喻德生，徐迎博，曾接賢

1.南昌航空大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063

2.南昌航空大學(xué) 軟件學(xué)院，南昌 330063

一類雙參數(shù)類四次三角Bézier曲線及其擴(kuò)展

喻德生1，徐迎博1，曾接賢2

1.南昌航空大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，南昌 330063

2.南昌航空大學(xué) 軟件學(xué)院，南昌 330063

曲線曲面的表示是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要的研究課題。Bézier曲線和B樣條曲線[1]因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、直觀而被廣泛應(yīng)用于曲線造型中。但它們也有一定的局限性：（1）曲線形狀調(diào)整不方便；（2）不能精確地表示圓弧等二次曲線。雖然NURBS曲線解決了這些問(wèn)題，但其求導(dǎo)和求積分的過(guò)程復(fù)雜，并且權(quán)因子的選擇問(wèn)題至今并未解決。為了克服它們?cè)谠煨头矫娴牟蛔?，人們?duì)帶形狀參數(shù)的多項(xiàng)式曲線和三角多項(xiàng)式曲線進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[2]用基函數(shù)sint，cost，t，1構(gòu)造了C曲線，它具有許多與Bézier曲線類似的性質(zhì)，還可以精確地表示圓弧和圓柱。文獻(xiàn)[3-5]用不同方法對(duì)Bézier曲線進(jìn)行了擴(kuò)展，擴(kuò)展曲線保留了Bézier曲線的優(yōu)良性質(zhì)，具有更靈活的形狀可調(diào)性和更好的逼近性，并且參數(shù)的幾何意義明顯。文獻(xiàn)[6-9]分別對(duì)帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式曲線和雙曲多項(xiàng)式曲線進(jìn)行了研究。該類曲線除了具有簡(jiǎn)單的表示形式、靈活的可調(diào)性外，在一定條件下可以精確地表示某種二次曲線。文獻(xiàn)[10]是對(duì)文獻(xiàn)[8]在次數(shù)上的推廣，由帶形狀參數(shù)的類三次曲線推廣到帶形狀參數(shù)的類四次三角多項(xiàng)式曲線。文獻(xiàn)[11-15]對(duì)各類樣條曲線的性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[16]用基函數(shù)1，sint，cost，sin2t構(gòu)造了可調(diào)的類三次參數(shù)曲線。該類曲線與三次Bézier曲線相比，更簡(jiǎn)單更具表現(xiàn)力，可以精確表示橢圓和拋物線等曲線。文獻(xiàn)[17]利用一個(gè)對(duì)稱的調(diào)配函數(shù)，結(jié)合NURBS曲線中權(quán)的思想，在曲線控制頂點(diǎn)處引入調(diào)配參數(shù)，對(duì)一類有理樣條曲線進(jìn)行了擴(kuò)展，擴(kuò)展曲線比原曲線描述能力更好，并且包含了原曲線的形式。

本文給出帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線及其擴(kuò)展曲線的定義，得到了該類曲線及其擴(kuò)展曲線的性質(zhì)，給出了兩段帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線G1(C1)，G2(C2)及兩段擴(kuò)展曲線G1(C1)，G2(C2)光滑拼接的充要條件，并結(jié)合實(shí)例分別說(shuō)明該曲線及其擴(kuò)展曲線在曲線造型，特別是在非對(duì)稱圖形的造型中的應(yīng)用。

1 帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線

1.1 曲線的定義

定義1設(shè)實(shí)數(shù)λ，μ∈[-1，1]，t∈[0，π/2]，則稱關(guān)于t的三角多項(xiàng)式：

為帶參數(shù)λ，μ的類四次三角多項(xiàng)式基函數(shù)。

特別地，當(dāng)λ=μ時(shí)，式（1）即為文獻(xiàn)[10]中的基函數(shù)。

由式（1）可知基函數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）非負(fù)性，即bi，4(t)≥0，t∈[0，π/2]。

（3）對(duì)稱性，即bi，4(t;λ，μ)=b4-i，4(π/2-t;μ，λ)。

（4）端點(diǎn)性質(zhì)

