孫春香

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232001）

連續(xù)型隨機變量函數(shù)概率密度的教學方法探討

孫春香

（淮南師范學院 數(shù)學與計算科學系，安徽 淮南 232001）

本文從單個隨機變量的函數(shù)和兩個隨機變量的函數(shù)的概率分布兩種情形分別探討隨機變量函數(shù)的概率密度的求解方法.

隨機變量；密度函數(shù)；隨機變量函數(shù)；卷積公式

1 引言

隨機變量函數(shù)的分布問題是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的一項重要的問題，它在隨機變量研究中占有非常重要的意義，是整個隨機變量研究的核心內(nèi)容，關(guān)于許多隨機變量的研究都是通過研究隨機變量函數(shù)的分布問題得以發(fā)展.因此，在這部分的學習中，掌握其方法和解題技巧至關(guān)重要.以下就是作者憑借多年從事概率統(tǒng)計課程教學的經(jīng)驗總結(jié)了幾點看法.

2 單個隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)的求法

對于這種類型的問題，主要通過某個隨機變量的密度函數(shù)f(x)來找出Y=g(X)的密度函數(shù)f Y(y)，主要介紹一下兩種方法.

2.1 “分布函數(shù)法”——求解問題的萬能公式

“分布函數(shù)法”是解決隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)的一般方法，可以賦予其“萬能公式”的稱號.其原因是不管y=g(x)的形式多么復雜，均可采用此方法.具體步驟如下：

（1）先由X的值域ΩX，確定出Y=g(x)的值域ΩY；

注1：所謂值域通常指的是隨機變量密度函數(shù)表達式的非零區(qū)間.

（2）對于任意的y∈ΩY，Y的分布函數(shù)

(其中G y={x|g(x)≤y})；

（3）寫出FY(y)在(-∞,+∞)上的表達式；

（4）求導得到f(y)=Fy'(y).

例1已知X-N(0,1)，試求Y=2 X2+1的密度函數(shù)f(y).

解 由已知得X的密度函數(shù)為

易知隨機變量X的非零區(qū)間為ΩX=(-∞,+∞)，

從而由Y=2 X2+1≥1得到ΩY=(1,+∞)，

所以當y≤1時Fy(y)=0

當y>1時，F(xiàn) Y(y)=P(Y≤y)=P(2 X2+1≤y)

所以當y>1時，兩邊對y求導數(shù)得到

注2：在非零區(qū)間上找分布函數(shù)時，不一定求出其具體的表達式，因為在以上問題中，我們的目的是求出Y的密度函數(shù)，分布函數(shù)只是一個中間過渡，可運用X的分布函數(shù)給出Y的分布函數(shù)的形式表達式，利用復合函數(shù)求導可以直接給出其密度函數(shù)，這樣在很多類似問題中可使問題簡單化.

2.2 特殊求解——公式法

當g(x)為嚴格單調(diào)時，可運用以下定理直接得出結(jié)論.

定理1設(shè)X是連續(xù)隨機變量，其密度函數(shù)為fX(x).Y=g (X)是另一個隨機變量.若y=g(x)嚴格單調(diào)，其反函數(shù)h(y)有連續(xù)導函數(shù)，則Y=g(x)的密度函數(shù)為

其中ΩY為隨機變量Y的非零區(qū)間.

證明 見參考文獻[1].

例2設(shè)X-N(μ,σ2)，求Y=3 X+2的概率密度函數(shù).

注3：通過例題可以看出運用定理1解決問題很是簡便，但是要注意其適用的條件，這點在學習中容易被忽視.例如讀者可以考慮當X-U(0,π)及時Y=s i n X的密度函數(shù)的求解方法的異同.

由定理1，對于正態(tài)分布，還有如下結(jié)論

定理2設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則當a≠0時，有Y=a X+b-N(a μ+b,a2σ2).

