白瑞蒲，李奇勇，王偉東，程榮

（河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002）

1 預(yù)備知識(shí)

n－李代數(shù)在數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)物理的很多分支中都有應(yīng)用［1－4］.因?yàn)閚－李代數(shù)是具有多元運(yùn)算的非結(jié)合代數(shù)［5－8］，其結(jié)構(gòu)要比具有二元運(yùn)算的李代數(shù)結(jié)構(gòu)要復(fù)雜的多，而且構(gòu)造有限維的多元李代數(shù)一直是多元李代數(shù)結(jié)構(gòu)研究的首要課題.在文獻(xiàn)［9］和［10］中，利用已知代數(shù)實(shí)現(xiàn)了3－李代數(shù).利用特征大于零的域上的群代數(shù)，群代數(shù)上的線性函數(shù)構(gòu)造的導(dǎo)子，及群代數(shù)的自同構(gòu)實(shí)現(xiàn)特征大于零的域上的3－李代數(shù).給出了一種新的構(gòu)造3－李代的方法.首先介紹用到的根本概念參見(jiàn)文獻(xiàn)［5］.

定義1 n－李代數(shù)L 是域F 上具有n－元線性運(yùn)算［，…，］的線性空間，且對(duì)任意x1，…，xn，y1，…，yn∈L 滿足下列恒等式

其中σ∈Sn，τ（σ）等于0或1，當(dāng)σ是偶排列或奇排列時(shí).

定義2 設(shè)L 是n－李代數(shù)，D:L→L 是線性映射，如果D 滿足對(duì)任意x1，…，xn∈L，

則稱D 為L(zhǎng) 的導(dǎo)子.L 的導(dǎo)子全體記為Der（L），按照換位運(yùn)算構(gòu)成線性李代數(shù).

定義3 設(shè)L 是n－李代數(shù)，ω：L→L 是線性映射，如果ω 滿足對(duì)任意x1，…，xn∈L，

ω（［x1，…，xn］）＝［ω（x1），…，ω（xn）］，

則稱ω 為L(zhǎng) 的自同構(gòu).L 的自同構(gòu)全體構(gòu)成一個(gè)群，稱為L(zhǎng) 的自同構(gòu)群，記為Aut（L）.

2 主要結(jié)果

設(shè)Fp是特征為p 的素域，即具有運(yùn)算

域Fp的加法群記為

設(shè)（A，＋，·）是域Fp上以，1≤m≤p－1｝為基的交換的結(jié)合代數(shù)，通常稱為的群代數(shù)，

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，記x·y 為xy.

是交換結(jié)合代數(shù)A 的導(dǎo)子.

證明 由式（5）可知，α＊是A 的線性映射.且對(duì)A 的任意2個(gè)基向量

所以α＊是交換結(jié)合代數(shù)A 的導(dǎo)子.

引理2 設(shè)ω:A→A 按如下定義的映射

則ω 是交換結(jié)合代數(shù)A 的代數(shù)自同構(gòu)，且ω 滿足ω2＝IdA.

證明 由式（3）可知，ω 是A 的線性映射.且對(duì)A 的任意2個(gè)基向量

引理3 如上定義的ω 及α＊滿足下列等式

證明 由式（5）和式（6）可知，對(duì)A 的任意基向量em∈A，

所以式（7）成立.

定理1 設(shè)（A，＋，·）是域Fp上以為基的具有運(yùn)算（3）和（4）的交換結(jié)合代數(shù)，α是任意一個(gè)加群同態(tài)，α＊與ω 分別按等式（5）和（6）定義.則A 按下列運(yùn)算構(gòu)成3－李代數(shù)：對(duì)任意

證明 顯然，按式（8）定義的A 的3－元運(yùn)算是具有交錯(cuò)性的3－元線性運(yùn)算.且對(duì)任意A，因?yàn)?/p>

由上述討論，直接計(jì)算可得

其中Γ（el，em，en）是el，em，en的循環(huán)和，

由以上證明可知，3－元運(yùn)算（8）滿足Jacobi等式.所以A 按運(yùn)算（6）構(gòu)成3－李代數(shù).

由于Fp是特征為p 的素域，所以任意群同態(tài)α：F＋p→F＋p，α（m）＝mα（1），記α（1）＝a.則α（m）＝m a.

推論1 設(shè)（A，＋，·）是域Fp上以，1≤m≤p－1｝為基的具有運(yùn)算（3）和（4）的交換結(jié)合代數(shù)，則對(duì)任意則A 按下列運(yùn)算構(gòu)成3－李代數(shù)：對(duì)任意

證明 結(jié)論可從定理5直接得到.

如果Fp＝F3，則得F3上3－維3－李代數(shù)A 具有乘法表.

所以F3上的3－維3－李代數(shù)具有一維理想

［1］ NAMBUY Y.Generalized Hamiltonian dynamics［J］.Phys Rev D，1973（7）：2405－2412.

［2］ TAKHTAJANL.On foundation of the generalized Nambu mechanics［J］.Comm Math Phys，1994（160）：295－315.

［3］ BAGGER J，LAMBERT N.Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2－branes［J］.Phys Rev D，2008（77）：065008.

［4］ HO P，HOU R，MATSUO Y.Lie 3－algebra and multiple M2－branes［J］.arXiv，2008：0804.2110.

［5］ FILIPPOV V T.n－Lie algebras［J］.Sib Mat Zh，1985（26）：126－140.

［6］ BAI Ruipu，WU Wanqing.Hypo－nilpotent ideals of n－Lie algebras［J］.Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2001，28（1）：4－7.

［7］ 白瑞蒲，肖文穎.4維3－lie代數(shù)的導(dǎo)子代數(shù)［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，28（3）：228－230.BAI Ruipu，XIAO Wenying.Derivation algebras of 4－dimensional 3－Lie algebras［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2008，28（3）：228－230.

［8］ BAI Ruipu，SHEN Caihong，ZHANG Yaozhong.3－Lie algebras with an ideal N［J］.Linear Alg Appl，2009，431：673－700.

［9］ BAI Ruipu，BAI Chengming，WANG Jinxiu.Realizations of 3－Lie algebras［J］.J Math Phys，2010（51）：063505.

［10］ 白瑞蒲，周恒，李佳倩.Y－矩陣構(gòu)成的3－李代數(shù)的結(jié)構(gòu)［J］.河北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，32（5）：449－452.BAI Ruipu，ZHOU Heng，LI Jiaqian.3－Lie algebras constructed byγ－matrices［J］.Journal of Hebei University：Natural Science Edition，2012，32（5）：449－452.