（5）最大值，即每個(gè)基函數(shù)在[0，π/2]上有一個(gè)最大值。b0，4(t)的最大值在t=0處，b1，4(t)的最大值在(0，π/4)內(nèi)，b2，4(t)的最大值在t=π/4處，b3，4(t)的最大值在(π/4，π/2)內(nèi)，b4，4(t)的最大值在t=π/2處。

圖1為當(dāng)λ=0.5，μ=1時(shí)5個(gè)基函數(shù)的圖形。

圖1 基函數(shù)的圖形(λ=0.5，μ=1)

定義2給定5個(gè)控制頂點(diǎn)Pi∈Rd(d=2，3，i=0，1，2，3，4)。設(shè)t∈[0，π/2]，則稱：

所定義的曲線為帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線（下面簡(jiǎn)稱推廣曲線）。

1.2 曲線的性質(zhì)

（1）端點(diǎn)性質(zhì)。由基函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)得：

即曲線具有與四次Bézier曲線完全相同的端點(diǎn)性質(zhì)：插值于首末端點(diǎn)并且在首末端點(diǎn)處與控制多邊形相切（如圖2）。

圖2 擴(kuò)展的類四次三角Bézier曲線

（2）對(duì)稱性。保持控制頂點(diǎn)的位置不變，只是把它們的次序完全顛倒，那么曲線在下列意義上是對(duì)稱的：

（3）幾何不變性和仿射不變性。曲線形狀僅與控制頂點(diǎn)有關(guān)而與坐標(biāo)系的位置和方向無(wú)關(guān)，即曲線的形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變。

（4）凸包性。由基函數(shù)的非負(fù)性知，曲線是落在由控制頂點(diǎn)生成的凸包之內(nèi)的。

（5）平面類四次三角Bézier曲線的變差縮減的性質(zhì)。這里采用文獻(xiàn)[8]所提供的證法。首先證明基函數(shù)組{b0，4，b1，4，b2，4，b3，4，b4，4}在 (0，π/2)上滿足笛卡爾符號(hào)法制，即對(duì)任意一組常數(shù)序列{c0，c1，c2，c3，c4}，有：

不妨設(shè)c0＞0，SA(c0，c1，c2，c3，c4)的可能取值為 4，3，2，1，0。

①當(dāng)SA(c0，c1，c2，c3，c4)=4時(shí)，則c4＞0。另一方面，假設(shè)f(t)在 (0，π/2)上有5個(gè)根，則由f(0)=c0，f(π/2)=c4且f(t)在[0，π/2]上連續(xù)，必有f(π/2)=c4＜0，這與c4＞0矛盾，故式（3）成立。

②當(dāng)SA(c0，c1，c2，c3，c4)=3，2，1時(shí)，同理可證式（3）成立。

顯然SA(c0，c1，c2，c3，c4)=0時(shí)式（3）成立。故結(jié)論成立。

下面證明變差縮減性質(zhì)成立。

設(shè)一直線L與控制多邊形的PkPk+1邊交于點(diǎn)Q，其中PkPk+1邊的法向量為v。則Pk，Pk+1分別位于直線L的兩側(cè)，即v·(Pk-Q)和v·(Pk+1-Q)符號(hào)相反。因此與L交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，而B(t)與L交點(diǎn)個(gè)數(shù)為所以由基函數(shù)組的笛卡爾符號(hào)法則B(t)與L交點(diǎn)的個(gè)數(shù) ≤SA{v· (P0-Q)，v·(P1-Q)，v·(P2-Q)，v·(P3-Q)，v·(P4-Q)}，從而結(jié)論得證。

（6）保凸性。由性質(zhì)（5）知，當(dāng)控制多邊形是為凸時(shí)，平面類四次三角Bézier曲線為凸曲線。

（7）形狀參數(shù)對(duì)曲線形狀的影響。給定控制頂點(diǎn)P0，P1，P2，P3，P4，由定義2即定義了帶有兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線。由基函數(shù)的定義及性質(zhì)可知，則當(dāng)λ(μ)固定且μ(λ)不斷增大時(shí)，曲線逐步靠近控制多邊形的P2P3(P1P2)邊；當(dāng)λ和μ的值同時(shí)增大（減?。r(shí)，曲線整體的靠近控制多邊形（整體靠近線段P0P4）（如圖3）；當(dāng)λ增大μ減小（λ減小μ增大）時(shí)，曲線被拉向P1P2(P2P3)邊，且拉伸的效果顯著。特別地，當(dāng)λ=μ=-1時(shí)，三角多項(xiàng)式曲線退化為連接P0P4的線段。由此可見，與帶一個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線相比，帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次Bézier曲線對(duì)曲線有更好的局部調(diào)整能力。

