初麗

（大連理工大學(xué) 城市學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 大連116600）

關(guān)于整數(shù)矩陣及其整變換的研究

初麗

（大連理工大學(xué) 城市學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 大連116600）

通過定義整初等變換，給出了整數(shù)矩陣可逆的充要條件以及利用整初等求解整數(shù)矩陣的結(jié)論，并最終利用整初等變換將整數(shù)矩陣化為等價的對角標(biāo)準(zhǔn)型.

整數(shù)矩陣；整初等變換；逆矩陣

實(shí)際生活中很多問題最終都轉(zhuǎn)化為方程組的研究，例如石油探測：當(dāng)勘探船尋找海底石油儲藏時，它的計(jì)算機(jī)每天要解幾千個線性方程組的地震數(shù)據(jù)從氣噴槍的爆炸引起水下沖擊波獲得，這些沖擊波引起海底巖石的震動，并用幾英里長的電纜拖在船后的地震測波器采集數(shù)據(jù).而矩陣在解決方程組問題時，起著很重要的作用，對矩陣的研究變得尤為重要，這里研究整數(shù)矩陣的一些性質(zhì).

1 預(yù)備知識

定義 矩陣的整初等行(列)變換是對一個矩陣施行下列變換，其中k為整數(shù)

(1)交換矩陣的兩行(列)，如第i，第j行(列)的位置.記為Rij(Cij).

(2)用一個不等于零的數(shù)k乘矩陣的某一行(列)，如第i行(列)，即用k乘矩陣第i行(列)的每一個元素.記為k Ri(k Ci).

(3)用某一個數(shù)k乘矩陣的某一行(列)，如第j行(列)后加到另一行(列)，如第i行(列)上，即用k乘矩陣的第j行(列)的每一個元素加到第i行(列)的對應(yīng)元素上.記為Ri+k Rj(Ci+k Cj).

定義 整初等行(列)變換矩陣

(1)整換法矩陣：單位矩陣En交換第i行和第j行.記為E(i,j).

(2)整倍法矩陣：單位矩陣En第i行乘以一個非零整數(shù)k.記E(i(k)),k≠0；

(3)整消法矩陣：單位矩陣En第j行乘以一個整數(shù)，加到第i行上去.記為E(i+j(k),j).

2 整數(shù)矩陣及其逆矩陣

2.1 定理

設(shè)n階矩陣A是數(shù)矩整陣(即元素全為整數(shù))，若A可逆，且逆矩陣也是整數(shù)矩陣的充要條件是|A|=±1.

2.2 定理

若整數(shù)矩陣A可經(jīng)整初等行(列)變換求其逆矩陣，則整倍法變換中k=±1.

證明：若第一列中有元素有1，則將其所在行于第一行變換，并且下面的元素消為零；若第一列中有元素沒有1，則看是否存在第一列元素的整線性組合為1，依次下去得到A-1.

特別對于n階整數(shù)正交矩陣A，由于|A|=±1，故A-1也是整數(shù)矩陣，根據(jù)正交矩陣的充要條件

則整數(shù)正交矩陣A是由處于不同行、不同列的n個1或-1元素構(gòu)成，其余元素均為0.對A施行整換法變換和整倍法變換(k=-1)得到單位矩陣E，于是右邊可得到A-1.

對于一般的整數(shù)矩陣A，|A|±1，可用初等變換得到A-1.且為整數(shù)矩陣.由于我們對A進(jìn)行一系列初等行變換相當(dāng)于左乘相應(yīng)的一系列初等矩陣.假設(shè)對整數(shù)矩陣A可經(jīng)過一系列整初等行變換化為單位矩陣，即存在初等矩陣P1,P2,…,Ps，使得

若初等矩陣P1,P2,…,Ps均為整數(shù)矩陣，則兩邊取行列式得到

而整初等矩陣是由E進(jìn)過整初等行變換而來，整換法變換和整消法變換不改變行列式，而整倍法變換可改變行列式.若某個整數(shù)陣經(jīng)矩過一次整倍法變換，則相當(dāng)于左乘以相應(yīng)的整初等矩陣E(i(k)),k≠0，要保證積為1，則一定存在某個由于是整初等變換，故k只能去±1.

2.3 定理

整數(shù)矩陣A，若|A|=±1，則A可經(jīng)過整初等行變換求其逆矩陣，且逆矩陣仍為整數(shù)矩陣.

證明 對于n階整數(shù)矩陣A可逆，且逆仍為整數(shù)矩陣，則|A|=±1.不妨設(shè)|A|=1，取A第一列中絕對值最小的元素，不妨設(shè)為a11:

(1)若第一列中其它元素可被a11整除，則A可經(jīng)過行的整消法變換化為

(2)若第一列中存在元素不能被a11整除，不妨設(shè)為aji，即aj1=a11g+r，其中|r|<|a11|.于是A可經(jīng)過行的整換法變換和消法變換化為

①若r能整除第一列中的其它元素，則B1可經(jīng)過行的整消法變換化為

②若r不能整除第一列中的某個元素ak1，即ak1=r g1+r2，其中|r2|<|r|.于是B1可經(jīng)過行的整換法變換和消法變換化為

如此下去，可經(jīng)過一系列行的整換法變換和消法變換得到矩陣

其中rs能整除第一列中的其它元素，于是可化為

由于整換法變換和消法變換不改變行列式的值，故|A|=rsAs*=1，且rs∈Z，As*∈Z，故rs=1，As*=1.As*是n-1階矩陣，同理可經(jīng)過一系列行的整換法變換和消法變換化為

如此下去，A可經(jīng)過一系列行的整換法變換和消法變換化為E，于是可得到A-1.

3 整數(shù)矩陣的對角化

引理1 設(shè)整數(shù)矩陣A的左上角元素a11≠0，并且A中至少有一個元素不能被它除盡，那么一定可以經(jīng)過整換法變換，整消法變換，找到一個與A等價的矩陣B，它的左上角元素也不為零，但是它的絕對值比a11的絕對值小.

推論 對于整數(shù)矩陣A，一定存在可逆的整數(shù)矩陣T1T2，使得

證明 有上定理的證明可知，在得到一系列彼此等價的整數(shù)矩陣A,B1,B2…的過程中，就是對原整數(shù)矩陣進(jìn)行整初等換法變換和消法變換，也相當(dāng)于左乘和右乘相應(yīng)的整初等矩陣P1,P2,…Ps，Q1,Q2…Qt，即

且di|di+1,i=1L r-1,di∈Z.

〔1〕北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2002.

〔2〕蕭樹鐵，居余馬.高等數(shù)學(xué)第一卷基礎(chǔ)與代數(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1995.

〔3〕Anton H,Rorres R,Elementary Linear Algebra Applications Versin,Sixth Edition,New York：John W iley&Sons,1991.

〔4〕Lay D C,Linear Algebra and Its Application,Second Edition,New York：W esley Longman,2000.

〔5〕N icholson W K,Linear Algebra w ith Application,Third Edition,Boston：PWS Publishing Company,1995.

O 223

A

1673-260X（2013）10-0003-02