)能力角，繪制了姿態(tài)能力角分布圖譜，獲得了與刀軸偏擺能力相應的姿態(tài)空間。不但更全面地評價了工作空間與機床體積之比，而且獲得了姿態(tài)空間具體而詳細的分布特性。本文的研究結果更全面地揭示了并聯(lián)機床的加工范圍及加工能力。

1 BJ－04－02(A)并聯(lián)機床運動學模型

1.1 并聯(lián)機床結構簡圖

本文的研究對象為BJ－04－02(A)并聯(lián)機床，其進給機構采用6－UPS交叉桿式Stewart平臺變型結構，其中，U副(虎克鉸)用軸線垂直相交的2個轉動副等效替代，S副(球鉸)用軸線兩兩垂直且相交于一點的3個轉動副等效替代。機床的三維模型及實際結構如圖1所示。

圖1 BJ－04－02(A)并聯(lián)機床

在該機床上定義2個坐標系:①慣性坐標系OA XYZ，其原點在定平臺上鉸點分布平面的中心，其X軸平行于鉸點A4指向A3的方向，Z軸豎直向上;②隨動坐標系OB X'Y'Z'，其原點在刀具平臺幾何中心，X'軸平行于鉸點B5指向B3的方向，Z'軸垂直于刀具平臺表面向上，如圖2所示。

圖2 機床結構簡圖

鉸點Ai(i=1，2，…，6)在慣性系中的位置矢量記作ai，鉸點Bi在隨動系中的位置矢量記作bi。隨動系的原點OB在慣性系中的位置矢量記作rB。隨動系在慣性系中的方向余弦矩陣為R。由Ai指向Bi的桿矢量記作Li。上述各矢量間的關系為

1.2 工作空間的約束條件

在求解并聯(lián)機床工作空間時，主要考慮桿長約束、鉸鏈轉角約束、驅動桿之間的干涉約束［4-5］。

(1)桿長約束。機床的6根驅動桿均有各自的伸縮范圍(極小值與極大值分別為Lmin、Lmax)。當?shù)毒咂脚_在工作空間內(nèi)運動時，6根桿的長度|Li|必須滿足

(2)轉角約束。該機床的每條支鏈均有5個轉動副，按從定平臺到刀具平臺的順序，第2、第4轉動副有轉角范圍限制，即驅動桿中心軸線與第1、第5轉動軸線之間的夾角φ有范圍限制，記其下限值為φmin。當?shù)毒咂脚_在工作空間內(nèi)運動時，φ必須滿足

(3)干涉約束。6根桿均為圓柱體，其半徑記為R。當?shù)毒咂脚_在工作空間內(nèi)運動時，6根桿的中心軸線之間的距離Dij(i，j=1，2，…，6，且i≠j)必須滿足

2 位置空間

并聯(lián)機床的工作空間有最大空間、定向空間、完全空間之分。最大空間是指刀具平臺以任意姿態(tài)可達點的集合。定向空間是指刀具平臺以指定姿態(tài)可達點的集合。完全空間是指刀具平臺以所有姿態(tài)均可達點的集合。定向空間和完全空間都是最大空間的一個子集。

2.1 位置空間

使固結于刀具平臺的隨動系的X'、Y'、Z'軸始終分別平行于慣性系的X、Y、Z軸，在該參考姿態(tài)下，刀具平臺作平動可達點的范圍即為本文所稱的位置空間。此時矩陣 R=I3×3，則式(1)簡化為

其中，矢量ai和bi可從表1、表2獲得。

表1 定平臺鉸點位置參數(shù)表 mm

表2 動平臺鉸點位置參數(shù)表 mm

經(jīng)初步計算后，判定工作空間在x∈［－500，500］mm，y∈ ［－500，500］mm，z∈ ［－1400，－400］mm范圍內(nèi)。對該長方體形空間，按照X向間隔10mm、Y向間隔10mm、Z向間隔20mm進行采樣取點。

對每一個采樣點，將其位置坐標賦予矢量rB，然后根據(jù)式(5)計算各驅動桿的軸線方向及桿長，并根據(jù)式(2)～式(4)分別判斷是否滿足桿長、轉角、干涉約束。

在對所有采樣點進行計算、判斷后，獲得平動可達位置空間，如圖3所示。該位置空間由Z方向上的一系列片層組成，為直觀地體現(xiàn)其立體形狀，按照Z坐標“由小到大”的順序繪制Z向各層的位置點。

圖3 位置空間

圖3所示的位置空間包含點數(shù)為67 434，占據(jù)的體積約為 0.135m3。機床外圍體積約為5.86m3，因此該空間與機床體積之比約為2.30%。

Stewart型并聯(lián)機床不僅工作空間的絕對體積小，而且其與機床體積之比，較之傳統(tǒng)機床，也是較小的。相關研究均證實了這一定性結論，但給出定量數(shù)據(jù)的很少，且不夠全面。本文基于上述計算結果，給出并聯(lián)機床位置空間的相關數(shù)據(jù)，并將其與串聯(lián)式五軸加工機床進行對比。

2.2 包容球、包容圓柱、包容長方體

圖3所示的位置空間上闊下尖，雖然其在XY平面內(nèi)的投影具有一定的三角對稱性，但并不是嚴格的規(guī)則形體。在利用該機床進行加工的過程中，圖3所示的空間并不能完全得到利用，一般取其所能包容的最大球、最大圓柱或最大長方體作為常用工作空間，這三類包容體的中心點位置、幾何尺寸、體積及與機床體積(5.86m3)之比如表3所示。具體工作空間如圖4所示。