圖3 參數(shù)對(duì)曲線形狀影響

圖3中實(shí)線從上往下參數(shù)(λ，μ)取值依次為：(1，1)，(1，0.5)，(1，0)，(1，-0.8)；虛線從上往下參數(shù)(λ，μ)的取值依次為：(0.5，1)，(0，1)，(-0.8，1)。

1.3 曲線的拼接

本節(jié)考慮兩段推廣曲線的拼接問(wèn)題，設(shè)：

分別為由控制頂點(diǎn)Pi，Qi(i=0，1，2，3，4)定義的帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角 Bézier曲線，其中λ1，μ1，λ2，μ2∈[-1，1]。

定理1帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點(diǎn)P4=Q0處達(dá)到G1光滑拼接（C1光滑拼接）的充要條件是：

其中δ1＞0(δ1=(1+μ1)/(1+λ2))。

事實(shí)上，要使兩曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點(diǎn)P4=Q0處達(dá)到G1光滑拼接，則在連接點(diǎn)處有公共的切矢方向，即存在常數(shù)δ1＞0，使：

將Q0=P4代入化簡(jiǎn)即得式（4）。

特別，當(dāng)δ1=(1+μ1)/(1+λ2)時(shí)，有下式成立：

即兩曲線在連接點(diǎn)處有公共的切矢，因此兩曲線連接點(diǎn)P4=Q0處達(dá)到C1光滑拼接。

由定理1知，兩段推廣曲線C1光滑拼接僅與其中的μ1和λ2有關(guān)，與λ1，μ2無(wú)關(guān)。故調(diào)整參數(shù)λ1，μ2可以在不改變拼接曲線連續(xù)性的情況下對(duì)曲線的形狀進(jìn)行微調(diào)，這是帶一個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線無(wú)法做到的，如圖4。

圖4 兩段曲線的C1拼接及形狀調(diào)整

下面給出兩段曲線G2(C2)光滑拼接的條件。記P3P4與(1-λ1)P0+(2+λ1+μ1)P2-(3+μ1)P3及P3P4與(1-μ2)Q4+ (2+λ2+μ2)Q2-(3+λ2)Q1組成的平行四邊形的面積分別為S1，S2。

定理2兩段帶兩個(gè)形狀參數(shù)的平面類四次三角Bézier曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點(diǎn)P4=Q0處達(dá)到G2光滑拼接的充要條件是除定理1中G1光滑拼接條件外，還滿足：

其中τ=(1+λ2)δ1/(1+μ1)，且P2，Q2在公切線的同一側(cè)。

證明兩曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點(diǎn)處要達(dá)到G2光滑拼接，首先必須達(dá)到G1光滑拼接，因此要滿足定理1中相應(yīng)條件；其次在連接點(diǎn)處要有相等的曲率矢。由于兩曲線在公共點(diǎn)的曲率為：

經(jīng)計(jì)算有：

根據(jù)曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，并將式（7）、式（8）代入式（6）化簡(jiǎn)即得式（5）。

定理3兩段帶兩個(gè)形狀參數(shù)的平面類四次三角Bézier曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)在連接點(diǎn)P4=Q0處達(dá)到C2光滑拼接的充要條件是除C1光滑拼接條件外，還滿足下式：

其中τ1=1-μ2，τ2=2+λ2+μ2，σ1=1-λ1，σ2=2+λ1+μ1，σ3= 6(1+μ1)，σ4=6+5μ1+λ2。

證明兩曲線B1(t;λ1，μ1)，B2(t;λ2，μ2)要在連接點(diǎn)處達(dá)到C2光滑拼接，首先必須達(dá)到C1光滑拼接，因此要滿足定理1中相應(yīng)條件；其次要求二階導(dǎo)矢相等，即

