周珩

南京工程學院通信工程學院，江蘇 南京 211167

1 概述

FDTD算法是1966年K.S.Yee在一篇論文里提出的，直接將帶時間變量的麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為差分形式來求解空間電磁場的算法。它是把電磁場的電場和磁場分量分別在時域和空域上進行差分，利用蛙跳式算法在時間和空間內(nèi)進行交替抽樣計算，通過時間軸上更新來模仿電磁場的變化，達到數(shù)值計算的目的。

隨著計算技術(shù)特別是電子計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，F(xiàn)DTD法得到長足發(fā)展，在電磁學、電子學和光學等領(lǐng)域都有非常廣泛的應用，包括天線設計，微波電路設計，電磁兼容分析，電磁散射計算，光學應用等等。本文就是基于FDTD方法對電磁波在不同媒質(zhì)中傳播的反射特性進行模擬的。

2 應用FDTD法的關(guān)鍵技術(shù)

為應用FDTD法解決電磁波傳播所遇到的實際問題，有以下幾個方面的關(guān)鍵技術(shù)，包括計算區(qū)域的適當網(wǎng)格剖分、電磁波源的設置及理想匹配層的設置等。這幾個方面的問題分述如下：

1）計算區(qū)域的適當網(wǎng)格剖分

將Maxwell旋度方程在直角坐標系下的六個分量方程

在圖1所示Yee網(wǎng)格中進行有限的差分離散化，在某些參數(shù)或場分量為零的情況下，有限差分式可以進一步簡化成二維甚至一維的形式。任意離散的時空點處的場分量F（F為磁場H或電場E）可以簡記為

圖1 Yee空間網(wǎng)格單元

2）源的設置

在FDTD中對源的設置方法有多種。但當目標遠離入射場時，入射場可看成是平面波，因此計算中需要對平面波源加以設置。設置平面波源的關(guān)鍵是將計算主區(qū)域劃分成總場區(qū)與散射場區(qū)，并且在總場區(qū)與散射場區(qū)的分界處加入入射的平面波。對于一維情況，一般可以采用點源。

3）理想匹配層（PML）的設置

為了解決使用FDTD法進行電磁計算時有限的計算資源的限制，可通過使用PML截斷電磁場實際存在的無限區(qū)域來解決。目前廣為采用的一種PML是各向異性理想匹配層（UPML）。假設計算區(qū)域中三個方向的電導率分別為σx、σy及σz，相對介電常數(shù)和相對磁導率仍為ε和μ，則UPML中的相對介電常數(shù)和相對磁導率分別為εs和μs，其中s為

這樣，主計算區(qū)域與UPML區(qū)域就可以統(tǒng)一處理，但是對于不同區(qū)域，參數(shù)取值不同。例如：對于主區(qū)域，參數(shù)取值為sx= sy= sz=1；對于x向PML區(qū)域，參數(shù)取值為sy= sz=1；對于x向與y向PML相交區(qū)域,參數(shù)取值為sz=1；對于三個方向的PML相交區(qū)域，則sx、sy與sz均不為1。

如前所述，PML也可看成是一種特殊的媒質(zhì)，它的電導率σ不是一個常數(shù)，而是一個空間變量的函數(shù)。各個方向的σ為

其中

式(11)中m通常取3～4；而R(0)對于5單元厚的PML層取e-8較好，對于10單元厚的PML層取e-16較好。

由于σw為函數(shù)，則各網(wǎng)格中的σw可取為PML層中某一段的平均值，即

3 應用FDTD對電磁波在媒質(zhì)中傳播實例的仿真

由于用于隱身的涂層材料必須能夠吸收入射的電磁波，因此這種材料必然是有損耗的，即相對介電常數(shù)不再只是一個常實數(shù)，而一個復數(shù)，甚至是頻率的函數(shù)。我們以所謂的Debye材料為例，其相對介電常數(shù)為

現(xiàn)取εr=2，σ=0.01，χ=2及τ0=1e-9，而第一層媒質(zhì)仍為自由空間。在FDTD算法中，設入射波為一高斯脈沖，總網(wǎng)格點數(shù)為200，兩層媒質(zhì)的分界面在網(wǎng)格點ndiv=100處，圖2(a)為脈沖處于第一層媒質(zhì)中，圖2(b)為脈沖已進入第二層媒質(zhì)，圖2(c)為脈沖在第二層媒質(zhì)中持續(xù)前進，對比圖2(b)與(c)可見，波已發(fā)生明顯衰減。圖3為f=500MHz時的空間各點場強歸一化分布，由該圖也可看出波在第二層媒質(zhì)中是不斷衰減的，而在第一層中是不衰減的，因此呈現(xiàn)出明顯的駐波形式，可求得其反射系數(shù)為0.2374。

圖2 電磁波在兩層媒質(zhì)中的傳播

圖3 f=500MHz時的空間各點場強歸一化分布

4 結(jié)語

在這篇文章中我們以FDTD方法仿真了電磁波在媒質(zhì)中傳播時，場在各媒質(zhì)中的分布情況。結(jié)果表明，F(xiàn)DTD法能夠模擬波的自然傳播情況，并能顯示全空間的場強分布，在電磁波的傳播分析中有著巨大優(yōu)勢。

[1]Allen Taflove, Susan C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Boston, London: Artech House. 2000

[2]Kai Chang. Encyclopedia of RF and microwave engineering[M]. New Jersey :Wiley & Sons, Inc., 2005.