程慧君，徐曉嶺，顧蓓青，於笑羊，梁 舒

（上海對外貿(mào)易學(xué)院 a.商務(wù)信息學(xué)院；b.國際經(jīng)貿(mào)學(xué)院,上海201620）

0 引言

目前已經(jīng)有很多關(guān)于產(chǎn)品的生命周期的研究。文獻(xiàn)[1]是鄭祖康教授對銷售擴(kuò)散曲線的研究。文中，將消費(fèi)者購買行為稱作“沖動”，從消費(fèi)者行為，新產(chǎn)品性能以及營銷者策略這三個因素進(jìn)行描述，建立了與當(dāng)前的銷售擴(kuò)散曲線、平均銷售擴(kuò)散速度和銷售時間有關(guān)的三個基本模型。文獻(xiàn)[2]中，首先闡述了產(chǎn)品生命周期的內(nèi)涵；其次對產(chǎn)品生命周期建立了計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，運(yùn)用了龔伯茲曲線（美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家龔伯茲首先提出作控制人口增長率的一種模型）進(jìn)行擬合，然后對某市場耐用消費(fèi)品作案例分析對出結(jié)論，最終也對產(chǎn)品投入期，產(chǎn)品成長期和產(chǎn)品成熟期給了一些對策。文獻(xiàn)[3]對新產(chǎn)品營銷失敗的原因從市場，產(chǎn)品以及營銷三個方面做出分析，闡述了新產(chǎn)品內(nèi)在的擴(kuò)散機(jī)理是成功的基礎(chǔ)，具體表現(xiàn)在新產(chǎn)品的相對優(yōu)勢，適應(yīng)性，復(fù)雜性等性質(zhì)。

本文針對鄭祖康教授提出的第一類銷售擴(kuò)散模型，給出了參數(shù)的矩估計(jì)，考察了估計(jì)的存在性，并通過Monte-Carlo模擬數(shù)例說明本文方法的應(yīng)用。

1 模型及其數(shù)字特征

文獻(xiàn)[1]提出了一種銷售擴(kuò)散概率模型，即針對非負(fù)隨機(jī)變量T給出了一種兩參數(shù)的概率分布，其分布函數(shù)、密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別為：

易見：

若-1＜β≤1時，

圖1 參數(shù)λ=0.5,β=-0.5,0.5的密度函數(shù)圖像

若β＞1時，

令f′(t)=0 ，得方程：β-eλt=0 ，解得其根 ：由此 f (t)在(0,t)嚴(yán)格單調(diào)增加，在(t,+∞)嚴(yán)00格單調(diào)下降，在點(diǎn)t0處取最大值，值為取參數(shù)λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，密度函數(shù)圖像見圖2，參數(shù)β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5，密度函數(shù)圖像見圖3。又

即失效率函數(shù)η(t)當(dāng)-1＜β＜0時，嚴(yán)格單調(diào)下降；取參數(shù)λ=2.5,3.5，β=-0.5，失效率函數(shù)圖像見圖4。當(dāng)β＞0時，嚴(yán)格單調(diào)增加；而當(dāng)β=0時，為常數(shù)，此時該分布為指數(shù)分布。取參數(shù)λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函數(shù)圖像見圖5。

圖2 參數(shù) λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100的密度函數(shù)圖像

圖3 參數(shù) β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5的密度函數(shù)圖像

圖4 參數(shù) λ=2.5,3.5，β=-0.5的失效率函數(shù)圖像

圖5 參數(shù)λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函數(shù)圖像

下面求該分布的p—分位數(shù)：

若 0 ＜p＜1，F(xiàn)(tp)=p，即，從中解得

下面求該分布的k階矩：

引理1[4]：設(shè) g(x)是[a,+∞) 上的非負(fù)函數(shù)，且對任何b＞a，g(x)在[a , b]上可積，如果，則當(dāng)-∞≤p＜-1時，收斂；而當(dāng)-1＜p≤+∞時，發(fā)散。

引理2：具有分布函數(shù)F(t)的非負(fù)隨機(jī)變量的k階矩存在，同時

證明：

由引理1知：隨機(jī)變量T的k階矩存在。于是

可得該分布的期望與二階矩：

2 參數(shù)的矩估計(jì)

設(shè)T1,T2,…,Tn為來自總體T的容量為n的一個樣本，由矩估計(jì)思想可建立如下方程組：

化簡：

即得方程：

則有：

注意到，G(β)的圖像如圖6所示，從中可以看到，其為單調(diào)減函數(shù)，由此可以認(rèn)為引理3中的方程有唯一根。

圖6 函數(shù)G(β)的圖像

例1：給定n=10，參數(shù)真值取為λ=1,β=0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機(jī)數(shù)如下：

利用本文方法求得參數(shù)的矩估計(jì)為：

例2：給定 n=10，參數(shù)真值取為 λ=1,β=-0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機(jī)數(shù)如下：

利用本文方法求得參數(shù)的矩估計(jì)為：

特別地，當(dāng)參數(shù)β已知時，易得參數(shù)λ的矩估計(jì)：

例3：給定n=10，β=0.5，參數(shù)真值取為λ=1，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機(jī)數(shù)如下：

例4：給定n=10，β=-0.5，參數(shù)真值取為 λ=1，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機(jī)數(shù)如下：0.8593，1.0250，0.2548，0.9001

令函數(shù)：φ(β)=β-ln(β+1),β＞-1

則當(dāng) -1＜β＜0時，φ(β)為單調(diào)減函數(shù)，而當(dāng) β＞0時，φ(β)為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng) β=0 時，φ(β)取最小值，其值為 φ(0)=0，由此得 φ(β)＞0，即 g(β)為單調(diào)增函數(shù)。

例5：給定n=10，λ=1，參數(shù)真值取為β=0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機(jī)數(shù)如下：

1.7641 ，2.0972，1.1042，1.9068，0.5514，0.3588，0.5197，1.1347，2.1186，0.4787

例6：給定n=10，λ=1，參數(shù)真值取為 β=-0.5，通過Monte-Carlo模擬產(chǎn)生服從該兩參數(shù)分布的10個隨機(jī)數(shù)如下：

0.5586 ，1.1008，0.0570，1.1940，1.2937，0.2426，0.3201，0.5122，0.7753，0.8926

[1]鄭祖康.銷售擴(kuò)散曲線及其數(shù)學(xué)分析[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2010，（3）.

[2]謝慧.產(chǎn)品生命周期曲線預(yù)測模型及其在營銷決策中的應(yīng)用[J].市場研究，2006，（2～8）.

[3]薛云建，陳捷.用擴(kuò)散機(jī)理解析新產(chǎn)品營銷[J].企業(yè)研究，2010，（17）.

[4]汪林，戴正德，楊富春，鄭喜印.數(shù)學(xué)分析問題研究與評注[M].北京：科學(xué)出版社，1995.