將C1光滑拼接條件及式（7）、式（8）代入上式化簡(jiǎn)即得式（9）。

1.4 曲線的應(yīng)用

當(dāng)μ=λ時(shí)，推廣曲線即為文獻(xiàn)[10]中曲線，此時(shí)曲線可以精確表示橢圓（圓）、拋物線和心臟線。下面用例子來(lái)說(shuō)明在不改變控制多邊形的情況下，兩個(gè)形狀參數(shù)在曲線形狀微調(diào)上的應(yīng)用。

例1圖5和圖6是用推廣曲線生成的開花瓣和閉花瓣圖形，這種功能與帶一個(gè)形狀參數(shù)的的類四次三角Bézier曲線類似。但推廣曲線不需要通過(guò)修改控制頂點(diǎn)，只要改變?chǔ)?，μ的值就可以生成局部?duì)稱(λ=μ)和非局部對(duì)稱(λ≠μ)的花瓣圖形（如圖7和圖8），這種功能是帶一個(gè)形狀參數(shù)的的類四次三角Bézier曲線不具備的。

圖5 曲線所生成的對(duì)稱開花瓣圖形

圖6 曲線所生成的對(duì)稱閉花瓣圖形

圖7 當(dāng)λ≠μ時(shí)調(diào)整形狀參數(shù)生成的花瓣圖形

圖8 對(duì)于每段的λ和μ分別調(diào)整生成的花瓣圖形

可見，在曲線造型中使用帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線比較方便，形狀修改十分簡(jiǎn)單，特別是在生成不對(duì)稱圖形方面具有獨(dú)特功能，而且靈活、多樣。

例2推廣曲線具有更強(qiáng)的靈活性和微調(diào)能力。如圖9（a）為λ=μ時(shí)，推廣曲線（即文獻(xiàn)[10]中的曲線）的實(shí)物花瓣造型及形狀調(diào)整，不改變控制多邊形，調(diào)整參數(shù)值得到的是一系列同心的花瓣圖形，此時(shí)實(shí)際上只有一個(gè)參數(shù)可以調(diào)整，靈活性和調(diào)整效果較弱；圖9（b）為λ≠μ時(shí)，推廣曲線的造型及形狀調(diào)整，不改變控制多邊形，可任意調(diào)整λ，μ值(λ≠μ)得到不同心的圖形，靈活性和調(diào)整效果較好。

2 擴(kuò)展曲線的定義、性質(zhì)及應(yīng)用

2.1 擴(kuò)展曲線的定義

為了引出擴(kuò)展曲線的定義，首先引進(jìn)一個(gè)調(diào)配函數(shù)f(t)=cos2t，以及由它產(chǎn)生的另外一個(gè)函數(shù)

設(shè)Pj(j=0，1，2，3，4)為帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線的五個(gè)控制頂點(diǎn)。記：

則稱L(t)為局部調(diào)控函數(shù)。

定義3設(shè)Pi∈Rd(d=2，3，i=0，1，2，3，4)為給定的五個(gè)控制頂點(diǎn)，0≤α≤1，t∈[0，π/2]，則稱：

為帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線的擴(kuò)展曲線，簡(jiǎn)稱擴(kuò)展曲線。

圖9 （a） μ=λ時(shí)曲線的形狀調(diào)整

圖9 （b） μ≠λ時(shí)曲線的形狀調(diào)整

由于擴(kuò)展曲線在控制頂點(diǎn)P1和P3處引進(jìn)調(diào)配函數(shù)和參數(shù)α，因而曲線形狀的調(diào)整自由度更大，且當(dāng)α≠0時(shí)，曲線與控制多邊形的首末邊相切，曲線可以插值于首末邊的任意點(diǎn)（如圖10）。

圖10 擴(kuò)展的類四次三角Bézier曲線

注1在式（10）中，當(dāng)α=1時(shí)，即為式（1）定義的帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線；當(dāng)α=0時(shí)，為連接P1P3的直線。

2.2 擴(kuò)展曲線的性質(zhì)

（1）端點(diǎn)性質(zhì)

