周珩

南京工程學(xué)院通信工程學(xué)院，江蘇 南京 211167

1 概述

FDTD算法是1966年K.S.Yee在一篇論文里提出的，直接將帶時(shí)間變量的麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為差分形式來(lái)求解空間電磁場(chǎng)的算法。它是把電磁場(chǎng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量分別在時(shí)域和空域上進(jìn)行差分，利用蛙跳式算法在時(shí)間和空間內(nèi)進(jìn)行交替抽樣計(jì)算，通過(guò)時(shí)間軸上更新來(lái)模仿電磁場(chǎng)的變化，達(dá)到數(shù)值計(jì)算的目的。

隨著計(jì)算技術(shù)特別是電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，F(xiàn)DTD法得到長(zhǎng)足發(fā)展，在電磁學(xué)、電子學(xué)和光學(xué)等領(lǐng)域都有非常廣泛的應(yīng)用，包括天線設(shè)計(jì)，微波電路設(shè)計(jì)，電磁兼容分析，電磁散射計(jì)算，光學(xué)應(yīng)用等等。本文就是基于FDTD方法對(duì)電磁波在不同媒質(zhì)中傳播的反射特性進(jìn)行模擬的。

2 應(yīng)用FDTD法的關(guān)鍵技術(shù)

為應(yīng)用FDTD法解決電磁波傳播所遇到的實(shí)際問(wèn)題，有以下幾個(gè)方面的關(guān)鍵技術(shù)，包括計(jì)算區(qū)域的適當(dāng)網(wǎng)格剖分、電磁波源的設(shè)置及理想匹配層的設(shè)置等。這幾個(gè)方面的問(wèn)題分述如下：

1）計(jì)算區(qū)域的適當(dāng)網(wǎng)格剖分

將Maxwell旋度方程在直角坐標(biāo)系下的六個(gè)分量方程

在圖1所示Yee網(wǎng)格中進(jìn)行有限的差分離散化，在某些參數(shù)或場(chǎng)分量為零的情況下，有限差分式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化成二維甚至一維的形式。任意離散的時(shí)空點(diǎn)處的場(chǎng)分量F（F為磁場(chǎng)H或電場(chǎng)E）可以簡(jiǎn)記為

圖1 Yee空間網(wǎng)格單元

2）源的設(shè)置

在FDTD中對(duì)源的設(shè)置方法有多種。但當(dāng)目標(biāo)遠(yuǎn)離入射場(chǎng)時(shí)，入射場(chǎng)可看成是平面波，因此計(jì)算中需要對(duì)平面波源加以設(shè)置。設(shè)置平面波源的關(guān)鍵是將計(jì)算主區(qū)域劃分成總場(chǎng)區(qū)與散射場(chǎng)區(qū)，并且在總場(chǎng)區(qū)與散射場(chǎng)區(qū)的分界處加入入射的平面波。對(duì)于一維情況，一般可以采用點(diǎn)源。

3）理想匹配層（PML）的設(shè)置

為了解決使用FDTD法進(jìn)行電磁計(jì)算時(shí)有限的計(jì)算資源的限制，可通過(guò)使用PML截?cái)嚯姶艌?chǎng)實(shí)際存在的無(wú)限區(qū)域來(lái)解決。目前廣為采用的一種PML是各向異性理想匹配層（UPML）。假設(shè)計(jì)算區(qū)域中三個(gè)方向的電導(dǎo)率分別為σx、σy及σz，相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率仍為ε和μ，則UPML中的相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率分別為εs和μs，其中s為

這樣，主計(jì)算區(qū)域與UPML區(qū)域就可以統(tǒng)一處理，但是對(duì)于不同區(qū)域，參數(shù)取值不同。例如：對(duì)于主區(qū)域，參數(shù)取值為sx= sy= sz=1；對(duì)于x向PML區(qū)域，參數(shù)取值為sy= sz=1；對(duì)于x向與y向PML相交區(qū)域,參數(shù)取值為sz=1；對(duì)于三個(gè)方向的PML相交區(qū)域，則sx、sy與sz均不為1。

如前所述，PML也可看成是一種特殊的媒質(zhì)，它的電導(dǎo)率σ不是一個(gè)常數(shù)，而是一個(gè)空間變量的函數(shù)。各個(gè)方向的σ為

其中

式(11)中m通常取3～4；而R(0)對(duì)于5單元厚的PML層取e-8較好，對(duì)于10單元厚的PML層取e-16較好。

由于σw為函數(shù)，則各網(wǎng)格中的σw可取為PML層中某一段的平均值，即

3 應(yīng)用FDTD對(duì)電磁波在媒質(zhì)中傳播實(shí)例的仿真

由于用于隱身的涂層材料必須能夠吸收入射的電磁波，因此這種材料必然是有損耗的，即相對(duì)介電常數(shù)不再只是一個(gè)常實(shí)數(shù)，而一個(gè)復(fù)數(shù)，甚至是頻率的函數(shù)。我們以所謂的Debye材料為例，其相對(duì)介電常數(shù)為

現(xiàn)取εr=2，σ=0.01，χ=2及τ0=1e-9，而第一層媒質(zhì)仍為自由空間。在FDTD算法中，設(shè)入射波為一高斯脈沖，總網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為200，兩層媒質(zhì)的分界面在網(wǎng)格點(diǎn)ndiv=100處，圖2(a)為脈沖處于第一層媒質(zhì)中，圖2(b)為脈沖已進(jìn)入第二層媒質(zhì)，圖2(c)為脈沖在第二層媒質(zhì)中持續(xù)前進(jìn)，對(duì)比圖2(b)與(c)可見(jiàn)，波已發(fā)生明顯衰減。圖3為f=500MHz時(shí)的空間各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)歸一化分布，由該圖也可看出波在第二層媒質(zhì)中是不斷衰減的，而在第一層中是不衰減的，因此呈現(xiàn)出明顯的駐波形式，可求得其反射系數(shù)為0.2374。

圖2 電磁波在兩層媒質(zhì)中的傳播

圖3 f=500MHz時(shí)的空間各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)歸一化分布

4 結(jié)語(yǔ)

在這篇文章中我們以FDTD方法仿真了電磁波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，場(chǎng)在各媒質(zhì)中的分布情況。結(jié)果表明，F(xiàn)DTD法能夠模擬波的自然傳播情況，并能顯示全空間的場(chǎng)強(qiáng)分布，在電磁波的傳播分析中有著巨大優(yōu)勢(shì)。

[1]Allen Taflove, Susan C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Boston, London: Artech House. 2000

[2]Kai Chang. Encyclopedia of RF and microwave engineering[M]. New Jersey :Wiley & Sons, Inc., 2005.