表3 三類包容體參數(shù)表

Mikron五軸加工中心UCP800是傳統(tǒng)串聯(lián)結構形式的機床，其五軸為X、Y、Z、A、C，具有曲面加工能力，其外圍體積約為7.73m3，由X、Y、Z三個方向的行程獲得其常用工作空間為0.26m3，與機床體積之比為3.36%。

圖4 三種規(guī)則形狀的常用工作空間

與表3對比可見，BJ－04－02(A)并聯(lián)機床的常用平動位置空間與機床體積之比僅為傳統(tǒng)結構形式機床的1/7～1/4。

3 姿態(tài)能力角及相應的方向余弦矩陣

式(1)中的方向余弦矩陣含有9個參數(shù)，用于描述物體的空間方向和姿態(tài)時直觀性較差，因此常用3個角度來描述物體的空間方向和姿態(tài)，如起源于航船姿態(tài)描述的“滾動、俯仰、偏航”RPY角以及廣泛應用于航海天文的“進動、章動、自旋”歐拉角等［13-14］。

3.1 姿態(tài)能力角

“進動、章動、自旋”歐拉角可描述物體的空間任意姿態(tài)，尤其適于描述陀螺的運動，但在機床控制中，由于需約束刀具平臺發(fā)生繞刀軸的自旋，因此需約束自旋角使其始終等于進動角的負值。

本文采用繞基礎坐標系XY平面內(nèi)與X軸成角度ψ的軸線旋轉θ角來描述機床刀具平臺的姿態(tài)，這種姿態(tài)描述方法直觀性更強，也更簡便，如圖5所示。

圖5 刀軸偏擺示意圖

在保持刀尖點不動，利用刀具平臺的姿態(tài)能力實現(xiàn)刀軸偏擺時，刀軸的偏擺范圍是以基礎坐標系的Z軸為軸線的倒錐形(錐尖在下，錐底面在上)。該倒立圓錐的半錐頂角(θ角)表征了刀軸的偏擺能力。

姿態(tài)能力角:在以Z軸為軸線的360°范圍內(nèi)各方向上，刀軸可達最大偏擺角的最小值。換言之，即在以Z軸為軸線的360°范圍內(nèi)，刀軸向各個方向偏擺均可達的角度的最大值。

3.2 方向余弦矩陣

根據(jù)上述(ψ，θ)姿態(tài)描述方法，式(1)中的方向余弦矩陣形式如下［15］:

其中，α、β、γ 為旋轉軸線與基礎坐標系X、Y、Z軸的夾角，且α=ψ，β=π/2－ψ，γ=π/2。

4 姿態(tài)空間圖譜

對于圖3所示的位置空間內(nèi)每一點，假設刀具平臺中心處于該點，在桿長、轉角、干涉約束下，計算刀具平臺的姿態(tài)能力角，并利用MATLAB繪制其在工作空間內(nèi)的分布，如圖6所示。

圖6 姿態(tài)能力角分布圖

圖6中，按照位置空間內(nèi)各點的Z坐標“由小到大”的順序繪制Z向各層的姿態(tài)能力角分布。

依據(jù)圖6所示的計算結果，在X、Y、Z方向分別取離散片層，可獲得各層內(nèi)姿態(tài)能力角的分布情況。圖7所示分別為3個離散層(x=－100mm，y= －60mm，z= －880mm)的姿態(tài)能力角等值圖。

圖7 三個離散層上的姿態(tài)能力角等值圖

依據(jù)圖6所示的計算結果，可獲得任意給定的姿態(tài)能力角所對應的工作空間。分別取姿態(tài)能力角為 5°、15°、25°，相應的可達工作空間及其最大包容球如圖8所示。

姿態(tài)能力角分別取為 5°、10°、15°、20°、25°時，對應工作空間最大包容球、最大包容圓柱及最大包容長方體的相關參數(shù)如表4所示(機床體積為5.86m3)。

圖8 三個姿態(tài)能力角對應的工作空間

表4 5°～25°工作空間包容體參數(shù)表

與UCP800相比，5°姿態(tài)能力角對應的常用工作空間與機床體積之比約為UCP800的1/8～1/6，20°姿態(tài)能力角對應工作空間與機床體積之比約為 UCP800的1/28～1/22，25°時則僅為1/56～1/48。

5 結論

(1)該機床的工作空間呈陀螺形，上闊下尖，不是嚴格的規(guī)則體，但其在XY平面內(nèi)的投影有一定的三角對稱性。

(2)參考姿態(tài)下，該機床的可達位置空間與機床體積之比約為2.30%。但對于規(guī)則形狀(球、圓柱、長方體)的位置空間，該比值僅為UCP800的1/7～1/4。5°姿態(tài)能力角對應的常用工作空間與機床體積之比僅為UCP800的1/8～1/6，20°姿態(tài)能力角時該比值僅為UCP800的1/28～1/22。

(3)在可達位置空間內(nèi)，各點處姿態(tài)能力角的分布具有如下特性:在中心區(qū)域，刀具平臺的可達偏角較大，越接近邊緣區(qū)域，可達偏角越小。

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