（2）對(duì)稱性。保持控制頂點(diǎn)的位置不變，只是把它們的次序完全顛倒，那么曲線在下列意義上是對(duì)稱的：

事實(shí)上，由調(diào)配函數(shù)的定義可知：

即調(diào)配函數(shù)具有對(duì)稱性。于是：

再由帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線的對(duì)稱性，

即知式（11）成立。

下面將Q(t)寫成如下形式：

由基函數(shù)的性質(zhì)可得擴(kuò)展曲線Q(t)的性質(zhì)：

（3）幾何不變性和仿射不變性。曲線形狀僅與控制頂點(diǎn)有關(guān)而與坐標(biāo)系的位置和方向無(wú)關(guān)，即曲線的形狀在坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)后不變。

（4）凸包性。由基函數(shù)的非負(fù)性及權(quán)性知，曲線是落在由控制頂點(diǎn)生成的凸包之內(nèi)的。

（5）局部可調(diào)性。曲線具有良好的局部可調(diào)性。其中改變?chǔ)恋闹悼梢哉{(diào)整曲線首末點(diǎn)在首末邊上的位置。而B(t)的基函數(shù)中的兩個(gè)形狀參數(shù)λ，μ和α一起，起到對(duì)曲線形狀調(diào)整的作用。

不需改變控制多邊形，改變?chǔ)?，λ，μ的取值就可以改變曲線的形狀。當(dāng)α≠0時(shí)，其值越小曲線在首末邊的切點(diǎn)越接近P1，P3；其值越大曲線在首末邊的切點(diǎn)越接近P0，P4。因此曲線與首末邊的切點(diǎn)可以由α來(lái)控制、調(diào)節(jié)。如圖11（a），λ=1，μ=1，實(shí)線的α取值為0.2，“*”線α取值為0.7。

固定α值，調(diào)整λ，μ的值，擴(kuò)展曲線與控制多邊形首末邊的切點(diǎn)不變，而曲線的形狀有所改變。如圖11（b），α=0.5，實(shí)線λ，μ的取值分別為0.2，0.8，“*”線λ，μ的取值分別為0.7，-0.2。

2.3 擴(kuò)展曲線的拼接

本節(jié)討論兩段擴(kuò)展曲線的拼接問(wèn)題。設(shè)分別為由控制頂點(diǎn)Pi，Qi(i=0，1，2，3，4)定義的兩條擴(kuò)展曲線，其中λi，μi∈[-1，1](i=1，2)，0≤α，β≤1。

圖11 （a） 固定λ，μ值，改變?chǔ)林祵?duì)曲線形狀的調(diào)整效果

圖11 （b） 固定α值，改變?chǔ)耍讨祵?duì)曲線形狀的調(diào)整效果

定理4擴(kuò)展曲線Q1(t)，Q2(t)達(dá)到G1(C1)光滑拼接的充要條件是：

其中ω0=α+βδ2-δ2，ω1=α+βδ2，δ2＞0(δ2=α(1+μ1)/β(1+λ2))。

證明要使擴(kuò)展曲線Q1(t)，Q2(t)達(dá)到G1光滑拼接，必須滿足如下條件：

即滿足如下方程組：

解方程組即得式（13）。

特別，當(dāng)δ2=α(1+μ1)/β(1+λ2)時(shí)，有下式成立：

即兩曲線在連接點(diǎn)處有公共的切矢，因此兩曲線達(dá)到C1光滑拼接。

如圖12是兩段擴(kuò)展曲線C1光滑拼接的實(shí)例。

圖12 兩段擴(kuò)展曲線的C1光滑拼接

注2當(dāng)α=β=1時(shí)，δ2=δ1，即得定理1的結(jié)論。

下面給出兩段曲線G2光滑拼接的條件。記P3P4與α[(1-λ1)P0+(2+λ1+μ1)P2-(3+μ1)P3]-2(1-α)(P3-P1)及P3P4與β[(1-μ2)Q4+(2+λ2+μ2)Q2-(3+λ2)Q1]+2(1-β)(Q3-Q1)組成的平行四邊形的面積分別為

定理5擴(kuò)展曲線Q1(t)，Q2(t)達(dá)到G2光滑拼接的充要條件是除定理4中G1光滑拼接條件外，還必須滿足：

其中ρ=β(1+λ2)δ2/α(1+μ1)，且P2，Q2在公切線的同一側(cè)。

證明兩曲線Q1(t;λ1，μ1)，Q2(t;λ2，μ2)在連接點(diǎn)處要達(dá)到G2光滑拼接，首先必須達(dá)到G1光滑拼接，因此要滿足定理4中相應(yīng)條件；其次在連接點(diǎn)處要有相等的曲率矢。由于兩曲線在公共點(diǎn)的曲率為：