證明 當a>0時，Y=a X+b是嚴格增函數(shù)，仍在(-∞, +∞)上取值，其反函數(shù)為X=(Y-b)/a，由定理可得

這就是正態(tài)分布N(μ+b，a2σ2)的密度函數(shù).

當a<0時，Y=a X+b是嚴格減函數(shù)，仍在(-∞,+∞)上取值，其反函數(shù)為X=(Y-b)/a，由上定理可得

這是正態(tài)分布N(a μ+b，a2σ2)的密度函數(shù)，結(jié)論得證.

這個定理表明，正態(tài)變量的線性變換仍為正態(tài)變量，其數(shù)學期望和方差可直接從線性變換求得.若取a=1/σ，b=-μ/σ，則Y=a X+b-N(0,1).這在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中意義重大.

例3設(shè)隨機變量X-(10,22)，試求Y=3 X+5的分布.

解 由定理2知Y仍是正態(tài)變量，其數(shù)學期望和方差分別為

所以Y=3 X+5的分布為N(3 5,62).

3 兩個連續(xù)隨機變量的函數(shù)的密度函數(shù)的求法

這部分涉及到的問題和第二節(jié)的問題極其類似，只是把一維的問題推廣到二維當中去，因此，解決的方法也極其類似.

3.1 “分布函數(shù)法”——求解問題的萬能公式

若已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，欲求Z=g(X,Y)的概率密度fZ(z)，解決此類問題仍然采用以下4步：

（1）先由(X,Y)的值域確定出Z=g(X,Y)的值域ΩZ；

（2）對于任意的z∈ΩZ，求出Z=g(X,Y)的分布函數(shù)；

（3）FZ(z)寫出 在整個坐標平面上的表達式；

（4）求導，即可得Z=g(X,Y)的概率密度

通常，我們也稱這種方法為“分布函數(shù)法”，它適用于任何一種函數(shù)形式下Z=g(X,Y)的密度函數(shù)的求解，是前面“分布函數(shù)法”的推廣.

當z<0時，F(xiàn)Z(z)=0，

當z>0時，F(xiàn)Z(z)=P(Z≤z)

所以FZ(z)，兩邊對z求導數(shù)得

3.2 特殊求解——公式法

“分布函數(shù)法”雖然能解決所有的問題，但因為涉及到二重積分的計算問題，操作起來相當復雜.因此，對于常見的和、差的分布，商的分布，乘積的分布給出下面的求解公式.

定理3已知(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則

（1）Z=X++Y的密度函數(shù)

（2）Z=X-Y的密度函數(shù)

（3）Z=X/Y的密度函數(shù)

（4）Z=X Y的密度函數(shù)

d x其中（1）和（2）分別稱為和、差的卷積公式.

解 由卷積公式

為確定積分限，先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域

注4：通過上面例5可以看出，運用公式過程相對簡單，但在確定分段函數(shù)的非零區(qū)間時，需要解出一個含參數(shù)的不等式組，值得讀者特別關(guān)注，這也是公式法的不足之處.

4 小結(jié)

本文所得出的結(jié)論對隨機變量函數(shù)的學習具有一定的指導意義，雖然現(xiàn)有對隨機變量函數(shù)的研究已經(jīng)比較成熟，但要想對隨機變量函數(shù)有更深一步的認識，還有待于進一步的發(fā)展.

〔1〕盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].高等教育出版社，2008.〔2〕茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].高等教育出版社，2004.

〔3〕陳仲堂.趙德平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].高等教育出版社，2012.

〔4〕張菊芳，陳寧，章曉，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].化學工業(yè)出版，2011.

〔5〕唐興蕓，羅明燕.二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度[J].黔南民族師范學院學報，2012(2):112-115.

〔6〕崔靜.關(guān)于一維與二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布探討[J].西安文理學院學報，2007(10):32-36.

G642

A

1673-260 X（2013）10-0227-0 2

安徽省高等學校優(yōu)秀人才基金研究項目資助(2011SQRL136)；淮南師范學院教學研究項目資助(2012hssjk10)