經(jīng)計(jì)算有：

根據(jù)擴(kuò)展曲線的端點(diǎn)性質(zhì)，并將式（16）、式（17）代入式（15）化簡(jiǎn)即得式（14）。

注3當(dāng)α=β=1時(shí)，即得定理2的結(jié)論。

定理6擴(kuò)展曲線Q1(t)，Q2(t)達(dá)到C2光滑拼接的充要條件是除定理4中C1光滑拼接條件外，還必須滿足：

其中κ1=β(2+λ2+μ2)，κ2=2(1-β)，κ3=β(1-μ2)，ε0=α(1-λ1)，ε1=2(1-α)，ε2=α(2+λ1+μ1)，ε3=3β(1+λ2)(1-ω1)+2(1-β)· (1-ω1)-2(1-α)-2βλ2(1-ω0)-3α(1+μ1)，ε4=2αμ1-2βλ2ω0+ 3β(1+λ2)ω1+2(1-β)ω1，且ω0，ω1，δ2與定理4中C1光滑條件的要求相同。

圖13 （a）僅修改α值得到的開花瓣

圖13 （b）同時(shí)修改α，λi，μi得到的不對(duì)稱開花瓣

證明兩曲線Q1(t;λ1，μ1)，Q2(t;λ2，μ2)要在連接點(diǎn)處達(dá)到C2光滑拼接，首先必須達(dá)到C1光滑拼接，因此要滿足定理4中相應(yīng)條件；其次要求二階導(dǎo)矢相等，即

將C1光滑拼接條件及式（16）、式（17）代入上式化簡(jiǎn)即得式（18）。

注4當(dāng)α=β=1時(shí)，即得定理3的結(jié)論。

2.4 擴(kuò)展曲線的應(yīng)用

當(dāng)α=1時(shí)，Q(t)即為帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線，所以擴(kuò)展曲線具有該曲線的一切的優(yōu)點(diǎn)。下面主要討論擴(kuò)展曲線在切點(diǎn)修改方面的作用，如圖13所示。

由圖13可以看出，擴(kuò)展曲線在不改變控制頂點(diǎn)的情況下，就可以在生成閉花瓣的控制多邊形中方便地生成開花瓣。同時(shí)還可以通過(guò)控制參數(shù)α，λ，μ的值來(lái)修改開花瓣與控制多邊形的切點(diǎn)和形狀，生成各種不對(duì)稱的圖形。造型自由靈活。

3 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，帶兩個(gè)形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線不僅保留了原曲線的優(yōu)良性質(zhì)，而且其形狀可以通過(guò)兩個(gè)形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，因此具有更好的形狀可調(diào)性和更靈活的逼近方式。該類曲線可以在不改變控制多邊形的情況下，生成各種對(duì)稱和不對(duì)稱的圖形，形狀調(diào)整簡(jiǎn)單、靈活，微調(diào)能力強(qiáng)；其形狀參數(shù)幾何意義明顯：即在給定范圍內(nèi)，λ，μ以不同的方式增大，曲線則以不同的方式逼近控制多邊形。該類曲線的擴(kuò)展曲線不僅具有許多類似于原曲線的優(yōu)良性質(zhì)，還可插值于控制多邊形的首末邊上的任意點(diǎn)：當(dāng)α=0時(shí)，擴(kuò)展曲線為連接P1P3的直線；當(dāng)α≠0時(shí)，擴(kuò)展曲線與控制多邊形的首末邊相切，且通過(guò)調(diào)整α值可以調(diào)整切點(diǎn)在首末邊上的位置，因此參數(shù)α和λ，μ一起起到對(duì)曲線形狀調(diào)節(jié)的作用，曲線形狀的調(diào)節(jié)更加靈活。實(shí)例表明，該類曲線及其擴(kuò)展曲線在非對(duì)稱圖形的造型中具有獨(dú)特的效果。

[1]施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]Zhang Jiwen.C-curves：an extension of cubic curves[J].Computer Aided Geometric Design，1996，13（3）：199-217.

[3]胡鋼，秦新強(qiáng).Bézier曲線的新擴(kuò)展[J].計(jì)算機(jī)工程，2008，34（12）：64-66.

[4]吳曉勤，韓旭里.三次Bézier曲線的擴(kuò)展[J].工程圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2005（6）：98-102.

[5]吳曉勤.帶形狀參數(shù)的Bézier曲線[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào)，2006，11（2）：269-274.

[6]Han Xuli.Cubic trigonometric polynomial curves with a shap parameter[J].Computer AidedGeometricDesign，2004，21：535-548.

[7]Han Xian.The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters[J].Applied Mathematics Letters，2009，22：226-231.

[8]吳曉勤，韓旭里.帶形狀參數(shù)的二次三角Bézier曲線[J].工程圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2008（1）：82-87.

[9]陳素根，黃有度.帶多形狀參數(shù)的雙曲Bézier曲線[J].工程圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2009（1）：75-79.

[10]楊煉，李軍成.一類帶形狀參數(shù)的類四次三角Bézier曲線[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2011，33（3）：77-81.

[11]劉旭敏，黃厚寬.帶形狀參數(shù)樣條曲線的研究[J].計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展，2007，44（3）：487-496.

[12]王文濤，汪國(guó)昭.帶形狀參數(shù)的三角多項(xiàng)式均勻B樣條[J].計(jì)算機(jī)學(xué)報(bào)，2005，28（7）：1192-1198.

[13]王文濤，汪國(guó)昭.帶形狀參數(shù)的均勻B樣條[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形圖像學(xué)學(xué)報(bào)，2004，16（6）：783-788.

[14]左傳桂，汪國(guó)昭.具有兩個(gè)獨(dú)立形狀參數(shù)的四階均勻B樣條[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2007，34（6）：622-632.

[15]王文濤，汪國(guó)昭.帶形狀參數(shù)的雙曲多項(xiàng)式均勻B樣條[J].軟件學(xué)報(bào)，2005，16（4）：625-633.

[16]李軍成，陳國(guó)華，楊篤慶.可調(diào)的類三次Bézier曲線[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2010，32（3）：69-71.

[17]王成偉.帶有切線多邊形的一類有理樣條的擴(kuò)展曲線[J].北京服裝學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，31（1）：5-12.

YU Desheng1,XU Yingbo1,ZENG Jiexian2

1.School of Mathematics and Information Sciences,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China
2.School of Software,Nanchang Hangkong University,Nanchang 330063,China

A class of quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves with double parameters and its extension are defined. The properties of the class of the curves and its extension are obtained,and the necessary and sufficient conditions forG1(C1)，G2(C2)continuously joining with two segments of quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves and two extensions are given.The applications of them are discussed.Experimental examples show that the class of the curves and its extensions have stronger abilities in curve designing,especially in designing of non-symmetry figures.

quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves;shape parameter;extension;continuously joining

給出了一類雙參數(shù)的類四次三角Bézier曲線及其擴(kuò)展曲線的定義，得到了該類曲線及其擴(kuò)展曲線的性質(zhì)，給出了兩段雙參數(shù)的類四次三角Bézier曲線G1(C1)，G2(C2)及兩段擴(kuò)展曲線G1(C1)，G2(C2)光滑拼接的充要條件，并討論了這兩類曲線的應(yīng)用。算例表明，該類曲線及其擴(kuò)展曲線在曲線造型，特別是在非對(duì)稱圖形的造型中，具有很強(qiáng)的描述能力。

類四次三角Bézier曲線；形狀參數(shù)；擴(kuò)展；光滑拼接

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1112-0347

YU Desheng,XU Yingbo,ZENG Jiexian.A class of quasi-quartic trigonometric polynomial Bézier curves with double parameters and its extension.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：180-186.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61165011）。

喻德生（1959—），男，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向：計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)；徐迎博（1986—），女，碩士研究生，研究方向：計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)；曾接賢（1958—），男，教授，主要研究方向?yàn)楣こ虉D學(xué)、圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺。

2011-12-19

2012-04-18

1002-8331（2013）18-0180-07

CNKI出版日期：2012-05-22 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120522.1108.009.html